Sistemas de Equações Diferenciais no Plano

Transcrição

1 Sistemas de Equações Diferenciais no Plano Sistemas autônomos Queremos estudar o comportamento das soluções do sistema escrito na seguinte forma: { = f(, y) y (1) = g(, y) onde = (t) e y = y(t). Tal sistema é chamado de sistema autônomo, ou seja, a variável independente t não aparece eplicitamente no lado direito das equações. Uma solução desse sistema possui a seguinte forma: ( ) (t) X(t) = (2) y(t) Além disso, podemos provar que: Lema 1: Se (t) e y(t), com a < t < b, é uma solução do sistema (1), então para qualquer número real k as funções também são soluções do sistema (1). 1 (t) = (t + k) e y 1 (t) = y(t + k) Demonstração: Aplicando a regra da cadeia temos 1 = (t + k) = f((t + k), y(t + k)) = f( 1, y 1 ) y 1 = y (t + k) = g((t + k), y(t + k)) = g( 1, y 1 ) Portanto, 1 e y 1 são soluções de (1), as quais estão definidas em a k < t < b k. O vetor solução X(t) nos diz como o ponto (, y) se move no plano-y de acordo com a variação do tempo t. O movimento do ponto (, y) determina uma curva, chamada de trajetória da solução X(t), como mostra a Figura 1. Observe que pelo Teorema de Eistência e Unicidade podemos concluir que: Lema 2: Por qualquer ponto do plano-y passa no máimo uma trajetória do sistema (1). Em outras palavras, duas trajetórias do sistema (1) não se interceptam. 1

2 y X(t) Figura 1: Trajetória da solução X(t) Demonstração: Considere duas trajetórias distintas C 1 e C 2 com um ponto em comum ( 0, y 0 ) e representadas, respectivamente, por ( 1, y 1 ) e ( 2, y 2 ). Sendo assim, eistem t 1 e t 2 tais que ( 1 (t 1 ), y 1 (t 1 )) = ( 0, y 0 ) ( 2 (t 2 ), y 2 (t 2 )) = ( 0, y 0 ) Pelo Teorema de Eistência e Unicidade temos que t 1 t 2, pois caso contrário a unicidade de soluções seria contrariada. Agora pelo Lema 1, temos que (t) = 1 (t + t 1 t 2 ) é uma solução do sistema (1). Agora observe que y(t) = y 1 (t + t 1 t 2 ) ou seja, ((t 2 ), y(t 2 )) = ( 1 (t 1 ), y 1 (t 1 )) = ( 0, y 0 ) ((t 2 ), y(t 2 )) = ( 0, y 0 ) ( 2 (t 2 ), y 2 (t 2 )) = ( 0, y 0 ) Portanto, pelo Teorema de Eistência e Unicidade temos que ((t), y(t)) = ( 2 (t), y 2 (t)) para todo t, pois caso contrário a unicidade de soluções seria contrariada. Logo, C 1 e C 2 devem ser a mesma trajetória. Também, podemos pensar na derivada de uma solução ( ) X (t) = (t) y (t) como representante do vetor velocidade do ponto (, y) que se move de acordo com a solução (2). Dessa forma, podemos interpretar geometricamente o sistema (1) como um 2

3 y Figura 2: Campo de Velocidades campo de velocidade onde para cada ponto ( 0, y 0 ) no plano-y esta associado um vetor velocidade tendo sua calda em ( 0, y 0 ), como mostra a Figura 2. Como uma solução do sistema (1) é um ponto movendo no plano-y temos que em cada ponto da sua trajetória, ele possui a velocidade descrita pelo campo de velocidades, como mostra a Figura 1. y X(t) Figura 3: Trajetória no campo de velocidades 3

4 Classificação de Sistemas Lineares Hiperbólicos no Plano Sistemas lineares autônomos Queremos estudar o comportamento das soluções do sistema linear escrito na seguinte forma: { = a + by y (3) = c + dy onde = (t) e y = y(t). Tal sistema é chamado de sistema autônomo, ou seja, a variável independente t não aparece eplicitamente no lado direito das equações. Podemos reescrever o sistema (3) na forma matricial, ou seja, X = AX onde [ a b A = c d ] e X = ( y ) Autovalores e Autovetores Como já foi estudado anteriormente, λ se diz um autovalor da matriz A = eiste um vetor não nulo v R 2 tal que [ a b c d ] se Av = λv (4) Neste caso, o vetor v é chamado de autovetor e podemos escrever a equação (4) como (A λi 2 )v = 0 (5) Como v = (0, 0) satisfaz a equação (4) para todo λ, estaremos interessados em v (0, 0) que satisfaça tal equação. Em outras palavras, a matriz A deve ser não inversível, ou seja, det(a λi 2 ) = 0 Calculando o referido determinante encontramos a equação do segundo grau a seguir, a qual é chamada de polinômio característico, λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 4

