Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Cálculo III. Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

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1 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Cálculo III Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo I Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 1

2 I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 2

3 1.1 Introdução Em ciências físicas, biológicas e sociais, frequentemente se deseja descrever ou modelar matematicamente o comportamento de algum sistema ou fenómeno. Os modelos matemáticos e suas soluções se traduzem emequações que relacionam as variáveis e os parâmetros no problema, e que permitem, em muitos casos, fazer previsões sobre como os processos naturais se comportarão em tais circunstâncias. 1.1 Introdução Entretanto, não obstante o modelamento matemático, em muitos casos, ser mais fácil com relação a permitir a variação dos parâmetros quando comparado ao estudo em um ambiente experimental, tanto o modelamento matemático como a experimentação ou observação são muito importantes e complementares em uma investigação científica. Modelos matemáticos são validados comparando-se as suas previsões com resultados experimentais obtidos. 3

4 1.1 Introdução Por outro lado, análises matemáticas podem sugerir as direções mais promissoras para exploração experimental e podem indicar, com boa precisão, que dados experimentais serão mais úteis. A construção de um modelo matemático de um sistema começa com a identificação e seleção das variáveis responsáveis pela variação do sistema. É nesta etapa que o nível de resolução do modelo será especificado. 1.1 Introdução Em uma segunda etapa, busca-se a elaboração de um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema que se está tentando descrever, as quais também incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis ao sistema. A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema é, muitas vezes, uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. 4

5 1.1 Introdução Espera-se que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema. Porém, se as predições obtidas pela solução forem insuficientes, pode-se elevar o nível de resolução do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança do sistema. Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema. 1.1 Introdução Em outras palavras, os valores da variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro. No decorrer do curso serão examinados vários problemas físicos e geométricos que conduzem a equações diferenciais e os métodos padronizados mais importantes para solucionar tais equações, ilustrando, assim, a transição de um problema físico para um modelo matemático. 5

6 1.1 Introdução. Diagrama para criar modelos matemáticos (lusoacademia.org/2016/02/17/aplicacao-dasequacoes-diferenciais-de-primeira-ordem/ I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 6

7 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Definição Muitos dos fenômenos físicos estudados são descritos por relações envolvendo taxas de variação, os quais, quando expressos em termos matemáticos, apresentam-se na forma de equações contendo derivadas de uma função desconhecida. Tais equações são chamadas de equações diferenciais, cuja definição pode ser expressa como segue: 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Uma equação que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de equação diferencial. Por exemplo, se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y, y,...,y (n) é chamada de equação diferencial de ordem n. 7

8 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Classificação das equações diferenciais: Equação Diferencial Ordinária (EDO): envolve derivadas de uma função de uma só variável independente. Equação Diferencial Parcial (EDP): envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente. Na presente disciplina serão estudadas apenas as equações diferenciais ordinárias. As equações diferenciais parciais serão discutidas em outro momento. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Ordem das equações diferenciais: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. De forma mais geral, se y é uma função de x, então uma EDO de ordem n pode ser escrita como F(x,y,y,y,...,y (n) ) = 0, em que F é uma função de x, y e suas derivadas y, y,...,y (n). 8

9 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Na prática, assume-se que se pode resolver a função acima na derivada y (n), isto é, considerar-se-á y (n) = f(x,y,y,...,y (n-1) ) como protótipo de EDO de ordem n. Soluções de uma ED: A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada, ou seja, tal função, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade. A solução de uma ED pode ser apresentada de dois tipos: solução geral ou solução particular. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Solução geral: é a solução que apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da ED). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas como c, 2c, c 2, ln c (c é um valor desconhecido). Solução particular: é a solução que pode ser obtida da solução geral mediante condições dadas no problema, denominadas condições iniciais ou condições de contorno (tais condições permitem a determinação do valor c). 9

10 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Exemplo: EDO: y = dy dx = 3x2 4x + 1 Solução geral: y = x 3 2x 2 + x + C Solução particular: condição inicial y = 1 = 3 3 = ( 1) 3 2( 1) C C = 7 y = x 3 2x 2 + x + 7 Observação: em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução para se obter a equação diferencial dada. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Equações lineares e não lineares: Uma equação diferencial ordinária é dita linear se a função F é linear com respeito as variáveis y, y,..., y (n-1) e y (n). Consequentemente, uma EDO pode ser escrita como: a o (x)y (n) + a 1 (x)y (n-1) a n (x)y = g(x), em que a o, a 1,..., a n e g são funções somente de x. Uma EDO que não é linear é dita não-linear. Em outras palavras, uma EDO não-linear não pode ser escrita como a anterior. 10

