CÁLCULO I. 1 Crescimento e Decaimento Exponencial

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 27: Aplicações da Derivada: Decaimento Radioativo, Crescimento Populacional e Lei de Resfriamento de Newton Objetivos da Aula Aplicar derivada ao conceito de crescimento e decrescimento exponencial Apresentar a Lei de Resfriamento de Newton 1 Crescimento e Decaimento Exponencial Em muitos fenômenos naturais, quantidades crescem ou decaem a uma taxa proporcional a seu tamanho. Por exemplo, se y = f(t) for o número de indivíduos numa população animal ou de bactérias no instante t, então parece plausível esperar que a taxa de crescimento f (t) seja proporcional à população f(t), ou seja f (t) = kf(t) para alguma constante k. Em geral, se y(t) for o valor de uma quantidade y no instante t, e se a taxa de variação de y em relação a t for proporcional ao seu tamanho y(t) em qualquer instante, então = ky (1) onde k é uma constante. A Equação 1 é às vezes chamada lei de crescimento natural (se k > 0) ou lei de decaimento natural (se k < 0). Ela é chamada equação diferencial, pois envolve uma função desconhecida y e sua derivada /. A Equação 1 nos pede para encontrar uma função cuja derivada seja uma constante multiplicada por ela própria. Note que, qualquer função exponencial da forma y(t) = Ce kt, onde C é uma constante, satisfaz y (t) = C(ke kt ) = k(ce kt ) = ky(t). Observe que: y(0) = Ce 0.k = C. Portanto, C é o valor inicial da função. Teorema 1. As únicas soluções da equação diferencial = ky são as exponenciais y(t) = y(0)e kt. 1.1 Crescimento Populacional Qual o signicado da constante de proporcionalidade? No contexto do crescimento populacional, quando P (t) for o tamanho de uma população no instante t, podemos escrever dp = kp ou 1 dp P = k. (2) 1

2 A quantidade 1 dp P = k é a taxa de crescimento dividida pelo tamanho da população. Ela é chamada de taxa de crescimento relativa. A Equação 2 nos diz que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população ou que, a taxa de crescimento relativa é constante. Então, o Teorema 1 nos diz que uma população com uma taxa de crescimento relativa deve crescer exponencialmente. Observe que a taxa de crescimento relativa k aparece como o coeciente de t na função exponencial Ce kt. Por exemplo, se dp = 0, 03P e t for medido em anos, então a taxa de crescimento relativa será k = 0, 03 e a população estará crescendo a uma taxa relativa de 3% ao ano. Se a população no tempo 0 for P 0, então a expressão para a população será P (t) = P 0 e 0,03t. Exemplo 1. Use o fato de que a população mundial era 2560 milhões em 1950 e 3040 milhões em 1960 para modelar a população do mundo na segunda metade do século XX. (Suponha que a taxa de crescimento seja proporcional ao tamanho da população.) Qual é a taxa de crescimento relativa? Use o modelo para estimar a população do mundo em 1993 e para prever a população no ano de Solução: Sendo t o tempo em anos, fazemos t = 0 no ano de 1950 e P (t) a população em milhões de pessoas, então P (0) = 2560 e P (10) = Pelo Teorema 1, supondo que dp/ = kp, temos que: Segue que P (t) = P (0)e kt = 2560e kt P (10) = 2560e 10k = 3040 k = ln 0, A taxa de crescimento relativa é cerca de 1,7% ao ano, e o modelo é P (t) = 2560e 0,017185t. Estimamos que a população mundial em 1993 era O modelo prevê que a população em 2020 será P (43) = 2560e 0, milhões. P (70) = 2560e 0, milhões. O gráco na gura abaixo mostra que o modelo é bem acurado para o m do século XX (os pontos representam a população real), de modo que a estimativa para 1993 é bem conável. Mas a previsão para 2020 é mais arriscada. Figura 1: Modelo para o crescimento da população mundial na segunda metade do século XX Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Exemplo 2. Numa certa cultura a taxa de crescimento das bactérias é proporcional à população presente. Se existirem 1000 bactérias inicialmente e a quantidade dobrar em 12 minutos, quanto tempo levará até que haja de bactérias? Solução: é Seja t o tempo decorrido e y o número de bactérias presentes em t minutos. A equação diferencial = ky onde k é uma constante e y = 1000 quando t = 0. Pelo Teorema 1, temos: Como y = 2000 quando t = 12, obtemos: y = 1000e kt. e 12k = 2 Assim, Logo, com esse valor de k, obtemos 12k = ln 2 k = ln , y = 1000e 0,05776t. Precisamos encontrar o valor de t para y = Segue que: = 1.000e 0,05776t e 0,05776 = 1000 t = ln , 6. 0, Portanto, existirão de bactérias em 119,6 minutos, ou seja, em 1 hora 59 minutos e 36 segundos. 