Curso: Engenharia Ambiental. Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias. Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 1

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1 Curso: Engenharia Ambiental Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 1

2 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 1. INTRODUÇÃO Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. Essa descrição começa com: i) identificação das variáveis que são responsáveis por mudanças do sistema, e ii) um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema. A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. O estudo das equações diferenciais começou com os m métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Esses m métodos, na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações Diferenciais como um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa disciplina independente. Um modelo matemático de um sistema físico geralmente envolve a variável tempo. A solução do modelo representa o estado do sistema: em outras palavras, para valores apropriados do tempo t, os valores da variável dependente (ou variáveis) descrevem o sistema no passado, presente e futuro. As equações diferenciais representam uma série de fenômenos tais como: O crescimento de culturas de bactérias; Competitividade entre as espécies de um ecossistema, Escoamento de fluidos em dutos, O movimento dos planetas em torno do sol, Trajetória de projeteis, A formação do granizo na atmosfera,

3 Circulação sanguínea, Movimento angular de ciclones, Fenômenos de difusão, Previsão de baias em batalhas, Jogos de guerra, O formato de um ovo, Mecanismos de transferência de calor, A maré dos oceanos, Ondas de choque, A mudança diária da temperatura do vento, Problemas de servos-mecanismos, Evolução de uma epidemia devido a vírus, Realimentação de sistemas, etc. Para verificar o que foi dito anteriormente, vamos analisar alguns eemplos: Eemplo 1: Colheita Marinha Começamos por investigar o efeito da pesca sobre uma população de peies. Suponha que, se deiada em paz, uma população de peies cresça a uma taa contínua de 0% ao ano. Suponha também que peies estejam sendo colhidos (apanhados) por pescadores a uma taa constante de 10 milhões de peies por ano. Como varia a população de peies com o tempo? Observe que nos foi dada a informação sobre a taa de variação, ou derivada, da população de peies. Combinada com a informação sobre a população inicial, poderemos usar isto para predizer a população no futuro. Para predizer variações na população, P, de peies, em milhões, escrevemos uma equação diferencial que relaciona P e sua derivada dp/dt, onde t é o tempo em anos. Sabemos que:

4 3 Taa de variação da população de peies Taa de crescimento devido à reprodução = - Taa de peies removidos por colheita Se deiados em paz, a população de peies cresce a uma taa contínua de 0% ao ano, portanto temos: Taa de crescimento devido à reprodução = 0%. (população atual) = = 0,0P milhões de peies/ano. Além disso: Taa de peies removidos por colheita = 10 milhões peies/ano Como a taa de variação da população de peies é dp/dt, temos: dp dt = 0,0P 10 Esta é uma equação diferencial que modela a variação da população de peies. A quantidade desconhecida na equação é a função que dá P em termos de t. Usamos a equação para predizer a população a qualquer tempo no futuro. Eemplo : Antes de tomar um café, geralmente esperamos um pouco até que o líquido esfrie. Uma ícara de café fica quase intragável se esfriar até chegar à temperatura ambiente.

5 4 Uma lei empírica de resfriamento atribuída a Isaac Newton assegura que a taa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio. A frase acima é uma descrição verbal de uma equação diferencial, conhecida por Lei de Resfriamento de Newton. Essa lei é epressa matematicamente como: dt dt = k(t T m) em que T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura do meio (constante), dt representa a taa de variação da temperatura do corpo, k é uma constante de proporcionalidade (como o corpo está esfriando, devemos ter T > Tm, logo, k <0). Essa equação diferencial pode ser resolvida por meio de variáveis separáveis, que será discutido a seguir. dt Eemplo 3: Frequentemente, observa-se que a taa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes num dado instante de tempo. dt = k, (t 0) = ( 0 ) em que k é uma constante de proporcionalidade, t é o tempo e é o número de bactérias.. DEFINIÇÕES BÁSICAS Definição 1: Equação Diferencial Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de Equação Diferencial (ED). Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como:

6 5 F(, y, y, y,..., y (n) ) = 0 ou F(, y,, d y,..., n d y n ) = 0. As equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade. Tipo: Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma única variável independente, ela é chamada Equação Diferencial Ordinária (EDO). Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial Parcial (EDP). Eemplos: a) y EDO b) sen EDO d y c) y 0 EDO u u d) 0, onde u = (, t) EDP t e) u y = v EDP Notação: Ao longo deste teto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a notação de Leibniz /, d y/, d 3 y/ 3,..., ou a notação prima y, y, y,... Na verdade, a notação prima e utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas; a quarta derivada e escrita

7 6 y (4) em vez de y. Em geral, a derivada de ordem n e d n y/ n ou y (n). Apesar de ser menos conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz e mais vantajosa em relação à notação prima pelo fato de apresentar de modo mais claro tanto as variáveis dependentes como as variáveis independentes. Por eemplo, na equação diferencial d /dt +16 = 0, percebe-se imediatamente que o símbolo agora representa uma variável dependente, enquanto a variável independente é t. Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de Newton e algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a equação diferencial d s/dt = -9,81 se escreve s = -9,81. Derivadas parciais são frequentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis independentes. Por eemplo: u + uyy = 0 e u = utt - ut. Ordem: A ordem da derivada de maior ordem em uma equação diferencial é, por definição, a ordem da equação. O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem. Eemplos: Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. d y (a) É uma equação diferencial de primeiro grau de ordem porque d y/ é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de / não tem influência no grau da Equação (a) porque / é de menor ordem que d y/. (b) 3 y 0 É uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; / é a derivada de maior ordem (ordem 1) e é a maior potência de / aparecendo na equação.

