Equações Diferenciais: Modelagem de problemas. Palavras chave: aplicações, equações diferenciais de primeira ordem, variáveis separáveis.

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1 Equações Diferenciais: Modelagem de problemas Cleber de Oliveira dos Santos 1 Faculdade capivari - FUCAP, Capivari de Baixo, SC cleber_013@hotmail.com Resumo: Este artigo apresenta algumas modelagens matemática de problemas através das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem em situações reais, situações que acontecem no dia-a-dia de qualquer estudante, trazendo o estudo dessas equações para o cotidiano dos mesmos, assim podem responder a uma pergunta que é muito frequente no estudo de tais equações: para que serve estudar tais equações e onde aplicá-las? Vamos dar ênfase nos problemas que envolvem: Lei de resfriamento de Newton, Crescimento e Decrescimento, Circuito elétrico RL, Misturas. Os problemas são solucionados usando o método de variáveis separáveis, conteúdo estudado na disciplina de Equações Diferenciais da Faculdade Capivari FUCAP. Palavras chave: aplicações, equações diferenciais de primeira ordem, variáveis separáveis. 1 INTRODUÇÃO Equações diferenciais é uma ferramenta matemática que podemos usá-la para resolver problemas da vida real. O objetivo da modelagem de uma equação diferencial é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema. A modelagem de um conjunto de equações diferenciais fornece um resultado aproximado do problema real, assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para obtermos o resultado geral de vários tipos de problemas. Historicamente, o estudo das equações diferenciais aconteceu em paralelo com o desenvolvimento da Física, funcionando como ferramenta de cálculo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formulação da mecânica quântica e da relatividade. Hoje em dia, a utilização de equações diferenciais foi estendida para as mais diversas áreas do conhecimento, existem aplicações de equações diferenciais em Ciências Naturais, temos: o problema da dinâmica de populações, o de propagação de epidemias, 1 Mestre em Educação: linha de pesquisa: Educação em Ciências/Matemática pela Universidade do Sul de Santa Catarina - UNISUL (2017), Especialista em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC (2011), graduado em Matemática - UNISUL (2005), Especialista em Educação Matemática pela UNISUL (2007), graduado em Física - UNISUL (2016). Atualmente é professor das disciplinas de Cálculo III, Álgebra linear, Geometria Analítica, Equações Diferenciais, Física I dos Cursos de Engelharia de Produção, Civil, Mecânica e Ambiental e sanitária da Faculdade Capivari (FUCAP). Tem experiência na área de Matemática e Física. Integrante de dois grupos de pesquisa: GPEMAHC (Grupo de Pesquisa em Educação Matemática: uma Abordagem Histórico-Cultural) e o TEDMAT (Teoria do Ensino Desenvolvimental na Educação Matemática).

2 a datação por carbono radioativo, a exploração de recursos renováveis, a competição de espécies como, por exemplo, no sistema predador versus presa. As equações diferenciais também encontram aplicação em economia, no sistema financeiro, no comércio, no comportamento de populações humanas, dentre outras. Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento. 2 Modelagem 2.1 Lei de Resfriamento de Newton Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meioambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton. A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante T a do meio ambiente, isto é: Onde: T: temperatura do corpo no instante t T a : temperatura constante do ambiente T T a : diferença de temperatura t: tempo k: constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente. Problema 1 Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante t 0 = 0. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor

3 obtido é T = 30 ºC. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é T 1 = 23 ºC. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte T a e a hora em que o cadáver foi encontrado t 0 tenha se mantido mais ou menos constante T 20 ºC. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de 37 ºC. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime? +c Quando o tempo t = 0 a temperatura T = 30 ºC, então, temos: Quando o tempo t = 2h a temperatura T = 23 ºC, então, temos:

4 A equação da temperatura T do cadáver é: Portanto, o crime ocorreu a aproximadamente uma hora antes de o corpo ser descoberto. Problema 2 Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de 20ºC e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100 ºC a 60 ºC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 ºC? +c Quando o tempo t = 0 a temperatura T = 100 ºC, então, temos:

5 Quando o tempo t = 20 min a temperatura T = 60 ºC, então, temos: A equação da temperatura T do corpo é: Portanto, dentro de 60 min ou 1 hora sua temperatura descerá para 30 ºC.