1.2 Decaimento Radioativo As substâncias radioativas decaem pela emissão espontânea de radiação. Se m(t) for a massa remanescente de uma massa inicial m 0 da substância após um tempo t, então a taxa de decaimento 1 dm m foi analisada experimentalmente como sendo constante. (Como dm/ é negativo, a taxa de decaimento relativa é positiva.) Segue que dm = km em que k é uma constante negativa. Em outras palavras, substâncias radioativas decaem a uma taxa proporcional à sua massa restante. Isso signica que podemos usar o Teorema 1 para mostrar que a massa decai exponencialmente: m(t) = m 0 e kt. Os físicos expressam a taxa de decaimento radioativo como meia-vida, o tempo necessário para a metade de qualquer quantidade dada decair. Exemplo 3. A meia-vida do rádio-226 é de 1590 anos. a) Uma amostra de rádio-226 possui uma massa de 100 mg. Encontre uma fórmula para a massa da amostra que resta após t anos. b) Encontre a massa depois de 1000 anos, com precisão de um miligrama. c) Quando a massa será reduzida para 30 gramas? Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Solução: a) Seja m(t) a massa de rádio-226 (em mg) que resta depois de t anos. Então, dm = km e m(0) = 100, logo pelo Teorema 1, temos que logo, m(t) = m(0)e kt = 100e kt. Para determinar o valor de k, usamos o fato de que m(1590) = = 50. Assim, 2 100e 1950k = 50 e 1950k = 1 2 e Portanto, 1950k = ln ( ) 1 = ln 2 k = ln m(t) = 100e Note que, poderíamos usar o fato de que e ln 2 = 2 para escrever a expressão para m(t) na forma alternativa m(t) = t/1590 b) A massa depois de 1000 anos é: ln 2 m(1000) = 100e mg. c) Queremos encontrar o valor de t tal que m(t) = 30, ou seja, 100e 1590 = 30 e 1590 = 0, 3 Resolvendo essa equação em t tomando o logaritmo natural em ambos os lados, temos 0, 3 = ln 0, 3 t = 1590ln = 2762 anos ln 2 Na gura abaixo, utilizamos o software wxmaxima para traçar o gráco de m(t) junto com a reta horizontal m = 30. As curvas se interceptam quando t 2800, e isto coincide com a resposta da parte c). Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 1.3 Lei de Resfriamento de Newton A Lei de Resfriamento de Newton arma que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperaturas entre o objeto e o meio circundante, desde que esta diferença não seja muito grande (Essa lei se aplica ao aquecimento). Se tomarmos T (t) como a temperatura do objeto no tempo t e T S, como a temperatura do meio circundante, então podemos formular a Lei do Resfriamento de Newton como equação diferencial: dt = k(t T S), onde k é uma constante. Esta equação não é exatamente a mesma que a Equação 1. Assim, fazemos a mudança de variável y(t) = T (t) T S. Como T S é constante, temos y (t) = T (t) e a equação se torna = ky. Podemos então usar o Teorema 1 para encontrar uma expressão para y, da qual podemos encontrar T. Exemplo 4. Uma garrafa de refrigerante que está à temperatura ambiente (22 C) é colocada em um refrigerador, no qual a temperatura é 7 C. Depois de meia hora o refrigerante esfriou para 16 C. a) Qual a temperatura depois de mais meia hora? b) Quanto tempo demora para o refrigerante resfriar até 10 C? Solução: a) Seja T (t) a temperatura do refrigerante depois de t minutos. A temperatura ambiente é de T S = 7 C, logo a Lei de Resfriamento de Newton arma que dt = k(t 7) Se tomarmos y = T 7, então y(0) = T (0) 7 = 22 7 = 15, e y assim é uma solução do problema de valor inicial = ky y(0) = 15 e pelo Teorema 1, temos: y(t) = y(0)e kt = 15e kt Foi-nos dado que T (30) = 16, assim y(30) = 16 7 = 9 e 15e 30k = 9 e 30k = 3 5. Tomando logaritmos, temos Logo, k = ln ( ) 3 5 0, y(t) = 15e 0,01703t T (t) = e 0,01703t T (60) = e 0,01703.(60) 12, 4 Assim, depois de mais meia hora, o refrigerante terá resfriado para cerca de 12 C. b) Teremos T (t) = 10 quando e 0,01703t = 10 e 0,01703t = 3 15 = 1 5 ln ( ) 1 5 t = 0, , 5 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 O refrigerante é resfriado para 10 C depois de 1 hora e 35 minutos. Observe neste exemplo que: lim T (t) = lim (7 + t t 15e 0,01703t ) = = 7 o que era de se esperar. O gráco da função temperatura é mostrado a seguir: Exemplo 5. Se um corpo estiver no ar, cuja temperatura é de 35 C e resfria-se de 120 C a 60 C em 40 minutos, use a Lei de Resfriamento de Newton para achar a temperatura do corpo depois de 100 minutos. Solução: Seja t minutos o tempo decorrido desde que o corpo começou a esfriar. Seja T graus a temperatura do corpo em t minutos. Da Lei de Resfriamento de Newton, temos: dt = k(t 35) onde k é uma constante e T > 35 para todo t 0. Se tomarmos y = T 35, então y(0) = T (0) 35 = = 85. Assim: = ky y(0) = 85 e pelo Teoreoma 1: y(t) = y(0)e kt = 85e kt. Temos que T (40) = 60, logo y(40) = T (40) 35 = = 25. Assim 85e 40k = 25 e 40k = = Logo: Portanto: ( ) 5 t/40 y(t) = 85e kt = 85(e 40k ) t/40 = ( ) 5 t/40 ( ) 5 100/40 T (t) = T (100) = = Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da página do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7