8 7 Linearidade: Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na forma: a n () dn y n + a n 1() dn 1 y n a 1() + a 0()y = g() As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, a potência de cada termo envolvendo y é 1. ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente. Uma equação que não é linear é chamada de não-linear. Eemplos A: a) + y = 0 Equação diferencial ordinária linear de primeira ordem b) y y + y = 0 Equação diferencial ordinária linear de segunda ordem c) 3 d3 y 3 d y terceira ordem y = e Equação diferencial ordinária linear de d) yy y = Equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem e) d3 y 3 + y = 0 Equação diferencial ordinária não-linear de terceira ordem Eemplos B: Em cada aplicação abaio, classificar a equação diferencial dada quanto ao tipo, ordem e linearidade. a) Fatos eperimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taa proporcional à quantidade presente do material. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t, então a taa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dq/dt, é dada por:

9 8 dq dt = kq(t) onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico. Tipo: Ordem: Linearidade: b) A taa de variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dp/dt, é proporcional à população presente. Em outras palavras, se P=P(t) mede a população, nós temos: onde a taa k é uma constante. dp dt = kp(t) Tipo: Ordem: Linearidade: c) Em um circuito em série, contendo apenas um resistor e um indutor, a Segunda Lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor (L (di/dt)) e da queda de tensão no resistor (ir) é igual à voltagem (E(t)) no circuito, ou seja: L di + Ri = E(t) dt Tipo: Ordem: Linearidade:

10 9 Definição : Resolução de uma Equação Diferencial Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. Definição 3: Solução É a função que quando substituída na equação diferencial a transforma numa identidade. As soluções podem ser: Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. As soluções ainda podem ser: Solução eplícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f() é chamada solução eplícita. Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G(,y)=0 trata-se de uma solução implícita.

11 10 Eemplos: (a) Verificar que y = 4.e é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e d y primeiro grau 0. temos: Observando que. d y 4 e e 4. e 4.e - + ( 4.e - ) = 0 0 = 0 e substituindo na equação diferencial dada, A solução y = 4.e no eemplo acima é um eemplo de uma solução particular de uma equação diferencial. Podemos verificar que y = 4.e é também uma solução particular da equação diferencial no eemplo (a). Deste modo, uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular. 1 C. e (b) Verificar que y = 1 C. e 1 primeiro grau ( y 1). é uma solução da equação diferencial de primeira ordem e A primeira derivada da equação dada é equação diferencial dada, temos:. C. e 1 C. e. C. e 1 C. e. C. e 1 C. e 1 1 C. e = 1 1 C. e. Substituindo este resultado na 1 1 C. e C. e 1 C. e C. e = 1 C. e. C. e 1 C. e = 1 4. C. e 1 C. e. C. e 1 C. e.

12 11 Uma solução y = f() de uma equação diferencial de ordem n contendo n constantes arbitrárias é chamada uma solução geral. Assim, a solução y = y = 4.e - + C no Eemplo (a) é um eemplo de uma solução geral. 1 C. e 1 C. e no Eemplo (b) ou (c) Verifique que y = 4 16 é uma solução para a equação não-linear: = y1/ (d) Verifique que a função y = e é uma solução para a equação linear: y" y + y = 0 Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial. Eemplo:

13 1 3. PROBLEMA DE VALOR INICIAL (P.V.I.) Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y, y0, correspondente a um valor particular de, 0. Isto é, se y = f() pode ser uma solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(0). O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial. Ou seja, estamos interessados em resolver uma equação diferencial de 1º ordem: = f(, y) sujeita à condição inicial y( 0 ) = y 0, em que 0 é um número no intervalo I e y 0 é um número real arbitrário. O problema: é chamado de P.V.I = f(, y) { y( 0 ) = y 0 Eemplos: a) Mostre que y = C.e - é uma solução para a equação diferencial y + y = 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3. Sabemos que y = C.e - é solução porque y = -.C.e - e y + y = -.C.e - +.( C.e - ) = 0. Usando a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e = 0, obtém-se: y = C.e - 3 = C e -.0 C = 3 e conclui-se que a solução particular é y = 3.e -.

14 13 b) Verificar que y = C1.cos + C.sen é uma solução geral da equação diferencial y + y = 0. Primeiro, determinar as derivadas da função dada: y' = - C1.sen + C..cos y = - C1.cos - C..sen Substituindo na equação diferencial, temos: y + y = 0 - C1.cos - C..sen + ( C1.cos + C..sen) = 0 - C1.cos - C..sen + C1.cos + C..sen = 0 0 = 0 Portanto, y = C1.cos + C..sen é uma solução geral da equação diferencial dada com duas constantes arbitrárias distintas. 4. TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO Seja R uma região retangular no plano y definida por a b, c y d, que contém o ponto ( 0, y 0 ) em seu interior. Se f(, y) e df são contínuas em r, então eiste um intervalo I, centrado em 0 e uma única função y() definida em I que satisfaz o problema de valor inicial = f(, y), sujeito a y( 0 ) = y0.

15 14 Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?. Se tiver solução, será que esta solução é única? 3. Eiste uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, eiste o Teorema de Eistência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características. + p()y = q() Teorema: Considere o problema de valor inicial { y( 0 ) = y 0 Se p() e q() são contínuas em um intervalo aberto I e contendo 0, então o problema de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. Observa-se que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo similar ao cálculo de uma integral e sabe-se que eistem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções.

16 15 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 1) Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais. d y a) 7 0 b) 3 y 0 c) y d) y - 4y + y = 0 e) 3 0 f) y +.cos = 0 d y g) 5y y h) (y ) 3 - y + y = 0 i) y 0 j) y + e y = 3 ) Verificar que y = 4.e é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e d y primeiro grau 0. 3) Mostre que y = C.e - é uma solução para a equação diferencial y + y = 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3.