6 Problema 3 Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de F em um quarto com temperatura constante de 0 0 F. Após 20 minutos a temperatura da barra é de 50 0 F, determine: (a) O tempo necessário para a barra chegar a temperatura de 25 0 F. Quando o tempo t = 0 a temperatura T = 100 ºF, então, temos: Agora, Quando o tempo t = 20 min a temperatura T = 50 ºF, então, temos: Finalmente, vamos resolver a questão letra a, pois acabamos de achar a equação da temperatura T. Assim:. Então, substituindo T = 25 ºF, temos:

7 (b) A temperatura do corpo após 10 minutos. º F Problema 4 Um ovo duro, a 98º C, é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C?

8 18 Quando o tempo t = 0 a temperatura T = 98 ºC, então, temos: Agora, Quando o tempo t = 5 min a temperatura T = 38 ºC, então, temos: 18 A equação da temperatura do corpo é: Quando T = 20 ºC, temos: +18. Assim: Será necessário aproximadamente mais 13,3 minutos para que o ovo atinja 20º C. 2.2 Problemas de Crescimento e Decrescimento Decaimento radioativo

9 Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, denotada por, é dada por: = - k.q(t) Onde: k é uma constante que depende do elemento. O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de "meia-vida" do elemento. A "meia-vida" é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa. As "meias-vidas" de vários elementos radioativos podem ser encontradas nos livros de Química. Por exemplo, a meia-vida do carbono-14 está entre 5538 e 5598 anos, sendo em média 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O carbono-14 é uma importante ferramenta em pesquisa arqueológica conhecida como teste do radio carbono. A quantidade inicial do elemento radioativo é Q(0) = Qo. Problema 5 Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo. Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0) = Q 0 a quantidade inicial. Resolvendo a equação:, temos que: Para t = 16 d, temos:, assim:

10 ( ) ( ) ( ) Assim, temos: Suponhamos que temos 30 g do isótopo no final de 30 dias. Logo, Problema 6 Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine: (a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t. Seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0) = Qo a quantidade inicial. Resolvendo a equação:, temos que: Quando t = 0, a quantidade de material é Q(0) = 50mg, então, temos:

11 Quando t = 2h, a quantidade de material é Q(2) = 45mg, então, temos: Assim, temos: (b) a massa restante após 4 horas. (c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade. Obs: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da quantidade original é chamada meia-vida da substância. Quando a quantidade de material é Q(t) = 25 mg, temos:

12 ( ) Problema 7 Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de habitantes, determine a população inicial. Seja a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou decrescimento. Se admitirmos que, taxa de variação da quantidade da população, é proporcional à quantidade da população presente, então: Onde: k é a constante de proporcionalidade. Assim, chamando de P(t) a quantidade total da população após t anos e P 0 a quantidade inicial da população após t 0, temos: Se t = 10 anos, a população é de:

13 Se t = 20 anos, a população é de P(20) = , então, temos: Assim, temos: Portanto, a população inicial é de aproximadamente habitantes. Problema 8 Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observaram-se núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, observaram-se 3000 núcleos. Determine a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t. Quando, t = 1 h, a quantidade de bactérias é de: Q(1) = 1.000, então, temos: Quando, t = 4 h, a quantidade de bactérias é de: Q(4) = 3.000, então, temos: Dividindo I por II, temos:

14 ( ) Substituindo o valor de k em I, temos: Portanto, 2.3 Circuitos em Série Primeiramente, vamos apresentar alguns conceitos básicos necessários para a abordagem de problemas sobre circuito elétrico. A Teoria de circuito elétricos envolvendo resistores de resistência R, indutores de indutância L, onde R é dado em Ohms, L em Henrys, E em Volts, baseia-se nas Leis de Ohm e Kirchhoff. O comportamento dos elementos que constituem este circuito é regido por uma equação linear de primeira ordem que resulta da aplicação das seguintes leis: (1) Leis de Kirchoff: (a) Lei das malhas: A soma das quedas de potencial elétrico ao longo de uma malha do circuito é igual à zero.

