Métodos Numéricos em Equações Diferenciais Aula 01 - Problema de Valor Inicial

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1 Métodos Numéricos em Equações Diferenciais Aula 01 - Problema de Valor Inicial Profa. Vanessa Rolnik curso: Matemática Aplicada a Negócios

2 Modelagem Exemplo: Determinação do valor de revenda de uma máquina (Hoffmann, L.D. et al. Cálculo, 11a. ed, LTC, 2015.) O valor de revenda de certa máquina industrial diminui em um período de 10 anos a uma taxa que depende da idade da máquina. Quando a máquina tem x anos de idade, a taxa com a qual o valor está mudando é 220(x 10) reais por ano. Expresse o valor da máquina em função da idade e do valor inicial. Se a máquina valia inicialmente R$ , 00, quanto valerá quando tiver 10 anos?

3 Modelagem Em cada um dos casos, escreva uma equação diferencial para a situação descrita: a) O custo marginal para produzir certa mercadoria é proporcional à raiz quadrada do custo. b) A população de certa espécie de peixe aumenta a uma taxa proporcionalao quadrado da população. c) A taxa com a qual um boato se espalha por uma comunidade é conjuntamente proporcional ao número de pessoas da comunidade que já ouviram o boato e ao número de pessoas que ainda não ouviram o boato.

4 Classificação das equações diferenciais Equação diferencial ordinária (EDO): a função desconhecida depende de uma única variável independente, só aparecem derivadas simples dv Ex 1) Valor de revenda de uma máquina dx dv Ex 2) Um objeto em queda dt = 9, 8 v 5 Ex 3) Circuito elétrico R dq dt + Q C = V ou L d 2 Q(t) dt 2 + R dq(t) dt = 220x Q(t) = E(t) C

5 Classificação das equações diferenciais Equação diferencial parcial (EDP): a função desconhecida depende de duas ou mais variáveis independente, aparecem derivadas parciais Ex 1) Equação de Laplace 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 Ex 2) Equação do calor α 2 2 u(x, t) u(x, t) x 2 = t Ex 3) Equação da onda α 2 2 u(x, t) x 2 = 2 u(x, t) t 2

6 Classificação das equações diferenciais Sistema de equações diferenciais: existem duas ou mais funções que devem ser determinadas Ex: Equações de Lotka-Volterra (ou presa-predador) dx = ax αxy dt dy = cy + γxy dt Ordem de uma equação diferencial: é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação Ex. y + 2e t y + yy = t 4 é uma eq. dif. de 3a. ordem

7 Classificação das equações diferenciais Equações lineares e não lineares: F [ ] t, y(t), y (t),..., y (n) (t) = 0 é dita ser linear se F for uma função linear das variáveis y, y,..., y (n), ou seja, pode ser escrita como a 0 (t)y (n) + a 1 (t)y (n 1) a n (t)y = g(t). Definição análoga se aplica às equações diferenciais parciais. Uma equação que não é da forma ( ) é uma equação não linear. Ex. Equação do pêndulo d 2 θ d t 2 + g L senθ = 0 ( )

8 Soluções Uma solução de uma equação diferencial ordinária y (n) = f (t, y, y,..., y (n 1) ) ( ) no intervalo a < t < b é uma função y = φ tal que φ, φ,..., φ (n) existem e satisfazem ( ). Ex 1) Valor de revenda de uma máquina V (x) = 110x x + V 0 Ex 2) Um objeto em queda v = 49 + c e t/5

9 Problema de Valor Inicial Em geral, queremos focalizar nossa atenção em um único elemento da família infinita de soluções. Para isso, especificamos uma condição adicional, chamada de condição inicial. Ex 1) Valor de revenda de uma máquina: a solução do PVI { dv = 220x 2200, t > 0 dx V (0) = é V (x) = 110x x Ex 2) Um objeto em queda: a solução do PVI é v = 49(1 e t/5 ) { dv dt = 9, 8 v 5, t > 0 v(0) = 0

10 Algumas questões relevantes existe solução? a solução é única? como determinar uma solução? Muitas vezes não é tão fácil encontrar soluções de equações diferenciais. Sem conhecer a teoria de existência poderíamos, por exemplo, usar um computador para encontrar uma aproximação numérica para uma solução que não existe. Mesmo sabendo que a solução existe, pode não ser possível expressá-la em termos das funções elementares usuais (polinomiais, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas e hiperbólicas).

11 Métodos Numéricos Para uma função arbitrária f, não existe método anaĺıtico geral. existem métodos anaĺıticos, por exemplo, para equações lineares, para equações separáveis e para equações exatas. do ponto de vista dos métodos numéricos, tais distinções não são necessárias, desde que sejam asseguradas a existência e a unicidade sa solução e que o problema irá se comportar bem na presença de pequenos erros. Os métodos estudados produzem aproximações para a solução em determinados pontos específicos.