17 16 4) Verificar que cada uma das funções dadas y = f() é uma solução da equação diferencial dada. a) 3 ; y = 3 7 b) y ; y = + C c) y 4 ; y = - 4 d) y 4 ; y = - 4 5) Na aplicação abaio, classificar a equação dada quanto ao tipo, ordem e linearidade. Suponhamos que uma certa quantia A 0 de dinheiro seja depositado em uma instituição financeira que paga juros à taa k% a.a. O valor do investimento A(t), em qualquer instante t, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos juros: alguns fazemna mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja contínua. Seja da dt a taa de variação do valor do investimento e esta taa é proporcional a taa na qual o investimento cresce a cada instante t, ou seja: da dt = λ A, onde λ = k da { dt = k 100 A A(0) = A então: A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao investidor em qualquer instante t.

18 17 Gabarito Lista de Eercícios 1 Eercício 1: a) Segunda ordem e primeiro grau b) Primeira ordem e segundo grau c) Primeira ordem e primeiro grau d) Terceira ordem e primeiro grau e) Primeira ordem e segundo grau f) Primeira ordem e primeiro grau g) Segunda ordem e primeiro grau h) Segunda ordem e terceiro grau i) Primeira ordem e segundo grau j) Segunda ordem e primeiro grau Eercício : y = 4.e y = -4.e - y = 4.e - d y - 4e 0 0 4e

19 18 Eercício 3: y = C.e - y = -C.e - y + y = 0 -C.e - + C.e - = 0 0 = 0 Para: y(0) = 3. y = C.e - 3 = C.e 0 C = 3 y = 3.e - Eercício 4: a) y = y = 3 3 = 3 ; b) y = + C y y = +C (+C) = + + C +C = +C

20 19 ; c) y = - 4 y 4 y = = = ; d) y = - 4 y 4 y =-4 (-4)-( - 4) = 4 4 = 4 Eercício 5: Equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e primeiro grau.

21 0 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 5.1 Motivação A taa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo que no tempo t = 0 a população era P 0. Seja P a população no instante t dp dt a taa de crescimento populacional no instante t segundo as condições do problema então dp { dt = kp P(0) = P 0 Este modelo é conhecido como modelo de Malthus. Ele também é aplicado em certos tipos de microorganismos que se reproduzem por mitose. A equação acima é classificada como uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis. Vejamos, agora, como determinar a sua solução geral. 5. Introdução No estudo da metodologia de resolução de equações de primeira ordem, a forma mais simples de EDO é dada por: = g() (1) Se g() é uma função continua dada, então (1) pode ser resolvida por integração e sua solução é: = g() y = g() + c A equação (1) bem como a sua resolução é um caso especial das equações com variáveis separáveis.

22 1 Eemplos: a) = 1 + e Solução: b) = sen() Solução: 5.3. Definição de Equação Separável Uma equação diferencial da forma = g() h(y) é chamada separável ou tem variáveis separáveis. Observa-se que uma equação separável pode ser escrita como h(y) Se h(y), a equação () fica reduzida a (1). Agora, se y = f() denota uma solução para (), tem-se: Logo, h(f())f () = g() = g() () h(f())f () = g() + c (3)

23 Mas, = f (), assim (3) é o mesmo que h(y) = g() + c (4) 5.4. Método de Solução A equação (4) indica o procedimento na resolução para equações separáveis. Integrando-se ambos os lados de h(y) = g() obtém-se uma família a um parâmetro de soluções. Obs: Não há necessidade de usar duas constantes na integração de uma equação separável, pois h(y) + c 1 = g() + c em que c é arbitrária. h(y) = g() + c c 1 = g() + c Observação 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um termo na forma du u du du, escrevemos agora lnu C em vez de u C u ln. u Estamos agora percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo. Lembrar também de incluir a constante de integração C. Observação : Algumas regras para logaritmo na base e (e,718...) Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então: P1) ln (a. b) = ln a + ln b P3) ln (a ) =.ln a P) ln (a : b) = ln a - ln b P4) e lna = a

24 3 Eemplos: 1) Retornando ao eemplo inicial: A taa de crescimento de uma população é diretamente proporcional a população num instante considerado. Determinamos a variação populacional em função do tempo, sabendo que no tempo t = 0 a população era P 0. Seja P a população no instante t dp dt a taa de crescimento populacional no instante t segundo as condições do problema então dp { dt = kp P(0) = P 0 A solução geral é dada por: ) Uma colônia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presentes. Se o número de bactérias duplica em 4 horas, quantas horas serão necessárias para que as bactérias aumentem em 100 vezes a sua quantidade original?

25 4 3) Desintegração Radioativa A velocidade de uma substância radioativa é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Determinamos a lei de variação da massa da variação da massa da substância radioativa em função do tempo, sabendo que no instante t = 0 a massa era m 0. Determina-se a velocidade de desintegração como segue. Seja m a massa no instante t dm dt a velocidade de desintegração no instante t Segundo a condição do problema dm { = km dt em que k é um coeficiente de proporcionalidade (k > 0). Introduzimos o sinal m(0) = m 0 negativo uma vez que a massa decresce quando o tempo cresce. A solução geral desta equação é dada por:

26 5 4) O isótopo radioativo tório 34 desintegra-se numa velocidade que é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Se 100 miligramas desta substância são reduzidas a 8,04 miligramas em uma semana, ache uma epressão para a massa presente em qualquer tempo. Chamamos de meia vida de uma substância, ao período de tempo gasto para que a massa dessa substância se reduza a metade. Com base nisso determine a meia vida de 100 miligramas de tório 34.