11 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Exemplos: 1. A EDO de 2ª ordem t 2 y -3ty +4y=0 é linear, pois pode ser escrita como a o (t)y +a 1 (t)y +a 2 (t)y = g(t), com a o (t) = t², a 1 (t) = - 3t, a 2 (t) = 4 e g(t) = A EDO de 3ª ordem y +2e t y +yy t = 0 é não linear, pois envolve o produto de y por y t. 3. A EDO de 2ª ordem y +(y )²+xy = 0 é não linear, pois envolve a potência de y. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Sistemas de equações lineares ordinárias: Um sistema de EDOs é composto de várias equações envolvendo duas ou mais funções desconhecidas, todas dependentes da mesma variável. Exemplo: Sejam x (t) e y(t) as densidades populacionais de duas espécies no instante t. Assume-se que essas duas espécies interagem de forma presa-predador, onde x representa as presas e y os predadores. 11

12 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos A dinâmica das duas espécies pode ser modelada através do sistema não linear dx dt dy dt = ax xy = by + βxy - em que a, b, e são constantes positivas. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos EDO de primeira ordem - Definição Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem pode ser escrita sob as formas: implícita F(x, y, y ) = 0 explícita y = f(x, y). A forma explícita pode ser escrita em muitos casos, mas nem sempre ela é possível. Dependendo de como a EDO de primeira ordem se apresenta, existem vários métodos que permitem a sua resolução, os quais serão tratados a seguir. 12

13 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos EDO de primeira ordem Problema de valor inicial Um problema de valor inicial (PVI) é caracterizado quando se tem interesse em resolver uma EDO de primeira ordem sujeita à condição inicial y(x o ) = y o, em que x o é um número no intervalo I e y o é um número real arbitrário. Em termos geométricos, procura-se uma solução para a EDO, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe pelo ponto (x o, y o ) determinado a priori. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Exemplo. A solução geral da EDO y = y é a família de curvas y = ce x no intervalo (, ). Se for especificado, por exemplo, y 0 = 3, então substituindo-se x = 0 e = 3 na família de curvas, obter-se-á 3 = ce 0 = c. Logo, a função y x = 3e x é uma solução para o PVI (gráfico). y = y, y 0 = 3 Se fosse pedido uma solução para a EDO que passasse pelo ponto (1, 3), em vez de (0, 3), então essa nova condição daria c = 3e 1 e, daí, y = 3e x 1 (gráfico). Para (2, 3), c = 3e 2 etc. 13

14 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos (0, 3) (1, 3) (2, 3) Curvas y = ce x referentes à condições iniciais. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos EDO de primeira ordem Existência e unicidade das soluções Antes de considerar um problema de valor inicial, deseja-se saber se existe uma solução para tal problema e, quando existe, se ela é única. As condições suficientes para garantir a existência e unicidade de soluções de um problema de valor inicial, tal como o mostrado anteriormente, são dadas pelo teorema devido ao matemático francês Picard. 14

15 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Teorema. Existência e unicidade de solução. Seja R uma região retangular no plano xy definida por a x b, c y d, que contém o ponto (x o, y o ) em seu interior. Se f x, y e fτ y são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em x o e uma única função y x definida em I que satisfaz o problema de valor inicial y = dy = f x, y, y x dx o = y o Demonstração. Requer conhecimentos posteriores, tal como o método das aproximações sucessivas (método iterativo de Picard). 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos y d R (x o, y o ) c a I b x Geometria do teorema da existência e unicidade das soluções 15

16 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Exemplo 01. O PVI y = x y, y 0 = 0, admite duas soluções cujos gráficos passam por (0, 0). y 1 x = Τ x 4 16 e y 2 x = 0 Mas, como as funções f x, y = x y e f y = x 2 y é são contínuas no semiplano superior definido por y > 0, o teorema garante que dado um ponto qualquer (x o, y o ) com y o > 0, por exemplo, (0,1), existe algum intervalo em torno de x o no qual a equação diferencial dada possui um única solução y x, tal que y x o = y o. 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos Exemplo 02. Considerando-se o PVI y = y², para y 0 = 1, observa-se que f(x, y) = y 2 f e = 2y y são ambas contínuas em todo plano xy. Em particular, no retângulo R = 2, 2 x (0, 2) que contém o ponto (0, 1). Pelo teorema, o PVI admite uma única solução y = y(x) para x em um intervalo I ( 2, 2). De fato, a única solução é y x = 1Τ1 x, x 1 que está definida no intervalo I = 2, 1 2,2. 16

17 1.2 Conceitos e fundamentos teóricos y R (0,1) 2 Região de definição para o PVI -2 I 0 1 Em geral, não é possível determinar um intervalo específico I no qual uma solução está definida sem realmente resolver a equação diferencial. 2 x I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 17

