Modelagem em Sistemas Complexos

Transcrição

1 Modelagem em Sistemas Complexos Bifurcação local de campos vetoriais Marcone C. Pereira Escola de Artes, Ciências e Humanidades Universidade de São Paulo São Paulo - Brasil Abril de 2012

2 Nesta aula discutiremos o conceito de bifurcação em campos vetoriais que está diretamente associado a mudanças qualitativas no comportamento do sistema. Veremos: 1 Estabilidade estrutural. 2 Bifurcações em compos vetoriais unidimensionais. 3 Bifurcações de Hopf em sistemas bidimensionais.

3 Estabilidade estrutural. Quando se considera um modelo é necessário saber quão robusto ele é com respeito a pequenas modificações em seus parâmetros. Para isto consideramos uma métrica ou distância no conjunto dos campos vetoriais definidos num determinado espaço de fase S. Uma distância d sobre um espaço X é uma aplicação d : X X R + satisfazendo as seguintes condições: d(x, y) = 0 x = y. d(x, y) = d(y, x). d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Observe que a função distância d nos dá a noção de proximidade, por meio dela podemos considerar vizinhanças de um determinado ponto do espaço.

4 Seja X o conjunto dos campos f : S S de classe C 1 definidos num espaço de fase S R n limitado. Neste conjunto definimos a distância 1 de classe C 1 entre campos vetoriais f, g X por { } d(f, g) = sup f (x) g(x), df (x) dg(x) x S onde f (x) = f 1 (x) 2 + f 2 (x) f n (x) 2 é a norma de vetores em R n. 2 Em X definimos uma ɛ-vizinhança de um campo f por V ɛ (f ) = {g X : d(f, g) < ɛ}. Assim, se g V ɛ (f ) dizemos que g está ɛ-c 1 -próxima a f ou é uma ɛ-c 1 -perturbação de f. 1 Classe C 1 porque consideramos tanto a função como sua derivada. 2 f (x) = (f 1 (x),..., f n (x)) S R n com x S.

5 Exemplo: Considere o sistema dado pelo pêndulo amortecido. { dx dt = y, dy dt = ω 2 sin x 2 a y, O campo vetorial deste sistema é dado por t > 0. g(x, y) = ( y, ω 2 sin x 2 a y ) cujos os equilíbrios são (k π, 0), k Z e o espaço de fase é S = R 2. Note que este sistema é uma perturbação do pêndulo simples { dx dt = y, dy dt = ω 2 t > 0, sin x, cujo campo é f (x, y) = (y, ω 2 sin x) e satisfaz f (x, y) g(x, y) = 2 a y, Df (x, y) Dg(x, y) = 2 a.

6 Considere o sistema dinâmico abstrato ( ) { ẋ = f (x), x R n, x(t 0 ) = x 0, t > t 0, definido pelo campo vetorial f de classe C 1. Dizemos que um equilíbrio x f de ( ) é hiperbólico se a parte real dos autovalores da matriz Jacobiana Df (x f ) é diferente de zero. Teorema Seja x f um equilíbrio hiperbólico de ( ). Então existe uma vizinhança U R n de x f e uma vizinhança V X do campo f tal que o sistema definido por cada g V possui apenas um equilíbrio x g U que é hiperbólico. Além disso, os operadores lineares Df (x f ) e Dg(x g ) possuem o mesmo número de autovalores com parte real positiva e negativa sendo conjugados. Tais campos vetoriais são chamados estruturalmente estáveis, já que possuem o mesmo comportamento qualitativo numa vizinhança sua e de seus pontos de equilíbrio.

7 Exemplos: a) Observe que o pêndulo simples dado por f (x, y) = (y, ω 2 sin x) não é estruturalmente estável já que possui equilíbrios não hiperbólicos. De fato, f (x, y) = (0, 0) (kπ, 0), k Z e Df (kπ, 0) = ( 0 1 ω 2 ( 1) k+1 0 cujos autovalores são: ±ωi se k é par e ±ω se k é ímpar. b) Já o pêndulo amortecido g(x, y) = (y, ω 2 sin x 2 a y) é estruturalmente estável e é obtido como perturbação do pêndulo simples. g(x, y) = (0, 0) (kπ, 0), k Z e Dg(kπ, 0) = ( ) 0 1 ω 2 ( 1) k+1 2a cujos autovalores são: a ± a 2 ω 2 se k é par; a ± a 2 + ω 2 se k é ímpar. Assim seus equilíbrios são todos hiperbólicos. )