27 6 5) A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taa de variação da temperatura de um corpo é proporcional a diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura de corpo e T m a temperatura do meio ambiente. Então a taa de variação da temperatura do corpo é dt variação de temperatura pode ser formulada como: dt dt = k(t T dt m) ou dt + kt = kt dt m e a lei de Newton relativa à onde k é uma constante de proporcionalidade. Se k > 0, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton, a fim de tornar dt negativa em um processo de resfriamento. A solução geral dessa equação é dada por: dt

28 7 6) Sabendo que uma ícara de café se encontra à temperatura de 100ºC e é colocada num ambiente à temperatura de 0ºC, tendo resfriado até 80ºC ao fim de minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura seja reduzida para 40ºC. 7) Suponha que, se deiada em paz, uma população de peies cresça a uma taa contínua de 0% ao ano. Suponha também que peies estejam sendo colhidos (apanhados) por pescadores a uma taa constante de 10 milhões de peies por ano. Levando em consideração estas informações, podemos predizer a população P de peies no futuro por meio de uma equação diferencial. Escreva-a:

29 8 Considerando que a população de peies, inicialmente, seja de 60 milhões: a) encontre a epressão que determina a população para qualquer tempo futuro; b) determine a população de peies no segundo ano.

30 9 8) Resolva (1 + ) y = 0 A solução é dada resolvendo-se as integrais de ambos os lados, após reescrever a equação: 9) Resolva o problema de valor inicial = y, y(4) = 3

31 30 LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Resolver a equação diferencial y = 0 sujeita à condição inicial y() = 1. ) Resolver a equação diferencial y + y = 0 sujeita à condição inicial y(3) =. 3) Resolva: y 0 3 4) Resolva: 3 y y 0 5) Resolva: y 0 6) Resolva: y cos 0 3 7) Determinar a solução particular da equação diferencial sujeita à condição dada: y 4 ; y (1) = 1 8) Determinar a solução geral da equação diferencial yy y 3 = 0. 9) Resolver a equação diferencial (1 + y ) y(1 + )y = 0. 10) Resover: 0 y e 11) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a temperatura ambiente é 0 o C e a temperatura de um corpo passa de 100 o C para 60 o C em vinte minutos, qual é o tempo necessário para que a temperatura do corpo seja igual a 30 o C? 1) A taa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 0 minutos, a temperatura do objeto chegou a 50 graus. Epresse a temperatura do objeto como função do tempo.

32 31 13) Uma substância, a 98º C, é colocada em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura desta substância é de 38º C. Supondo que durante o eperimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que a substância atinja 0º C? 14) A velocidade de desintegração do rádio é diretamente proporcional a sua massa no instante considerado. Se 10g de rádio são reduzidas a 9,93g em 15 anos, ache uma epressão para a massa dessa substância presente em qualquer tempo e encontre a meia vida de 10g dela. 15) Numa certa cultura de bactérias a taa de aumento é proporcional ao número de bactérias presente. Verificando que o número dobra em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 1 horas? 16) Numa determinada cultura de bactérias a taa de aumento é proporcional ao número de bactérias presentes em determinado instante. Sabe-se que no fim de 3 horas eistiam 10 4 e no fim de 5 horas , quantas bactérias eistiam no começo, ou seja, qual a população inicial de bactérias? 17) Sabendo que uma determinada substância radioativa se decompõe numa razão proporcional a quantidade eistente e que sua meia vida se dá em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos. 18) O nuclídeo radioativo plutônio 41, decai de acordo com: dm dt = 0,055m onde m está em miligramas e t em anos.

33 3 a) Determinar a meia-vida do plutônio 41. b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio eistirá daqui 10 anos? 19) Suponhamos que uma certa quantia A 0 de dinheiro seja depositado em uma instituição financeira que paga juros à taa k% a.a. O valor do investimento A(t), em qualquer instante t, depende da frequência na qual o juro é capitalizado e também da taa de juros. As instituições financeiras seguem várias orientações no que se refere a capitalização dos juros: alguns fazem-na mensalmente, outras semanalmente e até diariamente. Admitiremos que a capitalização seja contínua. Seja da a taa de variação do valor do investimento e esta taa é proporcional a taa na dt qual o investimento cresce a cada instante t, ou seja: da dt = λ A, onde λ = k da { dt = k 100 A A(0) = A então: A solução dessa equação diferencial fornece o valor do montante A(t) creditado ao investidor em qualquer instante t. Determine esta solução geral. 0) Empresta-se 100 u.m a juros compostos de 4%a.a. Em quanto tempo teremos um total de 00 u.m.

34 33 Gabarito Lista de Eercícios 1) S.G.: y = + c S.P.: y = 3 ) S.G.: y = c S.P.: y = 6 3) S.G.: y = 1 ln +c 4) S.G.: y = ce 3 5) S.G.: y = c 6) S.G.: y = 1 (sen() c) 7) S.G.: y 3 = c S.P.: y 3 = 1 3 8) S.G.: y = 1 ln +c 9) S.G.: y = c(1 + ) ) S.G.: y = 3e + c 11) t 59,4min 1) T(t) = 40e 0,014t ) t 13 minutos 14) m(t) = 10e 0,00047t ; t 1475 anos 15) P(1)=7,69P0

35 34 16) P(0) = ) m(100) = 0,96m0 Perdeu 4% 18) a) t 13, anos; b) m 9,58mg 19) A(t) = C e kt 100