18 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Definição: Muitas equações diferenciais de primeira ordem são escritas na forma g y y = f(x), mas como y = dyτdx, pode ser mais conveniente escrever a equação acima na forma g y dy = f x dx Quando isso é possível, a equação é chamada de separável ou tem variáveis separáveis, porquanto as variáveis x e y puderam ser separadas nos membros da equação. 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Para resolver esse tipo de equações diferenciais, basta integrar ambos os membros, obtendo-se g y dy + c 1 = f x dx + c 2 g y dy = f x dx + (c 2 c 1 ) g y dy = f x dx + c, supondo-se que f x e g(y) são funções integráveis em um certo intervalo, ou seja, são funções contínuas nesse intervalo. 18

19 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Exemplo 01. encontrar a solução do seguinte problema de valor inicial (PVI) Solução geral: y = e 3t, y 1 3 = e 3 dy = e 3t dt dy = e 3t dt y = e3t + c 3 Solução particular: substituindo-se t = 1Τ3 e y = eτ3 na solução geral encontrada, obtém-se e = e 3( 1 3 ) + c e = e + c c = Assim, a solução do PVI será y = e 3t Τ3 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Esta solução é válida para < t <, que é o maior intervalo contendo t o = 1Τ3 em que a solução e sua derivada estão definidas. 19

20 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Exemplo 02. Resolver a equação y x x + 1 = y(x) dy dx Solução geral: x + 1 = y dy y = dx x+1 dy y = dx x+1 ln y + c 1 = ln x c 2 ln y = ln x c 2 c 1 ln y = ln x c Equações Diferenciais Separáveis e ln y = e ln x+1 +c 3 e ln y = e ln x+1 e c 3 y = x + 1 e c 3 y = ± e c 3 x + 1 Como ± e c 3 é uma constante, então a equação acima pode ser reescrita na forma y(x) = c x + 1 Como e c 3 é sempre diferente de zero, então ± e c 3 pode ser positivo ou negativo, mas diferente de zero. Logo c R. ou 20

21 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Em geral, os problemas pedem a solução explícita da equação, ou seja, pedem para isolar y(x), como apresentado, mas em alguns problemas isso não é possível. Em tais casos, deixa-se a solução da equação com y implícito, como por exemplo: ln y = ln x c Solução particular: caso o problema seja um PVI, como por exemplo y 0 = 2, tem-se: y x = c x = c c = 2 Logo, a solução particular será y(x) = 2 x Equações Diferenciais Separáveis Teste. Substituindo-se os valores de y(x) e y (x) na equação diferencial dada, tem-se: y(x) = 2 x + 1 ; y (x) = 2 y x x + 1 = y(x) 2 x + 1 = 2(x + 1), o que satisfaz a equação. 21

22 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Etapas de resolução de uma EDO separável: 1. Em vez da notação y, usar a derivada na forma dy/dx e escrever apenas y em vez de y(x); 2. Isolar o termo dy/dx e a função de y em um dos membros da equação, e o termo dx com a função de x no outro membro; 3. Integrar os dois membros, para achar a solução geral da EDO e, caso necessário, isolar y(x); 4. Se o problema for um PVI, substituir os respectivos valores na solução geral, achar a constante e, finalmente, a solução particular. 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Exemplo 03. Resolver a equação y = 4x 9y dy dx = 4x 9y Solução geral: y = 9ydy = 4xdx 9ydy = 4xdx + cҧ 9 y2 2 x2 = 4 + ҧ y2 c = x2 + cҧ x2 + 2cҧ y(x) = x2 + c (explícita) y 2 + x2 = cҧ y 2 + x = c (implícita) * Solução que representa uma família de elipses. 22

23 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Valor de c Condição inicial 100 y(0) = 6,7 120 y(0) = 7,3 140 y(0) = 7,9 160 y(0) = 8,4 180 y(0) = 8,9 200 y(0) = 9,4 Família de elipses. 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Exemplo 04. Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100 C, No instante t = 0 ela é imersa em água mantida a temperatura de 30 C. Após 5 minutos, a temperatura se reduz a 60 C, enquanto as demais condições não sofrem variação. Sabendo-se que a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, em questão, é dada pela EDO abaixo, determinar o instante necessário para que a temperatura da esfera atinja 60 C. dt = k(t T dt o). T - temperatura do corpo num determinado instante, T o - temperatura inicial do corpo, t - tempo de contato dos corpos, k - constante experimental (depende do material do corpo). 23

24 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Solução geral: dt = kdt (T T o ) 1 dt = (T T o ) kdt + c 1 ln(t T o ) = kt + c 1 e kt+c 1 = T T o e c 1 e kt = T T o T t = ce kt + T o T o = 30 C T t = ce kt Determinação da constante c: T 0 = 100 C ce k = 100 c = Equações Diferenciais Separáveis - Determinação de k: T 5 = 60 70e k = 60 ln 3 7 = k k = 0,847 - Tempo em que a temperatura atinge 31 C: T t = 31 70e 0,845t + 30 = 31 e 0,845 = 1 70 ln (e 0,845t ) = ln ,845t = 4,248 t =5 min. 24

