UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 008 Fenômenos de Transporte I A Profª Fátima Lopes

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1 Equações básicas Uma análise de qualquer problema em Mecânica dos Fluidos, necessariamente se inicia, quer diretamente ou indiretamente, com a definição das leis básicas que governam o movimento do fluido. Estas leis são independentes da natureza de um fluido particular: Conservação da massa Segunda lei de Newton do movimento Primeira lei da Termodinâmica Segunda lei da Termodinâmica Logicamente que nem todas estas leis são requeridas ao mesmo tempo para a solução de um problema. Em alguns problemas é necessário utilizar na análise, algumas relações adicionais, na forma de equações constitutivas, que descrevam o comportamento das propriedades físicas dos fluidos sob dadas condições. As leis básicas são as mesmas utilizadas na Termodinâmica e na Mecânica. Elas devem ser formuladas de forma desejável para a solução dos problemas de escoamento. Deve ser enfatizado que muitos problemas aparentemente simples em Mecânica dos Fluidos, não podem ser resolvidos totalmente por meios analíticos. Nestes casos torna-se necessário um certo número de experimentos e observações experimentais. Descrição de um fluido em movimento O desenvolvimento de uma descrição analítica para o escoamento de um fluido é baseado nas leis físicas relacionadas com o escoamento, expressas em uma forma matemática adequada. LEI EQUAÇÃO 1 Lei de Conservação da Massa Equação da Continuidade 2 Segunda lei de Newton do Movimento Equação da Quantidade de Movimento 3 Primeira e Segunda lei da Termodinâmica Equação da Energia Outras relações auxiliares são empregadas na descrição de um fluido e dependem da natureza do fluido sob consideração. Exemplos: Lei de Hooke Lei da Viscosidade de Newton Lei dos Gases Perfeitos, etc. 16

2 Métodos de Análise As leis básicas empregadas na análise de problemas de Mecânica dos Fluidos são as mesmas utilizadas anteriormente nos primeiros estudos de Termodinâmica e Mecânica Básica. Destes estudos sabe-se que a primeira etapa na resolução de um problema é definir o sistema para a análise. Na Termodinâmica, refere-se ao sistema sob análise como sistema fechado ou então como sistema aberto. Na Mecânica dos Fluidos serão utilizados os termos: Sistema Volume de Controle Sistema: Um sistema é definido como uma quantidade fixa de massa, distinta do meio e dele separada através suas fronteiras. Ex: Dedução da lei da estática balanço de forças em um sistema. Um sistema, assim como um corpo sólido, pode sofrer mudanças na quantidade de movimento e na sua energia, mas não altera a sua massa. Um sistema pode ser estacionário ou se encontrar em movimento. Desta forma, as fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis, porém não pode haver troca de massa através dela. Fronteira de um Sistema É uma superfície fechada que pode variar com o tempo, desde que contenha sempre a mesma massa, qualquer que seja a transformação. Ex: Uma massa de gás pode ser confinada em um cilindro e comprimida pelo movimento de um pistão; se a fronteira do sistema coincidir com a cabeça do pistão, mover-se-á com a mesma. GÁS pistão Fig Sistema fronteira do sistema Da Termodinâmica sabe-se que calor e trabalho podem atravessar a fronteira do sistema, porém a quantidade de massa dentro das fronteiras do sistema permanece fixa. 17

3 Se o cilindro é aquecido o pistão poderá se deslocar, devido ao aumento de volume do gás. O sistema pode conter uma massa infinitesimal ou uma grande massa finita de fluidos e sólidos arbitrariamente, de acordo com a vontade do pesquisador. Nos cursos de Mecânica Geral usa-se freqüentemente um corpo livre (sistema aproximado). Isto é lógico porque se trabalha com um corpo rígido, facilmente identificável. No entanto, na Mecânica dos Fluidos, os estudos são normalmente ligados com o escoamento de fluidos através compressores, turbinas, tubulações, orifícios, etc. Torna-se mais conveniente então, para fins de análise, focalizar a atenção em um volume do espaço através o qual o fluido escoa, isto é, o uso de um volume de controle. Volume de controle: Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço, através do qual o fluido escoa. Superfície de controle: É a superfície que envolve o volume de controle. A superfície de controle pode ser real ou imaginária e pode estar parada ou em movimento. direção do fluxo tubo Fig 1.4 Volume e Superfície de Controle superfície de controle A parede interna do tubo, que é uma fronteira física real, contém parte da superfície de controle. No entanto, as porções verticais da superfície de controle são imaginárias, isto é, não existe superfície física correspondente. A forma e o tamanho do volume de controle são totalmente arbitrários, no entanto, freqüentemente faz-se coincidir uma parte do seu volume com paredes sólidas e outras partes são adotadas normais ao escoamento para simplificar o estudo. Tratamento diferencial versus integral: As leis básicas aplicadas ao estudo de Mecânica dos Fluidos podem ser formuladas em termos: (a) Infinitesimais (b) Sistemas finitos e volumes de controle 18