12 Métodos Numéricos X Linearização Ex. Equação do pêndulo d 2 θ d t 2 + g L senθ = 0 Qual abordagem a ser seguida: simplificar a equação diferencial para que possa ser resolvida exatamente e depois usar a solução da equação simplificada para aproximar a solução do problema original? usar métodos de aproximação da solução do problema original? A segunda abordagem é empregada mais comumente, uma vez que os métodos numéricos de aproximação fornecem resultados mais precisos e informações mais realistas sobre erros.

13 Existência e Unicidade PVI de 1 a ordem linear { dy + p(t)y = g(t), dt a y(a) = α t b em que p e g são funções dadas na variável independente t e α é um valor inicial arbitrário prescrito. Teorema 1. Se as funções p e g são contínuas em um intervalo aberto I contendo o ponto t = a então existe uma única função y = φ(t) que satisfaz a equação diferencial dy dt + p(t)y = g(t) para cada t em I e que também satisfaz a condição inicial y(a) = α.

14 Existência e Unicidade PVI de 1 a ordem (*) { dy = f (t, y), dt a y(a) = α t b Teorema 2. Suponha que as funções f e f / y são contínuas em um retãngulo t 0 < t < t 1, y 0 < y < y 1 contendo o ponto (a, α). Então, em algum intervalo a h < t < a + h contido em t 0 < t < t 1, existe uma única solução y = φ(t) do PVI.

15 Existência e Unicidade Teor 2. Suponha D = {(t, y)/a t b, y } e que f (t, y) seja contínua em D. Se f for Lipschitz em D na variável y, então o PVI (*) tem uma única solução φ(t). Ex. y = 1 + tsen(ty), 0 t 2, y(0) = 0 Curiosidade: encontre a solução analitica para esse PVI.

16 Existência e Unicidade Def 1. Uma função f (t, y) satisfaz uma condição de Lipschitz na variável y em um conjunto D R 2 se existir uma constante L > 0 tal que f (t, y 1 ) f (t, y 2 ) L y 1 y 2, para todo (t, y 1 ), (t, y 2 ) D. A constante L é chamada de constante de Lipschitz. Ex. D = {(t, y)/1 t 2, 3 y 4} e f (t, y) = t y

17 Existência e Unicidade Def 2. Um conjunto D R 2 é dito ser convexo se, para quaisquer dois pontos (t 1, y 1 ) e (t 2, y 2 ) pertencentes a D e para λ [0, 1], o ponto ((1 λ)t 1 + λt 2, (1 λ)y 1 + λy 2 ) também pertencer a D. Ex. D = {(t, y)/a t b, y } é convexo. Teor 1. Suponha que f (t, y) seja definido em um conjunto convexo D R 2. Se existir uma constante L > 0 tal que f (t, y) y L, para todo (t, y) D, então f satisfaz uma condição de Lipschitz em D na variável y com constante de Lipschitz L. Ex. No ex. 1, f satisfaz uma condição de Lipschitz mas a derivada parcial com relação a y não existe quando y = 0.

18 Problema bem-posto PVIs obtidos por meio de observações de fenômenos físicos geralmente apenas aproximam a situação verdadeira, de modo que precisamos saber se pequenas variações no enunciado do problema introduzem variações correspondentemente pequenas na solução. Isso também é importante por causa da introdução de erros de arredondamento quando métodos numéricos são usados. PVI (*) dy = f (t, y), a t b, y(a) = α dt PVI perturbado: dz dt = f (t, z) + δ(t), a t b, z(a) = α + δ 0

19 Problema bem-posto Def 3. O PVI (*) é considerado bem-posto se existir uma única solução y(t) para o problema e existirem constantes ɛ 0 > 0 e k > 0 tais que, para qualquer ɛ, com 0 < ɛ < ɛ 0, sempre que δ(t) for contínua com δ(t) < ɛ para todo t em [a, b] e quando δ 0 < ɛ, o problema perturbado tem uma única solução z(t) que satisfaz z(t) y(t) < kɛ, para todo t [a, b]. Teor 3. Sob as mesmas hipóteses do Teor. 2, o PVI (*) é bem-posto. Ex. dy dt = y t2 + 1, 0 t 2, y(0) = 0.5

20 Exercícios 1) Verificar se os PVIs abaixo possuem solução única e se são bem-postos: a) y = ycos(t), 0 t 1, y(0) = 1 b) y = e t y, 0 t 1, y(0) = 1 2) O que significa um PVI ser bem-posto? Qual a importância dessa verificação quando se utiliza métodos numéricos?