25 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Exemplo 05. O modelo mais simples de crescimento populacional é aquele em que se supõe que a taxa de crescimento de uma população é proporcional à população presente naquele instante, ou seja, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Pode-se descrever o problema de encontrar y(t) como o problema de valor inicial dy dt = ky, y t o = y o, y = y o e kt, onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenómenos envolvendo crescimento ou decrescimento. 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Baseado nesse modelo, pede-se para calcular a população de uma cidade em 30 anos, sabendo-se que a sua população inicial, de 500 habitantes, cresce a uma taxa de 15% em 10 anos. Solução: dy y dy dt = ky, y 0 = 500, = kdt dy y = kdt ln y = k t + c 1 y = e kt+c 1 = e kt e c 1 y t = ce kt 25

26 1.3 Equações Diferenciais Separáveis - Determinação de c: t = 0, y = = ce k0 c = 500 y t = 500e kt - Determinação de k: t = 10, y = ,15 x 500 = = 500e k10 e k10 = = 1,15 ln e k10 = ln 1,15 k10 = ln 1,15 k = y t = 500e ln 1, Em 30 anos, tem-se y 30 = 500e ln 1,15 t ln 1, = Equações Diferenciais Separáveis Exemplo 06. Um termómetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5 C. Após 1 minuto, o termómetro marca 55ºC; após 5 minutos, 30ºC. Qual é a temperatura da sala? Solução: dt dt = k(t T o). T - temperatura da sala =? T o - temperatura do ar = 5 C 26

27 1.3 Equações Diferenciais Separáveis dt = k(t 5) dt dt = kdt (T 5) dt T 5 = kdt ln T 5 = kt + c 1 T 5 = e kt c 1 = e kt. e c 1 T = 5 + ce kt *Para T 1 = = 5 + ce 1k ce k = 50 *Para T 5 = = 5 + ce 5k ce 5k = 25 ce k 50 ce5k = 25 e 4k = 2 4k = ln 2 k = ln 2 4 ce k = 50 ce ( ln 2) Τ4 = 50 c = 59,4611 T = ,4611e [(ln 2)/4]t *Para t = 0 T = ,4611 T = 64, 4611 C 1.3 Equações Diferenciais Separáveis ln y = 2 (0,5t cos t) + c 5 ln y = 2 5 (0,5t cos t) = t 2 cos t+2 5 Exemplo 07. Suponha que determinada população tem uma taxa de crescimento que varia com o tempo e que essa população satisfaz a ED dy dt = 0,5 + sen t y/5. (a) Se y 0 = 1, encontre (ou estime) o instante t = τ no qual a população dobrou. Escolha outras condições iniciais e determine se o tempo de duplicação τ depende da população inicial. 27

28 1.3 Equações Diferenciais Separáveis (b) Suponha que a taxa de crescimento é substituída pelo seu valor médio 1/10. Determine o tempo de duplicação τ nesse caso. (c) Suponha que o termo sen t na ED é substituído por sen 2πt; ou seja, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente mais alta. Qual o efeito disto no tempo de duplicação da população τ? (d) Faça o gráfico das soluções obtidas nos itens a, b e c em um único conjunto de eixos. 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Solução: (a) dy dt dy y = 1 5 = 0,5 + sen t y/5. 0,5 + sen t dt dy tdt] sen + 0,5dt ] = 1 y 5 ln y = 1 5 (0,5t cos t + c 1) = 0,1t 0,2 cos t + 0,2c 1 y = e 0,1t 0,2 cos t e 0,2c 1 0,1t 0,2cos t y t = ce 28

29 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Condição inicial: y(0) = 1, portanto. para t = 0 y = 1, ou seja, a população inicial é igual a 1, então y 0 = ce 0,1(0) 0,2cos 0 = ce 0,2 = 1 c = e 0,2 y t = e 0,2 e 0,1t 0,2cos t 0,1t 0,2 cos t+0,2 y t = e Se inicialmente (t = 0) a população era igual 1, o tempo em que ela dobrou seria a condição y(τ) = 2, então y τ = e 0,1τ 0,2cos τ+0,2 = 2 Observa-se no gráfico da solução que esse tempo é igual a t = τ = 2, Equações Diferenciais Separáveis Se supormos, agora, que a condição inicial: y(0) = y o, portanto, para t = 0 y = y o, ou seja, a população inicial é igual a y o, então y 0 = ce 0,1(0) 0,2cos 0 = ce 0,2 = y o c = y o e 0,2 y t = y o e 0,2 0,1t 0,2cos t e 0,1t 0,2cos t+0,2 y(t) = y o e Se inicialmente (t = 0) a população era igual y o, o tempo em que ela dobrou seria a condição y(τ) = 2y o, logo y τ = y o e 0,1τ 0,2 cos τ+0,2 = 2y o ou y τ = e 0,1τ 0,2cos τ+0,2 = 2, isto é, o tempo de duplicação da população independe do seu valor inicial. 29