36 35 6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES 6.1. Motivação Na década de , a poluição nos Grandes Lagos tornou-se uma preocupação pública. Estabeleceremos um modelo para quanto tempo levaria até que os lagos se livrassem da poluição, supondo que não fossem jogados mais poluentes no lago. Seja Q a quantidade total de poluentes num lago de volume V ao tempo t. Suponha que a água limpa está fluindo para o lago a uma taa constante r e que a água escorre para fora à mesma taa. Suponha que o poluente esteja uniformemente distribuído pelo lago e que a água limpa que entra no lago se mistura imediatamente com o resto da água. Como varia Q com o tempo? Primeiro, observe que como poluentes estão saindo do lago mas não estão entrando, Q decresce e a água que deia o lago se torna menos poluída, de modo que a taa à qual saem os poluentes diminui. Isto nos diz que Q é decrescente e côncava para cima. Além disso, os poluentes nunca serão totalmente removidos do lago, ainda que a quantidade que resta se torne arbitrariamente pequena. Para entender como varia Q com o tempo, escrevemos uma equação diferencial para Q. Sabemos que Taa de variação de Q = Taa à qual saem poluentes no escoamento O sinal negativo representa o fato de Q estar decrescendo. Ao tempo t a concentração de poluentes é Q V e água contendo essa concentração está saindo à taa r. Assim Taa à qual poluentes se escoam = Taa do escoamento Concentração = r Q V Portanto, a equação diferencial é dq dt = r Q V

37 36 A equação acima é caracterizada como sendo uma equação diferencial de primeira ordem linear. 6.. Introdução Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, n d y n d n-1 a a a y g() a n n-1 n y Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem Definição Equação Linear Uma equação diferencial da forma a1( ) a0 ( ) y g( ) é chamada de equação linear. Dividindo pelo coeficiente a1(), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear: P.y Q(). (1) Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções P() e Q() são contínuas. Na discussão a seguir, supomos que (1) possui uma solução. Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como

38 37 + [P().y - Q()] = 0 () Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma função () em que () + ()[P().y - Q()] = 0 (3) é uma equação diferencial eata. Pelo Teorema (Critério para uma Diferencial Eata), o lado esquerdo da equação (3) é uma diferencial eata se () = y ()[P().y - Q()] (4) ou dμ P(). Esta é uma equação separável em que podemos determinar (). Temos d P() assim ln P() (5) ( ) e P() (6) Assim a função () definida em (6) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos usar uma constante de integração em (5), pois (3) não se altera se a

39 38 multiplicarmos por uma constante. Ainda, () 0 para todo em I, e é contínua e diferenciável. Multiplicando a equação (1) por (6), obtemos: P() P() P() e e P y e Q() d P(). e Q( ). e P() y (integrando ambos os lados) y e P() Q e P(). ( ). C. Assim sendo a solução geral é dada por y e P() P() Q( ). e C (7) Teorema: Solução de uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem Um fator integrante para a equação diferencial linear de primeira ordem y + P().y = Q() é ( ) e P(). A solução da equação diferencial é y e P() Q e P() ( ). C.

40 Sintetizando o método de solução: (1) Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque a na forma abaio, isto é, faça o coeficiente de p( ) y f ( ) () Identifique P() e encontre o fator de integração e P( ) (3) Multiplique a equação obtida em pelo fator de integração: e P( ) e P( ) p( ) y e P( ) f ( ) (4) O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é, P( ) P( ) e y e f ( ) (5) Integre ambos os lados da equação encontrada e obtemos P( ) e P( ) e y f ( )

41 40 Eemplos: 1) Retornando ao eemplo da seção 6.1 sobre o problema da poluição e usando o quadro abaio, que contém valores de r e V para quatro dos Grandes Lagos, determine: a) quanto tempo levará até que 90% da poluição seja removida do Lago Erie; b) para que 99% seja removida. Quadro: Volume e escoamento nos Grandes Lagos Lago V (milhares de km 3 ) r (km 3 /ano) Superior 1, 65, Michigan 4,9 158 Erie 0, Ontario 1,6 09

42 41 ) A mistura de duas soluções de sal de concentrações diferentes resulta em uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor que um tanque de mistura grande comporte 300 litros de salmoura. Outra solução de salmoura é bombeada para dentro desse tanque grande a uma taa de 3 litros por minuto; a concentração de sal neste fluo é de kg de sal por litro. Quando a solução do tanque estiver bem misturada, ela é bombeada para fora à mesma taa da solução de entrada. Se A(t) corresponde a taa de sal (medida em quilos) no tanque no instante de tempo t, a taa com a qual A(t) se modifica é uma taa líquida: da dt = (taa de entrada de sal) (taa de saída de sal) = R in R out A taa de entrada R in com a qual o sal entra no tanque é o produto do fluo da concentração de sal e o fluo da concentração de fluído. Observe que R in é medido em quilos por minuto R in = ( kg/l) (3 l/min) = (6 kg/min) Agora, como a solução está sendo bombeada para fora do tanque com a mesma taa que ela é bombeada para dentro, a quantidade de litros de salmoura no tanque no instante de tempo t é um valor constante de 300 litros. Consequentemente, a concentração de sal no tanque, assim como no fluo para fora, é e assim, a taa de saída R out de sal é Ou c(t) = A(t) 300 kg/l R out = ( A(t) A(t) kg/l) (3 l/min) = kg/min A taa líquida então se escreve da dt = 6 A 100 da dt A = 6 Assim, propõe-se a seguinte questão: se eistissem 50kg de sal inicialmente dissolvidos em 300 litros, qual é a quantidade de sal no tanque após um longo período de tempo?