8 c) Considere o oscilador harmônico de van der Pol dado pela equação ẍ + λ(x 2 1)ẋ + x = 0 cujo campo de vetores associado é f (x, y) = (y, x λ(x 2 1)y). Observe que: (0, 0) é um equilíbrio não hiperbólico. Se consideramos ( a função V : R 2 R dada por V (x, y) = 1 2 x 2 + y 2) temos para (x(t), y(t)) R 2 /(0, 0) V (x, y) = ẋ x + ẏ y = λ(x 2 1)y 2. Note que V é uma função de Liapunov para o campo que nos dá (0, 0) equilíbrio estável se λ < 0 e instável se λ > 0. Como o disco unitário é uma bacia de atração para o campo para todo λ, o caso λ > 0 implica na existência de uma órbita periódica pelo Teorema de Poincaré-Bendixson. Aqui ocorre o surgimento de órbita periódica pela variação de λ.

9 Help Seja x Rn equilíbrio de um campo vetorial x = f (x). Chamamos V : Rn 7 R uma função de Liapunov forte para o fluxo x(t) numa vizinhança U Rn de x se V (x) > V (x ) e V (x) = dtd V (x(t)) t=0 < 0 para todo x U/{x }. Logo podemos obter que x é um equilíbrio assintoticamente estável, isto é, limt x(t) = x para todo x0 U. V é uma função de Liapunov fraca se temos V (x) 0 em vez de V (x) < 0. Neste caso, obtemos apenas que x é estável, isto é, o fluxo x(t) U para todo x0 U e t t

10 Help Dizemos que w R n pertence ao conjunto ω-limite de uma órbita {x(t) : t [t 0, + ) com x(t 0 ) = x 0 } se existe uma sequência {t k } k N com lim k t k = tal que lim k x(t k ) = w. Analogamente dizemos que a R n pertence ao α-limite de uma órbita {x(t) : t (, t 0 ] com x(t 0 ) = x 0 } se existe uma sequência {t k } k N com lim k t k = tal que lim k x(t k ) = a. Teorema de Poincaré-Bendixson Se o conjunto limite O de um campo vetorial bidimensional de classe C 1 é não vazio, compacto a e não possui pontos de equilíbrios, então O é uma órbita periódica. a Em R n um conjunto compacto é limitado e fechado.

11 Bifurcações locais de campos vetoriais. Mudanças qualitativas em famílias de campos vetoriais associadas a variação de um determinado parâmetro é chamada de bifurcação. Seja (x µ0, µ 0 ) um equilíbrio da família de campos vetoriais C k (x, µ) f (x, µ), x R n, µ R m. Aqui queremos responder a seguinte pergunta: Podemos afetar a estabilidade do ponto de equilíbrio x µ0 quando variamos µ µ 0?

12 Se o equilíbrio (x µ0, µ 0 ) é hiperbólico temos que o fluxo gerado pelo campo é estruturalmente estável numa vizinhança dele. Consequentemente, pequenas variações de µ numa vizinhança de µ 0 não afetam sua estabilidade. Isto é uma consequência do Teorema da Função Implícita aplicado a (x, µ) f (x, µ), x R n, µ R m, já que x f (x µ0, µ 0 ) é um isomorfismo. Nestas condições existe um aberto U R m e uma aplicação x µ R n, µ U, tal que f (x µ, µ) = 0 e a parte real dos autovalores de x f (x µ, µ) são todos não nulos. Logo, (x µ, µ) é uma curva de equilíbrios hiperbólicos para µ U. Quando o ponto de equilíbrio (x µ0, µ 0 ) não é hiperbólico, o fluxo não é estruturalmente estável em (x µ0, µ 0 ) e assim, novas dinâmicas podem ocorrer para µ µ 0.

13 Bifurcações em campos vetoriais unidimensionais. 1) Bifurcação sela-nó. É a bifurcação observada quando variamos µ na equação ẋ = µ x 2. (a) Se µ < 0, o fluxo não possui equilíbrio algum. (b) Se µ = 0, x = 0 é o único ( ponto de equilíbrio que não é hiperbólico já que ) d dx x 2 x=0 = 0. (c) Se µ > 0, o sistema possui dois equilíbrios hiperbólicos ± µ. De maneira geral, f (x, µ) possui uma bifurcação do tipo sela-nó num equilíbrio não hiperbólico (x µ0, µ 0 ) se µ f (x µ0, µ 0 ) 0 e xx f (x µ0, µ 0 ) 0.

