(valor = 2,0) + c Logo 2. Por partes y(0) = 0 0 = ½ + c c = ½ x dx = x.e x - e dx = x.e x - e x Portanto:

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1 UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA ª PROVA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARA ENGENHARIA IV DATA: 05/05/008 Nome: GABARITO N o de matrícula: Assinatura: Turma: P NOTA Assinatura (vista) Data (vista) Instruções: A prova contém 0 (quatro) questões. A duração mínima é de 0 minutos e a máima é de 00 minutos, ou seja ( hora e 0 minutos). Transcreva as respostas à caneta (obrigatório). As soluções devem conter todas as operações necessárias ao desenvolvimento das questões. Não é permitido o empréstimo de material e nenhum tipo de consulta durante a prova. A interpretação dos conceitos teóricos nas questões faz parte da resolução da prova. ª Questão: Resolva o problema de valor inicial + y + e, sabendo que y(0) 0. (ATENÇÃO: Esta questão substitui o eercício feito em sala de aula) y + y + e F.I. e e y + y + e multiplica por e y e + ye e + e (y.e ) e + e (valor,0) y.e.e + e.e e + e + c Logo e y + c + e Por partes y(0) ½ + c c ½.e.e - e.e - e Portanto: u dv e e y + + e du v e

2 ª Questão: a) Verifique se a equação diferencial.y.sen.y.cos é eata ou não...cos.y.sen.y.cos..cos (valor,0) cos (ysen - ycos) (ycos - ysen) + cos 0 M N cos -sen cos + (-sen) cos -sen Como as derivadas são diferentes, a equação NÃO É EXATA. b) Resolva o problema de valor inicial encontrando, se necessário, um fator integrante apropriado..y.sen.y.cos, sabendo que..cos π y, π (valor,5) Achando o fator integrante: N cos sen cos + sen cos sen cos sen cos M cos sen cos + sen y cos ysen sen y cos ysen sen y[cos ysen] F.I. sen cos e du e u ln(cos ) e ln(cos ) / e (cos) -/ u cos du - sen (ycos - ysen) + cos 0 multiplicar por (cos) -/ [y(cos) / ysen.(cos) -/ ] + (cos) / 0 M N

3 (cos) / sen.(cos) -/ (cos) / +.(/).(cos) -/.(-sen) (cos) / sen.(cos) -/ (cos) / -.(cos) -/.sen Como as derivadas são iguais, a equação É EXATA. Eiste uma função f(; y) tal que M y(cos) / ysen.(cos) -/ N (cos) / (Esta integração em relação a y é mais fácil) N (cos) / Por outro lado, y(cos) / ysen.(cos) -/ / f(; y) (cos ) f(; y) [(cos) / ]y + g() [(cos) / +.(/).(cos) -/.(-sen)]y + g () y(cos) / ysen.(cos) -/ g () 0 g() c Logo y(cos) / - y.(cos) -/.(sen)y + g () y(cos) / ysen.(cos) -/ f(; y) [(cos) / ]y + C [(cos) / ]y C π y π π.{[cos(π/)] / }. π c c (/) / [(cos) / ]y (/) /

4 ª Questão: a) Resolva o problema de valor inicial y + y y + sen, sabendo que y(0) e y (0). (valor,0) b) Verifique a solução encontrada no item a satisfaz a E.D. y + y y + sen (valor 0,5) a) y + y y + sen Resolvendo a equação auiliar: r + r 0..(-) 9 r ± Achando as soluções particulares: y P A + B + Csen + Dcos y P A + Ccos Dsen y P - Csen Dcos r ou r - y C c e + c e - Substituindo em y + y y + sen, temos: - Csen Dcos + A + Ccos Dsen A B Csen Dcos + sen -A + (A B) + (-C D)sen + (C D)cos + sen Resolvendo os sistemas: A A B 0 A solução geral é A -/ e B -/ y P y y C + y P c e + c e - C D C D 0 sen 0 cos 0 sen 0 C -/0 e D -/0 cos 0 Para encontrarmos c e c usamos as condições iniciais ) y(0) e ) y (0) : ) c.e 0 + c.e sen(.0) cos(.0) 0 0 c + c /0 c 5 0 ) c.e 0 c e -.0 cos(.0) + sen(.0) 0 0 c c 8/0 c E, portanto a solução é: y e 5 0 e - sen cos 0 0

5 b) Verifique a solução encontrada no item a satisfaz a E.D. y + y y + sen y e 5 e - sen cos 0 0 y e 5 y e 5 + e - cos + sen 0 0 e - + sen + cos 0 0 Substituindo em y + y y + sen, temos: e 5 e - + sen + cos e 5 e - sen cos 0 0 e 5 e - + sen + cos e 5 + e - cos + sen ( e 5 ) + sen + e sen + cos sen sen 0 + e - cos + sen e 5 + cos cos + sen sen + cos + sen sen + + cos + + sen Portanto, temos que; sen + + sen (c.q.d.) 5

6 ª Questão: Um circuito em série consiste em um resistor com R 0 ohms, um indutor com 5 L henrys, um capacitor com C farad e uma força eletromotriz E(t) 00 volts. 0 d Q dq Sabendo a lei de Kirchhoff L + R + Q E(t), encontre a carga Q(t) e a C corrente I(t) no instante t, sendo a carga inicial e a corrente inicial, ambas iguais a 0, ou seja Q(0) 0 coulomb e I(0) ampères. (valor,0) Resolvendo: d Q dq + R + L 5 d Q + 0 d Q 5 + dq dq 0 Q C E(t) + 0Q Q 900 5Q (t) + 0Q (t) + 90Q(t) 900 Achando a solução complementar Q C 50r + 0r r 0 ± 0i 0 - e β - ± i α Q C (t) e -t (c.cost + c sent) Achando a solução particular: Q P A Q P 0 Q P 0 Substituindo em 5Q + 0Q + 90Q A 900 A 0 Logo a solução geral é: Q(t) e -t (c.cost + c sent) + 0 Para encontrar c e c substituir as condições iniciais: Q(0) 0 e Q (0) ) e -.0.(c.cos(.0) + c.sen(.0)) c -0 ) -e -.0. (c.cos(.0) + c.sen(.0)) + e -.0.(-c sen(.0) + c cos(.0)) c Portanto: Q(t) e -t (-0.cost + sent) + 0 I(t) -e -t (-0.cost + sent) + e -t (0.sent + cost) ou I(t) e -t (-.sent + cost)