15 (b) Lei dos nós: A soma das correntes que chegam a um dado nó de um circuito é igual à soma das correntes que dele partem, ou seja, que a soma algébrica das correntes num determinado nó do circuito é nula. (2) Lei de Ohm: A queda de tensão elétrica num condutor percorrido por uma corrente de intensidade I é proporcional a esta corrente. A lei se exprime pela equação E = R.I. A constante de proporcionalidade é a resistência do condutor. (3) A queda de tensão através de um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente, onde L é a indutância do indutor. Logo, em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a lei das malhas de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor ( ) e da queda de tensão no resistor (R.I) é igual à voltagem E(t) no circuito. Assim, temos: ( ) ( ) (multiplicando por dt) ( ) (dividindo por (R.I E 0) (multiplicando por )

16 ( ) Isto é, ( ), Problema 9 Suponha que um circuito simples a resistência é 550, a indutância é de 4 H e a pilha fornece uma voltagem constante de 110 V. Determine a corrente I se a corrente inicial é zero. E(t) = 110 V L = 4 H R = 550 I(t) =? quando I (0) = 0 ( ) ( ) ( ) 2.4 Mistura A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura.

17 Problema 10 Vamos supor um grande tanque de mistura contenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada quantidade de libras de sal) com 50 libras de sal. Outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três galões por minuto (3gal/min); a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão (2lbs/gal). Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda salmoura entrou. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. R e = (taxa de entrada de salmoura). (concentração de sal no fluxo de entrada) = taxa de entrada de sal. R e = Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma taxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões. Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de, e a taxa de saída de sal R s é: R s = (taxa de saída de salmoura). (concentração de sal no fluxo de saída) = taxa de saída de sal. R s = Então:

18 No instante t = 0, temos: A(0) = 50, assim: Portanto, Problema 11 Considere um tanque contendo, inicialmente, 100 litros de salmoura com 10 kg de sal. Suponha que uma torneira despeje mais salmoura no tanque numa taxa de 3 l/min, com 1/4 kg/l de sal por litro e que a solução bem misturada esteja saindo por um orifício no fundo do tanque na mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Seja Q(t) a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t. Então:

19 No instante t = 0, temos: Q(0) = 10, assim: Portanto, CONCLUSÃO: Os modelos matemáticos aqui estudados são utilizados em vários fenômenos de interesse científico. Além de conhecimentos de matemática necessitamos de conceitos e hipóteses da física experimental para fazermos uma análise e interpretações corretas quando determinamos as soluções por métodos e estratégias do cálculo diferencial e integral, em particular, das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. A validação do modelo dependerá, principalmente, do levantamento de dados sobre o fenômeno, que ao compará-los com os valores fornecidos pelo modelo, devem ser aproximados, ou seja, o erro que se obtém deve ser pequeno. Vemos então a importância do estudo das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, através delas podemos analisar e descrever matematicamente vários fenômenos físicos ou fenômenos da natureza e seu comportamento em um intervalo de tempo e suas tendências com uma boa aproximação. REFERÊNCIAS BOYCE, William E. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, BRANNAN, James R. Equações diferenciais: uma introdução a métodos modernos e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, BRONSON, Richard. Equações diferenciais. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, STEWART, James. Cálculo. vol ed. São Paulo: Cengage Learning, STEWART, James. Cálculo. vol.1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, ZILL, Dennis G. Equações diferenciais. vol.1. 3 ed. São Paulo: Pearson, 2012.