30 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Solução: (b) dy dt = 0,1y. dy y 0,1dt = dy y = 0,1dt ln y = 0,1t + c 1 y = e 0,1t+c 1 = e 0,1t e c 1 y t = ce 0,1t Para t = 0 y = 1 y 0 = ce 0,1(0) = 1 c = 1 y t = e 0,1t Para y τ = 2 y τ = e 0,1τ = 2 0,1τ = ln 2 τ = 6, Equações Diferenciais Separáveis Solução: (c) dy dt dy y = 1 5 = 0,5 + sen 2πt y/5. 0,5 + sen 2πt dt dy 2πtdt] sen + 0,5dt ] = 1 y 5 ln y = 1 (0,5t 1 cos 2πt + c 5 2π 1) = 0,1t 0,1 cos 2πt + 0,2c π 1 y = e 0,1t 01 π cos 2πt e 0,2c 1 y t = ce 0,1t 0,1 cos 2πt π 30

31 1.3 Equações Diferenciais Separáveis Para t = 0 y = 1 y 0 = ce 0,1(0) 0,1 π cos 0 = ce 0,1/π = 1 c = e 0,1/π y t = e 0,1/π e 0,1t 0,1 cos 2πt π y t = e 0,1t 0,1 cos 2πt+0,1 π π = e 0,1[t (cos 2πt 1)/π)] Para y τ = 2 y t = e 0,1t 0,1 cos 2πt+0,1 π π = 2, observa-se no gráfico da solução que esse tempo é igual a t = τ = 6, Equações Diferenciais Separáveis Solução: (d) 2,9632 6,9315 6,

32 I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 1.4 Equações Redutíveis à Forma Separável Algumas EDOs de primeira ordem que não são separáveis podem nelas se tornar mediante uma adequada mudança de variável. Isto pode ser feito nas chamadas equações homogêneas, que são aquelas que devem satisfazer a seguinte relação: f λx, λy = f x, y, λ 0 Exemplo. y = x2 +y 2, é uma função homogênea, xy pois f x, y = x2 +y 2 xy = λ2 x 2 +λ 2 y 2 λ 2 xy = f λx, λy. 32

33 1.4 Equações Redutíveis à Forma Separável Essas equações podem se transformar em equações de variáveis separáveis, aplicando-se a seguinte mudança de variável: z = y y = zx; x y = z + z x Exemplo. Fazendo-se a mudança de variável na equação diferencial anterior tem-se: y = x2 + y 2 xy z x = 1 + z2 z z + z x = x2 + z 2 x 2 z = 1 z xxz ou dz dx x = 1 z = 1 + z2 z 1.4 Equações Redutíveis à Forma Separável Separando-se as variáveis Integrando-se zdz = dx x zdz = dx x z2 2 = ln x + c 1 z 2 = 2ln x + 2c 1 = ln x 2 + 2c 1 Fazendo-se 2c 1 = c, e como x 2 = x 2, tem-se z 2 = lnx 2 + c Retornando-se às variáveis antigas y 2 = x 2 lnx2 + c y 2 x 2 lnx 2 = cx 2 33

34 I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 1.5 Equações Diferenciais Exatas Definição. Uma EDO de primeira ordem é uma diferencial exata quando é possível colocá-la na forma e M x, y dx + N x, y dy = 0 M = N y x onde M e N são funções diferenciáveis e integráveis. 34

35 1.5 Equações Diferenciais Exatas TEOREMA. A equação diferencial de primeira ordem M x, y dx + N x, y dy = 0 será uma equação diferencial exata em uma região R do plano xy se, e somente se, satisfazer a condição M(x,y) y = N(x,y) x em cada ponto de R. 1.5 Equações Diferenciais Exatas Isto é, existe uma função f(x,y) que satisfaz as equações f(x,y) x f(x,y) y = M x, y = N(x, y) se, e somente se, satisfazerem a condição anterior, pois f(x,y) x y = f(x,y) y x 35

36 1.5 Equações Diferenciais Exatas Método de solução Uma equação diferencial ordinária do tipo é equivalente a pois M x, y dx + N x, y dy = 0 M x, y + N x, y y = 0, y = dy dx 1.5 Equações Diferenciais Exatas Se a equação diferencial for exata, tem-se que M(x,y) y = N(x,y). x Então, pode-se supor que há uma função f(x,y) de modo que f(x,y) x = M(x, y). Portanto, para se obter essa função basta integrar M(x,y) em relação a x. 36