4 (a) (b) as equações resultantes são equações diferenciais resultam equações globais, isto é, equações que a grosso modo governam o comportamento do fluido Quando as equações diferenciais têm solução, o tratamento diferencial fornece um meio de determinar o comportamento detalhado (ponto a ponto) do escoamento. No entanto, freqüentemente os problemas em estudo não requerem um conhecimento detalhado do fluxo. Sempre se tem interesse no comportamento geral e então deve-se fazer uso da formulação integral das leis básicas. A formulação integral utiliza os sistemas finitos ou volumes de controle e tem um tratamento analítico mais fácil. Métodos de Descrição Representação de Lagrage e representação de Euler Campo: O termo campo refere-se a uma quantidade qualquer definida como uma função de posição e tempo através de uma dada região. Existem duas formas diferentes de representação para campos em Mecânica dos Fluidos: Forma ou análise de Lagrange (segue o movimento) Forma ou análise de Euler (fixo no espaço) A diferença nos dois tratamentos está basicamente na maneira pela qual a posição no campo é identificada. Na análise de Lagrange as variáveis físicas são descritas para um elemento particular de fluido, ao longo de toda a sua trajetória através do escoamento. (x,y,z) coordenadas do elemento de fluido função do tempo Então, as coordenadas (x,y,z) são variáveis dependentes na análise de Lagrange. O elemento de fluido é identificado pela sua posição no campo a algum tempo arbitrário, usualmente t = 0. O campo de velocidade é escrito: V = V(a,b,c,t) onde (a,b,c) referem-se à posição inicial do elemento de fluido. O tratamento de Lagrange é raramente usado em Mecânica dos Fluidos, visto que a informação mais desejada é usualmente o valor de uma variável particular do fluido a um ponto fixo do escoamento, em lugar de uma variável do fluido identificada pelo deslocamento de um elemento de fluido ao longo de sua trajetória. A análise de Euler fornece o valor da variável de um fluido em um dado ponto a um dado tempo. 19

5 A forma funcional do campo de velocidade é escrita como: V = V(x,y,z,t) onde x,y,z e t são todas variáveis independentes. Resumindo: Análise de Lagrange análise para sistema que efetivamente segue o movimento das partículas. Análise de Euler observa o escoamento a partir de um sistema de referência, fixo em relação a um volume de controle. Derivadas (revisão) Seja C a concentração de peixes em um rio. Os peixes estão se movendo: C = C(x,y,z,t) Derivada parcial: C t Estamos em uma ponte e observamos como a concentração de peixes logo abaixo muda com o tempo. Observamos como a concentração muda com o tempo numa posição fixa no espaço. C - derivada parcial de C em relação a t, considerando (x,y,z) constantes. t Derivada total: d C Pegamos um barco e vamos às vezes para cima, às vezes para baixo e às vezes para o lado. d C C C d x + + t x C d y + y C d z z = (1) onde d x d y d z - componentes da velocidade do barco.,, 20

6 Derivada substancial: D C D t Pegamos uma canoa e flutuamos. Agora a velocidade do observador é igual à velocidade da corrente v. Quando medimos a mudança da concentração de peixes com o tempo, os números dependem da velocidade local da corrente. D C D t C C C C = + vx + vy + v (2) z t x y z onde v x, v y, v z são as componentes da velocidade local do fluido v. (2) derivada substancial, substantiva ou derivada seguindo o movimento. Massa e Força Massa: É definida como a quantidade de matéria de um corpo Esta quantidade é função da estrutura interna desse corpo e de suas dimensões Considerando uma certa massa de um corpo, o seu valor permanece inalterado com relação a influências externas tais como: localização geográfica temperatura pressão Este conceito de indestrutibilidade da massa é extremamente importante nos problemas físicos associados com a matéria. Na Mecânica dos Fluidos este fato é geralmente conhecido como Princípio da Conservação da Massa ou Continuidade da Massa. Como o volume de uma substância é função da temperatura e da pressão, convencionou-se que a massa de 1 grama seria equivalente a 1 cm 3 de H 2 O a 4 o C e submetida à pressão atmosférica padrão ou seja a equivalente a 76 cm de Hg. Em 1686 Isaac Newton estabeleceu sua lei da inércia, dizendo que: Na ausência de influências externas uma dada massa tende a se manter em repouso ou mover em linha reta com uma velocidade uniforme. As influências externas que podem colocar um corpo em movimento ou mudar a direção de seu movimento são chamadas de FORÇA. Quando uma massa m é colocada em movimento do repouso até uma certa velocidade, ou quando a direção desta velocidade é mudada, pode ser verificado que a força F necessária para provocar esta mudança é, no caso particular da massa m ser constante, diretamente proporcional a taxa de variação da velocidade 21

7 F = m d v A taxa de variação da velocidade é conhecida como sendo a aceleração a da massa m e, assim como a velocidade e a força, é uma grandeza vetorial. Então F = m a 22

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