Métodos Matemáticos 2012 Notas de Aula Equações Diferenciais Ordinárias II. A C Tort. 25 de setembro de y (x) + p(x)y(x) = g(x).

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1 Métodos Matemáticos 2012 Notas de Aula Equações Diferenciais Ordinárias II A C Tort 25 de setembro de O fator integrante Suponha que a EDO de primeira ordem seja da forma: Multiplicando a EDO por ux): Definindo: ficamos com: Portanto, y x) + px)yx) = gx). 1) ux)y x) + ux)px)yx) = ux)gx). 2) u x) = ux)px), 3) ux)y x) + u x)yx) = ux)gx), 4) d [ux)yx)] = ux)gx). 5) ux)yx) = ux)gx)dx + C, 6) onde C é uma constante de integraçnao que deve ser determinada com uma condição adicional sobre yx). Segue que: ux)gx)dx + C yx) =. 7) ux) Para obter o fator integrante ux) voltamos à Eq. 3) : dux) = ux)px). 8) dx Usando o método de separação de variáveis rescrevemos esta equação na forma: Integrando obtemos: du u = px)dx. 9) tort@ufrj.br 1

2 Notas de Aula. AC TORT ln u = px)dx + K, 10) ou ainda fazendo K = 0 e invertendo: ux) = exp ) px) dx. 11) Exemplo 1 A lei de resfriamento de Newton Seja T a temperatura do meio ambiente e θt) a temperatura de um corpo imerso nesse meio. A lei do resfriamento de Newton nos diz que: dθ = κ θ T), 12) dt onde κ é uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condições específicas ao meio e ao corpo. Para obter uma solução geral desta equação com o método do fator integrante escrevemos: dθ dt + κ θ = κ T, 13) e fazemos as identificações: pt) = κ e gt) = κt. Segue que: ut) = exp κ dt = exp κ t), 14) e, logo, θt) = exp κ t) κt dt + C exp κ t) = κt expκ t)/κ + C exp κ t) = T + C exp κ t). 15) Para determinar C deve-se conhecer a temperatura do corpo em um determinado instante t 0 problema do valor inicial) θt 0 ) = θ 0. EXERCÍCIO 1: Mostre que se θt 0 ) = θ 0, a temperatura do corpo varia de acordo com: θt) = T + θ 0 T) exp [ κ t t 0 )]. 16) EXERCÍCIO 2: A que mecanismo de transmissão de calor a lei de resfriamento de Newton está associada? Exemplo 2 CSI - Rio Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante t 0 = 0. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é θ 0 = 29 o C. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é θ 1 = 23 o C. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperarura do meio ambiente entre a hora da morte t m e a hora em que o cadáver foi encontrado t 0 tenha se mantido mais ou menos constante T 20 o C. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de 37 o C. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime? Solução O primeiro passo é reunir os dados. Temos t 0 = 0 por simplicidade), θ 0 = 29 o C ; t 1 = 2 h, θ 1 = 23 o C; T = 20 o C. O segundo passo é determinar a constante de resfriamento κ para este caso com a solução 16): Aplicando logarítmos e substituindo valores: κ = 1 ) θ1 T ln = 1 ) t 1 θ 0 T 2 ln θ 1 T = θ 0 T) exp κ t 1 ). 17) = 1 ) 1 2 ln 0.55 h 1. 18) 3

3 Notas de Aula. AC TORT Agora usamos uma vez mais a solução 16) para estimar a hora da morte t m : Procedendo como no cálculo de κ: t m = 1 κ ln θm T θ 0 T θ m = T + θ 0 T) exp 0.55 t m ). 19) ) = ln ) = ln Portanto, o crime ocorreu há um pouco mais de uma hora antes do corpo ser descoberto. ) h. 20) 9 40 Curva de resfriamento Temperatura C) t horas) Figura 1: Curva de resfriamento. EXERCÍCIO 3: Quais são os pontos fracos desta técnica pericial? Diferenciais exatas Dada uma função de duas variáveis ux, y) sua diferencial total ou exata se escreve: Suponha agora que ux, y) = C, onde C é uma constante. Então: du = dx +. 21) dux, y) = 0. 22) Exemplo 3 Considere: u = x + x 2 y 3 = C. 23) A diferencial exata desta função é du = 1 + 2xy 3) dx + 3x 2 y 2 = 0. 24) Segue que: dx = y = 1 + 2xy 3 ) 3x 2 y 2. 25)

4 Notas de Aula. AC TORT Isto siginifca que se nos fosse dada esta última EDO, poderíamos manipulá-la algebricamente colocando-a na forma de uma diferencial exata e depois integrá-la. Resumindo: uma EDO de primeira ordem da forma: M x, y) dx + N x, y) = 0, 26) é dita ser exata se o L.E. desta equação diferencial for uma diferencial total ou exata de uma função ux, y), isto é: = M x, y), = N x, y). 27) Neste caso, ux, y) = C é a solução implícita da EDO. Por outro lado, é possível provar que a condição necessaria e suficiente para que a Eq. 26) seja uma diferencial exata é que: Mx, y) = Nx, y). 28) Exemplo 4 Resolvendo uma equação diferencial exata Considere Começamos fazendo o teste de exatidão: x 3 + 3xy 2) dx + 3x 2 y + y 3) = 0. 29) Mx, y) = x 3 + 3xy 2, Mx, y) = 6xy, 30) Nx, y) = 3x 2 y + y 3, Nx, y) = 6xy, 31) logo, a ED é exata. Podemos escrever: x u = Mx, y)dx + Ky) = + 3xy 2) dx + Ky)., 32) Para determinar Ky) escrevemos: ou Segue que: Portanto, a solução é u = x x2 y 2 + Ky). 33) 3x 2 y + = N, 34) = y 3, Ky) = y4 4 = 3x 2 y + y 3. 35) + C. 36) ux, y) = 1 4 x 4 + 6x 2 y 2 + y 4) = C. 37)

5 Notas de Aula. AC TORT Exemplo 5 Um contra-exemplo Considere: y dx x = 0. 38) Agora Mx, y) = y e Nx, y) = x. Segue que M x x, y) = 1 e N y x, y) = 1. Portanto a equação diferencial acima não é exata, o que não significa que não possa ser resolvida, mas o método que usamos acima falha. Para verificar esta afirmativa procedamos como no Exemplo 4: u = Mx, y)dx + Ky) = yx + Ky). 39) Mas Nx, y) = x, logo: = N = x +. 40) x + = x 41) que é uma contradição já que K e dk/ dependem somente de y. = 2x, 42) EXERCÍCIO 4: Resolva a EDO: pelo método de separação de variáveis. Resposta: y = Cx. y dx x = 0, 43) Referências [1] E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. Wileyl: New York) [2] G. E. H. Reuter: A Elementary Differential Equations & Operators. Routledge & Kegan Paul: London) [3] W. E. Boyce & R. C. DiPrima: Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 6th ed. Wileyl: New York) 1997.