43 4 Solução: Para obter a quantidade de sal A(t) no tanque no instante t, resolvemos o problema de valor inicial da dt + 1 A = 6, A(0) =

44 43 3) Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda Lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem do indutor (L(di/dt)) e no resistor (ir) é igual à voltagem aplicada no circuito (E(t)). Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t): L di + Ri = E(t) (1) dt onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/c, em que q é a carga no capacitor. Assim, para o circuito em série, a segunda Lei de Kirchhoff nos dá Ri + 1 q = E(t) () C Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i=dq/dt; desta forma, () transformase na equação diferencial linear R dq + 1 q = E(t) (3) dt C Considerando que uma bateria de 1 volts é conectada a um circuito em série, no qual a indutância é ½ henry e a resistência é 10 ohms, determine a corrente i se a corrente inicial for 0.

45 44. 4) Encontre a solução geral de 6 4y e Solução: Escreva a equação como 4 y 5 e (dividindo por ) (1) termo P() 4 - Como P() = -4/, o fator integrante é ( ) e e = e -4 ln = 4. Aqui, usamos a identidade básica b log b N = N, N > 0. Agora, multiplicamos (1) por este y. e e obtemos y e () d 4..y e. (3) Segue-se da integração por partes que ou 4 y = e e + c y() = 5 e 4 e + c 4.

46 45 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 1) Um tanque contém 00 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taa de 4 L/min; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taa. Ache a epressão para A (t) de gramas de sal no tanque no instante t. ) Uma força eletromotriz de 100 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 00 ohms e a capacitância é de 10-6 farads. Ache a carga q(t) no capacitor se q(0)=0. Ache a corrente i(t). 3) Depois de cessar a administração de uma droga no corpo de um paciente, a taa à qual a droga deia o corpo é proporcional à quantidade de droga que permanece no corpo. a) Se Q representar a quantidade remanescente, encontre uma EDO que epresse Q. b) Sabendo-se que ácido volpróico é uma droga usada para controlar epilepsia e que sua meia-vida no corpo humano é de cerca de 15h, use esta meia-vida para achar a constante k da EDO obtida na questão anterior. c) A qual tempo restarão 10% da droga? 4) Um fumante em cadeia fuma cinco cigarros por hora. De cada cigarro, 0,4mg de nicotina são absorvidas na corrente sanguínea da pessoa. A nicotina deia o corpo a uma taa proporcional à quantidade presente, com constante de proporcionalidade -0,346. a) Escreva uma equação diferencial para o nível de nicotina no corpo, N, em mg, como função do tempo, t, em horas. b) Resolva a EDO anterior. Suponha que inicialmente não há nicotina no sangue. c) A pessoa acorda às 7h da manhã e começa a fumar. Quanta nicotina há no seu sangue quando ela vai dormir às 3h?

47 46 5) Resolver cada EDO abaio: 3 a) 5y e h) 3 y b). 3y e i) 5y = (4 + 6 ) 3y 3 c). 3 j) y ( 4) d). y 5 k) ( 1 ) y 3 3 e). y e (3 ) l) y tan sen f) 3 y e (3 1) m) 4 y 7 4 g) 4y e 3 n) y 5 6) Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas. a) 3y e ; y (0) = c) cosec y cot ; y (/) = 3/ y b) 3 ; y (1) = 3 d) 3y ; y (0) = 1

48 47 Gabarito Lista de Eercícios 3 1) A(t) = e t/50 ) q(t) = e 50t ; i(t) = 1 e 50t 3) a) dq dt = kq b) k 0,046 c) t 49,84 4) a) dn dt = 0,346N b) N(t) = 5,78 5,78e 0,346t c) 5,76mg 5).. a) y = -1/e 3 + Ce 5 g) y = 1/3³e 4 + C e 4 m) 5²y = C b) y = e - + Ce -3 h) y = (-1/3) + C e 3 n) y = ². ln (5/3) + C.² c) y = 4 /7 /+ C -3 i) y = 6 + C 5 d) y = ³ C² 4 j) y = 8 4 C e) y 3 k) (1 + ²).y = ³ + C e ce f) y = - e + C 3 e l) y = -cos()/ + c/cos()

49 48 6) a) y = e (3e 1) b) y = (³/) + 3.ln + C c) y.sen = + d) y = (/3) (1/9) + Ce -3

50 49 7 EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação diferencial P.y n Q().y (1) em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação (1) é linear em y. Agora, se y 0, (1) pode ser escrita como y -n P.y 1-n Q() () Se fizermos w = y 1 n, n 0, n 1, temos dw 1 n y n Com essa substituição, () transforma-se na equação linear dw (1 n).p.w (1 n).q() (3) Resolvendo (3) e depois fazendo y 1 n = w, obtemos uma solução para (1), ou seja, 1 y n e (1-n).P() ( 1 n). Q( ). e (1-n).P() C

51 50 Eemplos 1) Resolva 1 y y. (1) Solução = y 1 e dw Em (1), identificamos P() = 1/, Q() = e n =. Logo, a mudança de variável w = y 1- dw y nos dá 1 w. (*) O fator de integração para essa equação linear é e 1 ln 1 e. ou Multiplicando ambos os lados de (*) pelo seu fator integrante 1, obtemos: dw w 1 1 dw w 1 assim d 1. w 1. Integrando essa última forma, obtemos: -1 w = - + c ou w = - + c. Como w = y 1, então y = 1/w ou y = 1/(- + c)

52 51 ) Uma parte de uma corrente uniforme de 8m de comprimento está enrolada de forma livre em torno de uma estaca na beirada de uma plataforma horizontal elevada, estando a parte restante da corrente pendurada em repouso além da beirada da plataforma. Suponha que o comprimento da corrente pendurada seja de 3m, que o peso da corrente seja de N/m, e que a direção positiva seja para baio. Iniciando em t=0 segundos, o peso da parte pendurada faz com que a corrente na plataforma se desenrole suavemente e caia no chão. Considerando que (t) represente o comprimento da corrente pendurada no instante de tempo t>0, então v=/dt é sua velocidade. Quando todas as forças de resistência são ignoradas, pode-se mostrar que um modelo matemático relacionando v a é dado por v dv + v = 9,81 Determine a velocidade com a qual a corrente deia a plataforma.