37 1.5 Equações Diferenciais Exatas Se a equação diferencial for exata, tem-se que f(x, y) = M x, y dx + g(y), onde g(y) funciona como a constante de integração, pois g(y) x = 0. Agora, pode-se derivar f(x,y) em relação a y supondo que f(x,y) y = N(x, y). 1.5 Equações Diferenciais Exatas f = M x, y dx + g (y) = N(x, y) y y Isolando-se g (y) g (y) = N x, y M x, y dx y Integrando-se g (y) em relação a y g y = N x, y M x, y dx dy, y 37

38 1.5 Equações Diferenciais Exatas ou seja, f(x, y) = M x, y dx + g y = = M x, y dx + N x, y M x, y dx dy, y cuja solução será a função implícita f(x, y) = c 1.5 Equações Diferenciais Exatas Exemplo 01. Resolver a equação diferencial Solução: y = dy dx = (2x + y2 ) 2x + 1 y 2x + y 2 dx + 2x + 1 ydy = 0 M = 2x + y 2 e N = 2xy + y M y = 2y = N x (EDO exata) 38

39 1.5 Equações Diferenciais Exatas f x = M = 2x + y2 f x dx = 2x + y2 dx + g y f(x, y) = x 2 + xy 2 + g(y) f y = N 2xy + g y = 2xy + y g y = y ydy g y = y2 = dy g y f x, y = x 2 + xy 2 + y2 2 = c Equações Diferenciais Exatas Exemplo 02. Resolver a equação diferencial Solução: xy + y + 4 = 0 y = dy dx = y + 4 x (y + 4)dx + xdy = 0 M = y + 4 e N = x M y = 1 = N x (EDO exata) 39

40 1.5 Equações Diferenciais Exatas f x = M = y + 4 f dx = y + 4 dx + g y x f x, y = xy + 4x + g(y) f y = N x + g y = x g y = 0 = 0 y 0dy g = dy g y f x, y = xy + 4x = c y = c 4x x y = c x 4 I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 40

41 1.5 Equações Diferenciais Não Exatas Definição. Quando a equação diferencial M x, y dx + N x, y dy = 0 não é exata, há uma infinidade de funções u(x, y) tais que u M x, y dx + N x, y dy = 0 é exata. Uma função desse tipo é denominada fator integrante. 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Na prática, a não ser para certos tipos particulares de equações, é muito difícil encontrar um fator integrante. Neste curso serão estudados dois casos em que a determinação de um fator integrante é mais simples: 1. u(x,y) é uma função que depende somente de x, ou seja, u = u(x). 2. u(x,y) é uma função que depende somente de y, ou seja, u = u(y). 41

42 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Determinação do fator integrante: Seja M x, y dx + N x, y dy = 0 uma equação diferencial não exata, então M N y x Para convertê-la numa equação exata, deve-se multiplicá-la por um fator integrante u(x,y), de tal forma que umdx + undy = 0 seja exata, ou seja y um = x (un) 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Então u y u y u y M + M y u N u = N + u x x u M N M N = u + u x y x u M N M N = u u x y x 42

43 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Caso 1. Se u é uma função que só depende de x, ou seja, u = u(x), então, u = 0 e u = du y x dx Substituindo-as na equação anterior, tem-se du M N = u + N dx y x du u = 1 N M + N y x dx 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Integrando-se du u = 1 N lnu = 1 N M + N y x M + N y x dx dx u = u x = e 1 N M y + N x dx 43

44 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Caso 2. Se u é uma função que só depende de y, ou seja, u = u(y), então, u x u = 0 e = du y dy Substituindo-as da mesma forma que no caso anterior, tem-se du M M = u + N dy y x du u = 1 M M N y x dy 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Integrando-se du u = 1 M lnu = 1 M M N y x M N y x dy dy u = u y = e 1 M M y N x dy Método de Solução. Após se determinar o fator integrante u(x) ou u(y), resolve-se a seguinte equação diferencial exata umdx + undy = 0 44

45 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Exemplo 01. Encontre a solução geral da equação diferencial Solução: (x 2 y 2 )dx + 2xydy = 0 M = x 2 y 2 N = 2xy N x = 2y M y = 2y M N (não exata) y x 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas - Determinação do fator integrante u y u M M N = N x y x u y (x2 y 2 ) u (2xy) = x Fazendo-se u = u x ; u u = 0; = du y x dx du dx u 2y (2y) u du 2xy = 4yu = 4yu du = 2 dx dx 2xy u x du u = 2 dx x ln u = 2ln x u = x 2 u = x 2 45

