I N S T I T U T O F E D E R A L D E E D U C A Ç Ã O, C I Ê N C I A E T E C N O L O G I A D E S A N T A C A T A R I N A C A M P U S L A G E S

Transcrição

1 INDUÇÃO E INDUTÂNCIA I N S T I T U T O F E D E R A L D E E D U C A Ç Ã O, C I Ê N C I A E T E C N O L O G I A D E S A N T A C A T A R I N A C A M P U S L A G E S G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A M E C Â N I C A P A T R E S E V I E I R A N O V E M B R O D E

2 Correntes elétricas geram campo magnético. Campos magnéticos geram correntes elétricas? SIM! Campos magnéticos geram campos elétricos (induzidos) que por sua vez produzem corrente elétrica Lei da Indução de Faraday.

3 LEI DA INDUÇÃO DE FARADAY Experimento 1: Um imã é aproximado de uma espira condutora ligada a um amperímetro. Não há corrente na espira, uma vez que ela não está ligada a uma fonte de tensão.

4 Observa-se que: 1. A corrente é observada apenas se existe um movimento relativo entre a espira e o ímã; 2. Quanto mais rápido o movimento, maior a corrente. 3. Se, quando aproximamos da espira o polo norte do ímã, a corrente tem sentido horário, quando afastamos o polo norte a corrente tem sentido anti-horário. Com o polo sul do ímã, o comportamento seria oposto.

5 O processo de produção dessa corrente é denominado indução. Por tal motivo se diz que a corrente que surge na espira é uma corrente induzida, a qual foi gerada por uma força eletromotriz induzida.

6 Experimento 2: Quando a chave S é fechada, circula corrente pela espira da direita, a qual registra brevemente corrente na espira da esquerda. O mesmo ocorre quando a chave é desligada, no entanto, não há corrente na espira da esquerda quando a chave permanece ligada ou desligada por muito tempo.

7 Em ambos experimentos, a corrente foi induzida por uma variação da quantidade de campo magnético que atravessa a espira, a qual induziu uma força eletromotriz. Essa quantidade é denominada fluxo magnético, a qual é definida por: Φ B = B d A Onde da é o vetor de área da região atravessada por um campo magnético B. A unidade de medida para fluxo magnético no SI é otesla vezes metro quadrado, denominado Weber [Wb].

8 Quando um campo magnético uniforme passa perpendicularmente pelo plano da espira, o fluxo magnético pode ser reescrito como: Φ B = B d A= B cosθ da=b cos 0 da Φ B =BA

9 Pode-se, então, enunciar a Lei da Indução de Faraday por: O módulo da força eletromotriz Ɛ induzida em uma espira condutora é igual à taxa de variação temporal do fluxo magnético Φ B que atravessa a espira. A qual é descrita por: Ɛ= dφ B dt

10 O sinal negativo indica que a força eletromotriz se opõe à variação do fluxo magnético, como será demonstrado adiante. Para o caso de uma bobina com N espiras, se tem que: Ɛ= N dφ B dt

11 EXEMPLO 1 Força eletromotriz induzida em uma bobina por um solenoide O solenoide longo S representado em corte na figura possui 220 espiras/cm, tem um diâmetro D = 3,2 cm e conduz uma corrente i = 1,5 A. No centro do solenoide é colocada uma bobina C, de enrolamento compacto, com 130 espiras e diâmetro d = 2,1 cm. A corrente no solenoide é reduzida a zero a uma taxa constante em 25 ms. Qual é o valor absoluto da força eletromotriz induzida na bobina C enquanto a corrente no solenoide está variando?

12 LEI DE LENZ Determina o sentido da corrente induzida em uma espira: a corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido pela corrente se opõe ao campo magnético que induz a corrente. A força eletromotriz induzida, por sua vez, tem o mesmo sentido da corrente induzida.