53 5 3) No estudo da dinâmica de população, um dos mais famosos modelos para o crescimento de uma população de modo limitado consiste na equação logística dp dt = P(a bp) onde a e b são constantes positivas. Resolva esta EDO.

54 53 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 Gabarito Lista de Eercícios 4

55 54 8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM HOMOGÊNEAS 8.1. Definição Função Homogênea Se uma função f satisfaz n f ( t, ty) t f (, y) Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. Eemplos: (1) f(,y) = 3y + 5y () f(,y) = 3 + y OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida eaminando o grau de cada termo. Eemplos: (1) f(,y) = 6y 3 y A função é homogênea de grau quatro. grau 4 grau 4

56 55 () f(,y) = y A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes grau grau Definição: Equação Homogênea Uma equação diferencial da forma M(,y) + N(,y) = 0 é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir. Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas Se M(,y) + N(,y) = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = u. onde u é uma função diferenciável de e = u + du. OBS: São válidas também as substituições = y.v e = y dv + v.

57 56 Eemplo 1: Resolva ( + y ) + ( y) = 0 Eemplo : Resolva o PVI = y + ey/, y(1) = 1

58 57 LISTA DE EXERCÍCIOS 5 1) Resolva cada uma das equações: a) = y b) y = y+ c) ( + y ) y =0 d) y = +y y e) y = 4 +3 y +y 4 3 y f) = y y g) (y ) y 3 = 0 h) (y + y) + = 0 i) ( y) + = 0 j) ( + y) + = 0 k) + (y ) = 0

59 58 l) (y + y) = 0 m) y = y3 3, y(1) = a) y = ln ( c ) b) y = c c) y = 4 c d) y = c e) y = ( + 1) ln +c f) y 3 3y = c g) y 4 = 8 c 4 h) y = c(y+) i) y = ln() + c 1 Gabarito Lista de Eercícios 5 j) y = c k) ln ( y ) y l) y = ln()+c = ln() + c m) y 3 = 3 3 ln() + 8 3

60 59 9. EQUAÇÃO EXATA 9.1. Definição Equação Eata Uma epressão diferencial M (, y) N(, y) 0 é uma diferencial eata em uma região R do plano y se ela corresponde à diferencial total de alguma função f (, y). Uma equação diferencial da forma M (, y) N(, y) 0 é chamada de uma equação eata se a epressão do lado esquerdo é uma diferencial eata. 9.. Teorema Critério para uma diferencial eata Sejam M (, y) e N (, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular R definida por a < < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que M (, y) N(, y) 0 seja uma diferencial eata é M y N 9.3. Método de Solução Dada a equação M (, y) N(, y) 0 Mostre primeiro que Depois suponha que M y N

61 60 f M (, y) daí podemos encontrar f integrando M(, y) com relação a, considerando y constante. Escrevemos, f (, y) M (, y) g( y) em que a função arbitrária g (y) é a constante de integração. Agora, derivando f(,y) com relação a y e supondo f y N(, y) : f y y M (, y) g ( y) N(, y) Assim, g ( y) N(, y) M (, y). y Finalmente, integre g (y) com relação a y e substitua o resultado em f(,y). A solução para a equação é f (, y) = c. Eemplos:

62 61 LISTA DE EXERCÍCIOS 6 1) Resolva y + ( 1) = 0 R: y y = c. ) Resolva o problema de valor inicial (cos sen y ) + y.(1 - ) = 0, y (0) =. R: y (1 ) cos = 3 3) Verifique se a equação diferencial dada é eata e, se for, encontre sua solução geral. a) ( 3y) + (y 3) = 0 R: ² - 3y + y² = C b) ye + e = 0 R: ye = C c) (3y + 10y ) + (6y + 10 y) = 0 R: 3y² + 5²y² - y = C d).cos( y) - cos( y) = 0 R: sen( y) = C e) (4 3 6y ) + (4y 3 6y) = 0 R: não é eata 4) Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 3 e a) (sen3y cos3y) 0 ; y(0) = b) ( + y ) + y = 0; y(3) = 1 R: e 3.sen3y = 0 R: y² + 3 = 1 3

63 6 10. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS REDUTÍVEIS A EXATAS Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não eata em uma equação eata multiplicando-a por uma função (,y) chamada fator de integração. Porém, a equação eata resultante: M(,y) + N(,y) = 0 pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções. Eemplo Se a equação diferencial y + = 0 (Não é uma equação eata) for multiplicada pelo fator integrante (,y) =, a equação resultante y + = 0 (Equação eata) é eata, ou seja, M y N. Eercício: Verificar se F = 1, em (0, ) é um fator de integração que torna a EDO ( + y) + ln = 0 uma equação eata. Se for, resolva-a.