46 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Multiplicando-se a EDO pelo fator integrante, tem-se x 2 x 2 y 2 dx + 2xydy) = 0 1 y 2 x 2 dx + 2yx 1 dy = 0 que é exata, pois M = 1 y 2 x 2 M y = 2yx 2 N = 2yx 1 N x = 2yx 2 M = N y x 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas Multiplicando-se a EDO pelo fator integrante, tem-se f x = M = 1 y2 x 2 f x, y = න 1 y 2 x 2 dx + g y = f y = x + y 2 x 1 + g y = N = 2yx 1 y x + y2 x 1 + g y = 2yx 1 + g y = 2yx 1 46

47 1.6 Equações Diferenciais Não Exatas g y = 0 g y = c 1 f x, y = x + y 2 x 1 + c 1 A solução geral da equação será f x, y = c 2 x + y 2 x 1 + c 1 = c 2 x + y2 x = c y2 = x 2 + xc y = ± x 2 + xc I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 47

48 1.7 Equações Lineares Definição. Uma equação diferencial da forma é dita linear. a 1 x y + a o y = r(x) A característica desta equação é o fato dela ser linear em y e y (a 1 e a o são funções lineares), enquanto r(x) pode ser qualquer função dada de x. Se r(x) = 0 para todo x, a equação é denominada homogênea; nos demais casos ele é chamada de não homogênea. 1.7 Equações Lineares Resolução de uma EDO linear: 1. Coloca-se a equação na forma abaixo y + f x y = g x ou dy + f x y = g(x) dx 2. Se a equação é homogênea, ou seja, g(x) = 0, ela pode ser resolvida diretamente pelo método da separação das variáveis, no qual a solução geral obtida será f x dx y x = ce 48

49 1.7 Equações Lineares 3. Se a equação é não homogênea, ou no caso mais geral, identifica-se f(x) e se encontra o fator de integração que depende unicamente de x. f x dx e 4. Multiplica-se a equação pelo referido fator de integração e f x dx dy dx + e f x dx f x y = e f x dx g(x) 1.7 Equações Lineares 5. O lado esquerdo da equação em é a derivada do produto do fator de integração e a variável independente y; isto é, dy dx e f x dx y = e f x dx g(x) 6. Integrando-se ambos os membros da equação, obtém-se e f x dx y = e f x dx g x dx + c h x y x = e e h x g x dx + c h(x) = f x dx 49

50 1.7 Equações Lineares Exemplo 01. Encontre a solução geral da equação diferencial Solução: y y = e 2x f x = 1; g(x) = e 2x y x = e 1 dx e 1 dx e 2x dx + c = = e x e x e 2x dx + c = e x e x + c y x = ce x + e 2x 1.7 Equações Lineares Exemplo 02. Resolver a equação de valor inicial (PVI) x 2 y + 2xy x + 1 = 0, y 1 = 0 Solução: y + 2x 1 y = x 1 x 2 f x = 2x 1 ; g x = x 1 x 2 ; y(x) = e h(x) e h g x dx + c h x = f x dx = 2x 1 dx = = 2ln x = ln x 2 = lnx 2 50

51 1.7 Equações Lineares = e lnx2 e lnx2 (x 1)dx + c = = x 2 x 2 x 1 x 2 dx + c = = x 2 2 x2 c x ) 1) dx + c = x x + 2 Solução particular: y x = x + c x 2 y 1 = c = c = 0 c = y x = x + 1 2x 2 I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 51

52 1.8 Equações Não Lineares - Bernoulli Definição: A equação diferencial da forma y + f(x)y = g(x)y n em que n é um número real qualquer é chamada equação de Bernoulli. Para n = 1 a equação é linear em y e para n 1 é não linear. Se y 0, a equação pode ser escrita como y n y + f(x)y 1 n = g(x) 1.8 Equações Não Lineares - Bernoulli Se for feita a troca de variável w = y 1 n, para n 0 e n 1, com a correspondente derivada w = 1 n y n y Com tais substituições, a equação não linear anterior se transforma na equação linear w + 1 n f x w = 1 n g(x) Resolvendo e fazendo y 1 n = w, obtém-se uma solução. 52

53 1.8 Equações Não Lineares - Bernoulli Exemplo 01. Encontre a solução geral da equação de Bernoulli xy = y y 1 Solução: y x 1 y = x 1 y 1 f x = x 1 ; g x = x 1 ; n = 1 w + 1 n f x w = 1 n g(x) dw dx x 1 w = 1 1 x Equações Não Lineares - Bernoulli w 2x 1 w = 2x 1 f(x) = 2x 1 ; g x = 2x 1 ; n = 1 h x = f x dx = 2x 1 dx = ln x ² w(x) = e h(x) e h(x) g x dx + c ln x ² w(x) = e e ln x ² 2x 1 dx + c w(x) = x 2 x 2 (2x 1 )dx + c 53