13 EXEMPLO 2 Força eletromotriz e corrente induzidas por um campo magnético uniformemente variável A figura mostra uma espira condutora formada por uma semicircunferência de raio r = 0,20 m e três fios retilíneos. A semicircunferência está em uma região onde existe um campo magnético uniforme B orientado para fora do papel; o módulo do campo é dado por B = 4,0t² + 2,0t + 3,0, com B em Teslas e t em segundos. Uma fonte ideal com uma força eletromotriz Ɛ fonte = 2,0 V é ligada à espira. A resistência da espira é 2,0 Ω. a) Determine o módulo e o sentido da força eletromotriz Ɛ ind na espira pelo campo magnético no instante t = 10 s. b) Qual é a corrente na espira no instante t = 10 s?

14 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS Na figura, um anel de cobre submetido a um campo magnético uniforme tem induzido em si uma corrente quando a intensidade do campo é variada. Havendo corrente induzida, há também um campo elétrico induzido, o qual é enunciado em uma forma mais geral da Lei de Faraday: Um campo magnético variável produz um campo elétrico.

15 Reformulação da Lei de Faraday Se uma partícula de carga q 0 é colocada em uma região onde há um campo elétrico e realiza uma trajetória circular, o trabalho necessário para que ela complete uma revolução é fornecido por: W = F d s=(q 0 E)(2π r)

16 Por outro lado, a força eletromotriz é o trabalho feito por unidade de carga para que a mesma descreva uma trajetória: Ɛ= W q 0 Igualando as expressões: W =Ɛ q 0 Ɛ=2 πre

17 Considerando novamente a expressão para o trabalho para uma partícula que se move em uma trajetória fechada qualquer, é possível generalizar que: W = F d s=q 0 E d s Como W = Ɛq 0 : Ɛ= E d s Usando que Ɛ = -dφ B /dt, obtém-se outra expressão para a Lei de Faraday: E d s = dφ B dt A qual nos diz que um campo magnético variável (termo do fluxo magnético) faz com que surja um campo elétrico em um caminho fechado.

18 Essa lei é válida para qualquer região onde seja possível traçar uma curva fechada que esteja submetida a um campo magnético variável, sem a necessidade de um meio material, ou seja, o campo elétrico pode ser induzido inclusive no vácuo.

19 EXEMPLO 3 Campo elétrico induzido por um campo magnético variável Na figura, suponha que R = 8,5 cm e db/dt = 0,13 T/s. a) Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico induzido em pontos situados na região onde existe campo magnético, a uma distância r do centro da região. Calcule o valor da expressão para r = 5,2 cm. b) Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico induzido em pontos fora da região em que existe campo magnético, a uma distância r do centro da região. Calcule o valor da expressão para r = 12,5 cm.

20 INDUTORES E INDUTÂNCIA Assim como um capacitor pode ser utilizado para produzir um campo elétrico com características específicas, analogamente um indutor é o dispositivo capaz de gerar campo magnético com as propriedades desejadas. Símbolo do indutor em um circuito:

21 O tipo mais simples de indutor é a parte central de um solenoide longo. Se as N espiras do solenoide conduzem corrente i, há a produção de um fluxo magnético Φ B em seu interior. A indutância L atribuída a esse indutor é definida pela relação: L= N Φ B i Sua unidade de medida é o Weber por Ampère, denominada Henry [H].

22 Indutância em um Solenoide O termo NΦ B é denominada enlaçamento de fluxo magnético. É necessário conhecer seu comportamento para o solenoide. Considerando que o mesmo tenha uma área de seção A, um comprimento l e um número de espiras por unidade de comprimento n, se tem que: N Φ B =(nl)(ba) O campo magnético para o solenoide é fornecido por: B=μ 0 i n

23 Assim, para a indutância: L= N Φ B i = nlba i = nl μ 0inA i A indutância por unidade de comprimento é, portanto: L l =μ 0n 2 A Ou seja, o valor da indutância é definida apenas pela geometria do indutor.

24 AUTOINDUÇÃO Quando uma corrente que atravessa um indutor varia, o fluxo magnético Φ B que atravessa as espiras também varia, ocasionando uma força eletromotriz induzida no indutor. Esse processo é chamado autoindução, uma vez que o indutor gera uma força eletromotriz autoinduzida Ɛ L nele próprio.