64 63 Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, eistem duas classes de equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de ou apenas de y. O Teorema a seguir, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes. Teorema Fatores Integrantes 1. Se Considere a equação diferencial M(,y) + N(,y) = 0. 1 N(, y) [My(,y) N(,y)] = h() h( ) é uma função só de, então e é um fator integrante.. Se 1 M(, y) [ N(,y) - My(,y)] = k(y) k( y) é uma função só de y, então e é um fator integrante. Eemplo 1 Encontre a solução geral da equação diferencial (y ) + y = 0. Solução: A equação dada não é eata, pois My(,y) = y e N(,y) = 0. Entretanto, como 1 N(, y) [My(,y) N(,y)] = 1 [y 0] = 1 = 0 = h() y

65 64 temos que e h( ) = e1 e obtemos a equação diferencial eata (y e e ) + ye = 0 cuja solução é obtida da seguinte maneira: é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por e, e f(,y) = N(, y) ye y g( ) f (,y) = y e g ( ) = y e e ' ' g ( ) = e (integração por partes) Logo, g() = e + e, o que implica na solução geral e y e + e = c. OBS: Um outro fator integrante é: Se M(,y) = y. f(,y) e N(,y) =. g(,y), então 1 (, y) (*).M(, y) - y.n(, y) Eemplo Resolva y = y y. Solução Escrevendo a equação sob forma diferencial, temos y y

66 65 (y y) = 0 y.(y 1).(1) = 0 (multiplicando por 1) y.(1 - y) +.(1) = 0 (1) De acordo com (*), temos: (,y) =. 1 y. 1- y - y..(1) = 1.y - y - y = 1 - y Multiplicando (1) por (,y), obtemos: = 1 (y) 1 (y).[y.(1 - y) +.(1)] = 0, ou seja, y 1 1 y y 0 que é eata. Aplicando o método de resolução de equação eata, chegamos à solução y = - 1/(.lnc)

67 66 LISTA DE EXERCÍCIOS 7 a) Encontre o fator integrante que é função apenas de ou apenas de y, e use-o para encontrar a solução geral da equação diferencial dada. 1. y - ( + 6y ) = 0 6. ( y 1) + 3 = 0. ( 3 + y) - = 0 7. y + (y - 1) = 0 3. (5 - y) + = 0 8. ( + + y) + = 0 4. (5 y ) + y = 0 9. y + ( sen y ) = 0 5. ( + y) + tg = (-y 3 + 1) + (3y + 3 ) = 0 Gabarito Lista de Eercícios 7 1) FI: 1/y² (/y) 6y = C 6) FI: -1 ²y - ln = C ) FI: 1/² (y/) ² = C 7) FI: (1/y) y - lny = C 3) FI: 1/² (y/) + 5 = C 8) FI: e e (y + ² ) = C 4) FI: e - e - (y² - 5² ) = C 9) FI: (1/ y ). y + cos y = C 5) FI: cos y.sen +.sen + cos 10) FI: -3 - y³ + y - (1/ ²) = C

68 67 TABELA DERIVADAS, INTEGRAIS E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADAS Sejam u e v funções deriváveis de e n constante y u n y u v u y v y a y e u u n1 y' nu u'. y' u' v v' u. u' v v ' u y '. v y ' a u (ln a) u ', a 0, a y' e u u'. 6. u ' y' log a e. u 7. 1 y' u'. u 8. v y u v1 v y' v u u' u (ln u) v'. 9. y sen u y' u'cos u. 10. y cos u y' u'sen u. y log a u y lnu 11. y tg u. y' u'sec u 1. y cotg u y' u'cosec u. 13. y sec u y' u'sec u tg u. 14. y cosec u y' u'cosec u cotg u. 15. y arc sen u y ' u ' 1 u. 16. y arc cos u y ' u ' 1 u. 17. y arc tg u u ' y '. 1 u 18. y arc cot g u u '. 1 u 19. y arc sec u, u 1 u' y', u 1. u u 1 u' 0. y arc cosec u, u 1 y', u 1. u u 1

69 68 INTEGRAIS (01) du u C du (0) ln u C u α1 α u (03) u du C α 1 u u a (04) a du C lna u u (05) e du e C (06) senu du cosu C (07) cosu du sen u C (08) tgu du lnsecu C (09) cotgu du lnsenu C (10) cosecu du ln cosecu cotgu C (11) secu du lnsecu tgu C (1) sec u du tgu C (13) cosec u du - cotgu C (14) secu.tgu du secu C (15) cosecu.cotgu du - cosecu C du u (16) arc sen C a u a du 1 u (17) arc tg C a u a a du 1 u (18) arc sec C u u a a a (19) senhu du coshu C

70 69 (0) coshu du senhu C (1) sech u du tghu C () cosech u du - cotghu C (3) sechu.tghu du sechu C (4) cosechu.cotghu du - cosechu C du (5) ln u u a C u a du 1 u a (6) ln C a u a u a du 1 a a u (7) ln C u a u a u FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA n 1 n-1 n 1 (01) sen u du sen u.cos u sen n n n 1 n-1 n 1 (0) cos u du cos u.sen u cos n n n 1 n-1 (03) tg u du tg u tg n -1 n- u du n 1 n-1 (04) cotg u du cotg u -cotg n -1 n- n- u du n 1 n- n (05) sec u du sec u.tg u sec n -1 n -1 n- u du u du n- u du n 1 n- n (06) cosec u du cosec u.cotg u cosec n -1 n -1 (07) u du a n u. u a 1n a n 3 du n 1 a n 1 u a n1 n- u du

71 70 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS u a a u u = a sen du = a cos d a u = a.cos u a a u u = a tg du = a sec d a u = a.sec u a u a u = a sec du = a sec tg d u a = a. tg IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1. sen cos 1.. 1tg sec. 3. 1cotg cosec cos sen cos cos. 6. sen sen cos. 7. sen cos y sen y sen y 8. sen sen y cos y cos y 9. cos cos y cos y cos y sen 1 cos. 11. sen cosy = ½ [sen( y) + sen( + y)] 1. sen seny = ½ [cos( y) - cos( + y)] 13. cos cosy = ½ [cos( y) + cos( + y)] 14. cos (a b) = cosa.cosb sena.senb 15. sen (a b) = sena.cosb senb.cosa

72 tg = sen / cos 17. cotg = cos / sen 18. sec = 1 / cos 19. cosec = 1 / sen ALFABETO GREGO