54 1.8 Equações Não Lineares - Bernoulli w = x 2 2x 3 dx + c = x 2 x 2 + c w = 1 + cx 2 w = y 2 y = w y(x) = 1 + cx 2 I EDOs de Primeira Ordem Introdução Conceitos e Fundamentos Teóricos Equações de Variáveis Separáveis Equações Redutíveis à Forma Separável Equações Exatas Equações Não Exatas Equações Lineares Equações Não Lineares: Bernoulli Equações Não Lineares: Riccati 54

55 1.9 Equações Não Lineares - Riccati Definição. A equação diferencial não linear da forma y = P x + Q x y + R(x)y 2 é chamada equação de Riccati. Se y p é uma solução particular da equação, então as substituições y = y p + z e y = y p + z, produzem a seguinte expressão y p + z = P + Q y p + z + R(y p + z) Equações Não Lineares - Riccati Como y p é uma solução particular, então ela satisfaz a equação, logo y p = P + Qy p + Ry p 2 que, também substituída na expressão anterior, resulta na equação z Q + 2y p R z = Rz 2 Recaindo-se, portanto, numa equação de Bernoulli com n = 2, que por sua vez pode ser reduzida a equação linear abaixo, por meio da transformação w = z 1 n = u 1, como visto anteriormente w Q x w = R(x) 55

56 1.9 Equações Não Lineares - Riccati Exemplo 01. Dadas a equação diferencial e uma solução particular, encontre a solução geral da mesma. Solução: y = 1 y + 2y 2 ; y p (x) = 1 1) Transformando para Bernoulli y = y p x + 1 z Q + 2y p R z = Rz 2 y = 1 y + 2y 2 y = P x + Q x y + R(x)y 2 P x = 1; Q x = 1; R x = 2 z z = 2z 2 z 3z = 2z Equações Não Lineares - Riccati 2) Transformando para linear z = w 1 n = w 1 w + 1 n f x w = 1 n g(x) z 3z = 2z 2 y + f(x)y = g(x)y n f x = 3; g x = 2 w ( 3) w = w + 3w = 2w 2 3) Resolvendo a equação linear w(x) = e h(x) e h(x) g x dx + c 56

57 1.9 Equações Não Lineares - Riccati w + 3w = 2w 2 y + f x y = g x f x = 3; g x = 2 h x = f x dx = 3 dx = 3x w(x) = e 3x e 3x ( 2)dx + c w(x) = e 3x ( 2 3 e3x + c) w x = ce 3x 2 3 4) Resultado da Eq. de Bernoulli w = z 1 z = w 1 z = ce 3x Equações Não Lineares - Riccati 5) Resultado da Eq. de Riccati y = y p + z = 1 + ce 3x y(x) = 1 + ce 3x

58 1.9 Equações Não Lineares - Riccati Exemplo 02. Dadas a equação diferencial e uma solução particular, encontre a solução geral da mesma. Solução: y = 1 + x 2 2xy + y 2 ; y p (x) = x 1) Transformando para Bernoulli y = y p x + 1 z Q + 2y p R z = Rz 2 y = (1 + x 2 ) 2xy + y 2 y = P x + Q x y + R(x)y 2 P x = 1 + x 2 ; Q x = 2x; R x = 1 z 2x + 2x 1 z = z 2 z = z Equações Não Lineares - Riccati z = z 2 dz dx = z2 dz dz z2 = dx න z 2 = න dx 1 = x + c z z = 1 x + c y = y p + z = x + 1 x+c y(x) = x 1 x + c Solução geral: y x = x 1 x+c y x = x 58

59 1.9 Equações Não Lineares - Riccati Exemplo 02. Dadas a equação diferencial e uma solução particular, encontre a solução geral da mesma. Solução: y = 1 + x 2 2xy + y 2 ; y p (x) = x 1) Transformando para Bernoulli y = y p x + 1 z Q + 2y p R z = Rz 2 y = (1 + x 2 ) 2xy + y 2 y = P x + Q x y + R(x)y 2 P x = 1 + x 2 ; Q x = 2x; R x = 1 z 2x + 2x 1 z = z 2 z = z Equações Não Lineares - Riccati 2) Transformando para linear z = w 1 n = w 1 w + 1 n f x w = 1 n g(x) z = z 2 y + f(x)y = g(x)y n f x = 0; g x = 1; n = 2 w (0) w = w = 1 3) Resolvendo a equação linear w(x) = e h(x) e h(x) g x dx + c 59

60 1.9 Equações Não Lineares - Riccati w = 1 y + f x y = g x f x = 0; g x = 1 h x = f x dx = 0 dx = 0 w x = e 0 e 0 1 dx + c w x = x + c 4) Resultado da Eq. de Bernoulli w = z 1 z = w 1 z = x + c 1 5) Resultado da Eq. de Riccati y = y p + z y x = x + 1 x+c 60