25 Da indutância: L= N Φ B i Li=N Φ B Já da Lei de Faraday: Ɛ= dnφ B dt Portanto: Ɛ L = L di dt Define a força eletromotriz autoinduzida. Logo, sempre que existir variação da corrente em um indutor surgirá uma força eletromotriz autoinduzida.

26 O sinal negativo implica que o sentido da força eletromotriz autoinduzida se opõe à variação da corrente.

27 CIRCUITOS RL Observação: todos os indutores, em princípio, serão considerados ideais, não havendo resistência interna nos mesmos. Desse modo, a diferença de potencial entre as extremidades do indutor V L será igual à força eletromotriz autoinduzida Ɛ L. O circuito apresenta uma chave S que pode ser conectada aos pontos a ou b. O circuito possui uma fonte de tensão Ɛ, um resistor R e um indutor L.

28 Chave em a A corrente no resistor começa a aumentar. Uma força eletromotriz autoinduzida Ɛ L surge no circuito devido o indutor, se opondo ao aumento da corrente, o que faz com que a corrente no resistor responda a duas forças eletromotriz. Após certo tempo, a taxa de aumento da corrente no resistor reduz, assim como a força eletromotriz autoinduzida Ɛ L, o que faz com que a corrente no resistor se aproxime de Ɛ/R assintoticamente.

29 Aplicando a regra das malhas ao circuito, começando do ponto x e seguindo no sentido horário, se tem que: ir L di dt +Ɛ=0 L di dt +ir=ɛ A equação anterior é uma equação diferencial ordinária para a corrente i, cuja solução possui o formato: i= Ɛ R (1 e Rt L )

30 Definindo a constante de tempo indutiva τ L = L/R: i= Ɛ R (1 e τ L) t Para um aumento da corrente * para t = 0, se tem que i = 0 * para t, se tem que i Ɛ /R

31 Chave em b A fonte é removida do circuito. L di dt +ir=0 i= Ɛ t R e τ L=i0 e t τ L Para uma redução da corrente * para t = 0, se tem que i = Ɛ/R * para t, se tem que i = 0

32 EXEMPLO 4 Circuito RL, imediatamente após o fechamento de uma chave e muito tempo depois A figura mostra um circuito que contém três resistores iguais de resistência R = 9 Ω, dois indutores iguais de indutância L = 2,0 mh e uma fonte ideal de força eletromotriz Ɛ = 18 V. a) Qual é a corrente i que atravessa a fonte no instante em que a chave é fechada? b) Qual é a corrente i que atravessa a fonte depois que a chave permanece fechada por um longo tempo?

33 EXEMPLO 5 Circuito RL: corrente durante a transição Um solenoide tem uma indutância de 53 mh e uma resistência de 0,37 Ω. Se o solenoide é ligado a uma bateria, quanto tempo a corrente leva para atingir metade do valor final?

34 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNÉTICO Para um circuito RL enquanto há aumento da corrente: Potência da Fonte Ɛ=L di dt +ir Ɛi=Li di dt +i2 R Potência do Resistor Li di dt =Ɛi i2 R

35 O primeiro termo representa a taxa com a qual a energia que foi fornecida pela fonte ao circuito e que não foi dissipada pelo resistor é armazenada pelo campo magnético do indutor, sendo rescrita por: du B dt =Li di dt U B i du B = 0 0 Li di U B = 1 2 Li2 Energia magnética

36 EXEMPLO 6 Energia armazenada em um campo magnético Uma bobina tem uma indutância de 53 mh e uma resistência de 0,35 Ω. a) Se uma força eletromotriz de 12 V é aplicada à bobina, qual é a energia armazenada no campo magnético quando a corrente atinge o valor final? b) Após quantas constantes de tempo metade da energia final está armazenada no campo magnético?

37 Referências Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, Volume 3, Eletromagnetismo. 9ª ediçã. Editora LTC, Rio de Janeiro, As imagens e exemplos foram extraídos das fontes, do banco de dados do Google Imagens ou elaborados pelo autor.