Equações Diferenciais
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- Vinícius Franco Sequeira
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1 Equações Diferenciais
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAS Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando cientistas físicos ou cientistas sociais usam cálculo, muitas vezes o fazem para analisar uma equação diferencial que tenho surgido no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estejam estudando. Embora seja quase impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial, veremos que as abordagens gráficas e numéricas fornecem a informação necessária. 2
3 MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Um modelo matemático é uma descrição matemática de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma população, a demanda por um produto, a velocidade de um objeto caindo, entre outros. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer predições sobre um comportamento futuro. Um bom modelo simplifica a realidade o bastante para permitir cálculos matemáticos, mantendo, porém, uma precisão suficiente para conclusões apreciáveis. É importante entender as limitações do modelo. A palavra final está com a Mãe Natureza. 3
4 MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O modelo matemático frequentemente tem o formato de uma equação diferencial, isto é, uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso não surpreende, porque em um problema real normalmente notamos que as mudanças ocorrem e queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam. 4
5 APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL MODELO DE MALTHUS Problemas populacionais nos levam às perguntas: 1. Qual será a população de certo local ou ambiente em alguns anos? 2. Como poderemos proteger os recursos deste local ou de ambiente para que não ocorra a extinção de uma ou de várias espécies? Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionadas com este problema, consideramos o modelo de Malthus que é um modelo de crescimento exponencial, em que baseia-se na premissa de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. É razoável presumir isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças). t = tempo variável independente P = número de indivíduos da população (variável dependente) A taxa de crescimento da população é a derivada dp dt. 5
6 APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL MODELO DE MALTHUS Assim a equação que descreve a taxa de crescimento da população, que é proporcional ao tamanho da população, é dada por: dp dt = kp onde k é a constante de proporcionalidade. Esta é uma EDO linear cuja solução é dada por: P t = P o e kt onde P 0 é a população inicial, P 0 = P 0. Portanto, 1. Se k > 0, a população cresce e continua a expandir para Se k < 0, a população se reduzirá e tenderá a 0. Em outras palavras será extinta. Observação: A longo prazo, k > 0 pode não ser adequado: o ambiente tem limitações, e o crescimento populacional é eventualmente inibido pela falta de recursos essenciais. 6
7 APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL 7
8 APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL 8
9 APLICAÇÃO: MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL 9
10 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 10
11 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 11
12 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 12
13 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 13
14 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 14
15 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 15
16 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Problemas de Diluição Exemplo: Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 20 gramas de sal. No instante t = 0, começa-se a deitar (derramar) no tanque água pura à taxa de 5 litros por minuto, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t. 16
17 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Circuitos Elétricos A equação básica que rege a quantidade de corrente I(em ampères) em um circuito simples do tipo RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é di dt + R L I = E L 17
18 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Circuitos Elétricos Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz E, e sem indutância (Fig. II), ligados em série. A equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é dq dt + 1 RC q = E R 18
19 ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM Circuitos Elétricos Exemplo: Um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t. 19
20 Exercícios de Aplicações 1. Um corpo à temperatura de 50 F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100 F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de 60 F, determine: a) o tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75 F; R: 15,4 min. b) a temperatura do corpo após 20 min. R: 79,5 F. 2. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0 F e após 20 min é 15 F, determine a temperatura inicial. R: 30 F. 3. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama de sal. No instante t=0, adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros por min, enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa. Determine: a) a quantidade de sal presente no tanque no instante t; R: Q t = e 0,03t a) o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal. R:0,338 min 20
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