14 2) Bifurcação transcrítica. É a bifurcação observada quando variamos µ na equação ẋ = µx x 2. (a) Se µ < 0, o fluxo possui 0 como equilíbrio estável e µ instável, ambos hiperbólicos. (b) Se µ = 0, x = 0 é o único ponto de equilíbrio que não é hiperbólico. (c) Se µ > 0, 0 passa a ser um equilíbrio instável e µ estável. Aqui os equilíbrios mudam sua estabilidade quando µ passa pelo 0. De maneira geral, f (x, µ) possui uma bifurcação transcrítica num equilíbrio não hiperbólico (x µ0, µ 0 ) se µ f (x µ0, µ 0 ) = 0, xx f (x µ0, µ 0 ) 0 e µx f (x µ0, µ 0 ) 0.

15 3) Bifurcação do tipo pitchfork. É a bifurcação observada quando variamos µ na equação ẋ = µx x 3. (a) Se µ < 0, 0 é o único equilíbrio, que é também estável. (b) Se µ = 0, x = 0 é o único ponto de equilíbrio que não é hiperbólico. (c) Se µ > 0, 0 passa a ser um equilíbrio instável e ±µ são equilíbrios estáveis do sistema. De maneira geral, f (x, µ) possui uma bifurcação pitchfork num equilíbrio não hiperbólico (x µ0, µ 0 ) se µ f (x µ0, µ 0 ) = 0, xx f (x µ0, µ 0 ) = 0, xxx f (x µ0, µ 0 ) 0 e xµ f (x µ0, µ 0 ) 0.

16 3 Livro do Boccara. Primeira figura de cima para baixo exibe bifurcação tipo sela-nó, a segunda uma transcrítica e a terceira pitchfork. 3

17 Exercício: Use os gráficos abaixo para identificar as bifurcações exibidas no modelo de Ludwing reescalado para surto de insetos. du dt = r u (1 u/q) u2 1 + u u Pelo gráfico do campo obtemos a estabilidade dos equilíbrios u 1 u 1 u 2 u 3 u 3

18 Bifurcações em campos vetoriais bidimensionais. Bifurcação de Hopf. Este tipo de bifurcação não ocorre em campos vetoriais unidimensionais e nos dá condições suficientes para a existência de órbitas periódicas não triviais para determinados valores de µ. Teorema de Hopf Seja ẋ = f (µ, x) uma família de campos vetoriais bidimensionais a um parâmetro µ R satisfazendo: (i) f (µ, 0) = 0 para todo µ R; (ii) f é uma função analítica em (µ, x) R R 2 ; (iii) x f (0, µ) possui dois autovalores conjugados complexos α(µ) ± iβ(µ) com α(0) = 0, β(0) 0 e dα dµ (0) 0. Então em qualquer vizinhança U da origem em R 2 e µ 0 > 0 existe µ < µ 0 tal que a equação ẋ = f (µ, x) possui uma solução periódica não trivial em U.

19 Exemplos de bifurcação de Hopf. a) O oscilador de van der Pol em (x, y) = (0, 0) e λ = 0: { dx dt = y, t > 0. dy dt = x λ(x 2 1)y, Quando λ < 0 temos que (0, 0) é estável e hiperbólico. Em λ = 0 ocorre uma bifurcação de Hopf que nos dá o surgimento de uma órbita periódica para λ > 0. (0, 0) é o único equilíbrio do sistema para todo λ R com ( ) 0 1 Df (λ, (0, 0)) = 1 λ cujos autovalores são λ ± i 4 λ 2. Logo se λ ( 2, 2) este sistema satisfaz as hipóteses do teorema de bifurcação de Hopf.

20 Solução de valor inicial (x 0, y 0 ) = (1.3, 0.2) e λ =

21 Soluções com condições iniciais (x 0, y 0 ) = (2.3, 2.2) e (x 0, y 0 ) = (1.3, 0.2) e parâmetro λ =

22 b) O sistema Lotka-Volterra em (h, p) = (1, 1) e k = 2 + β: dh dt dp dt = h(1 h/k) + α h p h β+h, = α p p h β+h γ p, t > 0, onde α h = (1 1/k)(β + 1) e α p = γ(β + 1). A matriz Jacobiana em (1, 1) é k 2 β k(1+β) βγ 1+β k cujos autovalores são dados por k 2 β ± i 4(k 1)k 2 βγ (k 2 β) 2. 2k(1 + β)

23 Note que em k = 2 + β ocorre uma bifurcação de Hopf. Se k < 2 + β temos um equilíbrio estável e quando k > 2 + β temos o equilíbrio torna-se instável e uma órbita periódica estável aparece. Aqui tomamos k = 5, β = 1, γ = 1.1 e condições iniciais (x 0, y 0 ) = (4.5, 1.8) e (x 0, y 0 ) = (0.9, 0.7)

24 Aqui tomamos k = 2.8, β = 1, γ = 1.1 e condições iniciais (x 0, y 0 ) = (4.5, 1.8) e (x 0, y 0 ) = (0.9, 0.7)