EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM 02/04/2014 Prof. Geraldine

2 Revisão de Álgebra Linear Definição de conjunto Linearmente Independente Dizemos que as funções f ( x), f ( x) são LI, em um 1 2 intervalo I, se a única solução da equação é c1 c2 c f ( x) c f ( x) 0 (1)

3 Revisão de Álgebra Linear Se o conjunto f1( x), f2( x) c1 f1( x) c2 f2( x) 0 (1) admite uma solução não trivial. é LD então a equação Suponha c2 c1 0, então f1( x) f2( x) c 1

4 Exemplo: Verifique se as funções abaixo são LI x f1( x) x 5 f2( x) x 5x f3( x) x 1 2 f4( x) x

5 Exemplo As funções abaixo são LI em (, ) : g( x) x

6 Wronskiano Teorema do critério da Independência Linear de Funções: Suponha que f 1 (x),..., f n (x) sejam diferenciáveis pelo menos n-1 vezes. Se o determinante for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f 1 (x),..., f n (x) serão LI no intervalo. O determinante é denominado Wronskiano das funções.

7 COROLÁRIO: Se f 1 (x),..., f n (x) possuem pelo menos n-1 derivadas e são LD em I, então para todo x no intervalo W (f 1 (x),..., f n (x)) = 0 Exemplo: Calcule W (f 1 (x),..., f n (x)) das y 1 = e x, y 2 = e 2x e y 3 = e 3x Observe que as funções acima são soluções da equação

8 Exemplo: Calcule W (f 1 (x),..., f n (x)) das funções y 1 = e x, y 2 = xe x e y 3 = x 2 e x

9 EDO Linear de segunda ordem Formato Geral: (I) Exemplos: Se B = 0 em (I) então a equação é chamada linear homogênea: (II)

10 Problema de valor inicial 2 1 ( ) d y dy A x A ( x) A ( x) y g( x) dx dx y( x ) y, y '( x ) y ' Condições iniciais Uma solução para a equação acima é uma função que satisfaça a equação e que passa pelo ponto com inclinação igual a ( x, y ) y ' 0 0 0

11 Teorema: Existência de uma única solução Sejam A ( x), A ( x), A ( x) e g( x) contínuas em um intervalo I com A ( x ) 0 para todo x neste intervalo. n Se x x 0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y(x) para o problema de valor inicial (1) neste intervalo.

12 Problema de Valor de Contorno 2 1 ( ) d y dy A x A ( x) A ( x) y g( x) dx dx y( a) y, y( b) y Condições iniciais 0 1 Uma solução para a equação acima é uma função que satisfaça a equação em um intervalo contendo a e b e que passa pelos pontos (, ) e ( by, ) ay0 1

13 Exemplo: Uma família a dois parâmetros de soluções para a equação diferencial y'' 16y 0 é y C cos(4 x) C sen(4 x) 1 2 Suponha agora que queiramos determinar aquela solução para a equação que também satisfaça as condições de contorno y 0 0 e y 2 0 Observar as soluções no geogebra

14 Teorema: Princípio da superposição Seja y 1, y 2,...,yn um conjunto LI de soluções da equação diferencial linear homogênea (EDLH) de ordem n em um intervalo I. Então a solução geral da equação em I é y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n onde c i são constantes arbitrárias.

15 Exemplo 1: Verifique se y 1 = e 3x e y 2 = e -3x são soluções da EDLH y 9y 0 em (-, ).

16 Exemplo 2: Mostre que y 1 = e x,y 2 = e 2x e y 3 = e 3x são soluções da EDLH de terceira ordem y -6y +11y -6y =0 Escreva uma outra solução.

17 Conjunto Fundamental de soluções Definição: Qualquer conjunto y 1, y 2,...,y n de n soluções LI para a EDLH de n-ésima ordem em um intervalo I é chamado de Conjunto Fundamental de Soluções no intervalo.

18 Teorema y 1, y 2,...,yn Sejam n soluções LI da EDLH de ordem n em um intervalo I. Então, a solução geral para a EDO é y = c 1 y 1 + c 2 y c n y n onde c i são constantes arbitrárias.

19 Exemplo: A equação de segunda ordem y -9y=0 possui duas soluções y 1 =e 3x e y 2 =e -3x.

20 Como encontrar a solução de uma EDLH? Uma segunda solução por redução de ordem: Obs.: Se y 1 e y 2 são soluções LI então y 2 /y 1 não será constante. Exemplo 1: y 1 =e x é uma solução de y -y = 0 em (-, ), reduza a ordem para encontrar uma segunda solução y 2.

21 Caso Geral- Encontre uma solução da EDLH a partir de uma solução dada. a y'' a y' a y a Forma padrão: y +P(x)y + Q(x)y = 0 (2) 2 P(x) e Q(x) são contínuas em I Dada uma solução y 1 (x) 0 em I Definimos y = u(x)y 1 (x)

22 Exemplo: A função y 1 = x 2 é uma solução de x 2 y - 3xy + 4y = 0 Ache a solução geral da equação diferencial no intervalo (0, ).

23 EDH com coeficientes constantes Ordem 2 Forma: ay + by +cy = 0 (1) Todas as soluções para (1) são funções exponenciais ou construídas a partir delas. Vamos tentar uma solução da forma y = e mx

24 Exercícios 4.3 Encontre a solução geral para a equação diferencial: Pg 180

25 EDNaoH com coeficientes constantes Método dos coeficientes indeterminados (i) encontrar a função complementar y c ; (ii) encontrar uma solução particular y p. Solução geral: y = y c + y p

26 Método dos coeficientes indeterminados Ordem 2 ay + by +cy = g(x) onde g( x) cons tan te fução polinomial ax e sen x cos x