5 Observe que tr(a) = a + d e que o det(a) = ad bc, ou seja, o polinômio característico pode ser reescrito como λ 2 tr(a)λ + det(a) = 0 Além disso, observe que se λ 1 e λ 2 são raízes do polinômio característico, então λ 2 tr(a)λ + det(a) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = λ 2 (λ 1 + λ 2 )λ + λ 1 λ 2 ou seja, tr(a) = λ 1 + λ 2 det(a) = λ 1 λ 2 Na sequência enuciaremos o próimo teorema o qual não demonstraremos. Teorema 3: Seja A uma matriz quadrada 2 2 e denote o discriminante da matriz A por: = [ tr(a) ] 2 4det(A) Sendo assim, eistem três possibilidades para os autovalores da matriz A, que podem ser descritas em termos do discriminante: a) Se > 0, então os autovalores são reais e distintos. b) Se < 0, então os autovalores são um par de compleos conjugados. c) Se = 0, então os autovalores são reais e iguais. Classificação dos sistemas lineares hiperbólicos no plano Definição 1: Seja o sistema X = AX, os pontos (, y) R 2 para os quais AX = são chamados de pontos de equilíbrio do sistema. Admitindo que det(a) 0, então A é inversível. Logo X = (0, 0) é o único ponto de equilíbrio do sistema X = AX. Definição 2: O sistema de equações diferenciais X = AX é um Poço se os autovalores da matriz A têm ambos parte real negativa. O sistema X = AX de equações diferenciais é uma Fonte se os autovalores da matriz A têm ambos parte real positiva e uma Sela se os autovalores da matriz A forem reais sendo um positivo e o outro negativo. Teorema 4: Se os autovalores de A tiverem parte real negativa, então a origem é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável para X = AX. Definição 3: O sistema X = AX de equações diferenciais diz-se hiperbólico se todos os autovalores de A têm parte real não nula. ( 0 0 ) 5

6 Sendo X = AX, podemos usar o determinante, o traço e o discriminante da matriz A para classificar os sistemas lineares hiperbólicos no plano, nas proimidades da origem. Vejamos: (1) det(a) = 0: A matriz A tem pelo menos um autovalor real igual a zero, sendo o sistema não hiperbólico. (2) det(a) < 0: A matriz A tem um autovalor positivo e outro negativo, sendo a origem, o ponto de equilíbrio, uma Sela como mostra a Figura 4. Por eemplo, considere o seguinte sistema X = [ ] X (6) Observe que det(a) = 8 < 0 e que os autovalores são λ 1 = 4 e λ 2 = 2. y v2 v1 Figura 4: Plano de fase do sistema (6) (3) det(a) > 0: A matriz A tem dois autovalores reais com o mesmo sinal ou um par de autovalores compleos conjugados. (a) det(a) > 0 e tr(a) = 0: Então os autovalores são compleos conjugados imaginários puros, sendo o sistema não hiperbólico. (b) det(a) > 0 e tr(a) < 0: Como o traço de A é a soma dos autovalores, se tr(a) é negativo obtemos um Poço. É o caso do sistema (7), onde det(a) = 2 > 0 e tr(a) = 3 e do sistema (8) onde det(a) = 26 > 0 e tr(a) = 2. X = X = [ [ ] X (7) ] X (8) 6

7 Os dois sistemas (7) e (8) distinguem-se analisando, de acordo com o Teorema 3, o discriminante = [ tr(a) ] 2 4 det(a). (*) > 0: Os autovalores da matriz A são reais distintos e ambos negativos, como é o caso do eemplo (7) em que = 1. Neste caso, temos um Nó (estável), como mostra a Figura 5. y v2 v1 Figura 5: Plano de fase do sistema (7) (*) < 0: É o caso de (8), em que = 100, sendo os autovalores compleos conjugados com parte real negativa. Assim, a origem designa-se por Poço espiral, como mostra a Figura 6. y Figura 6: Plano de fase do sistema (8) (*) = 0: Os autovalores de A são reais e iguais, sendo necessário analisar se a matriz é múltipla da identidade ou não. 7

8 A é multipla da identidade: Neste caso a origem é um Foco (estável), pois eistem dois autovetores linearmente independentes, como mostra a Figura 7. Este é o caso do eemplo (9) a seguir, onde temos que det(a) = 4, tr(a) = 4 e = 0, e os autovalores são λ 1 = λ 2 = 2. X = [ ] X (9) y v2 v1 Figura 7: Plano de fase do sistema (9) A não é multipla da identidade: Neste caso a origem é um Nó impróprio (estável), eistindo só um autovetor linearmente independente, como mostra a Figura 8. Este é o caso do eemplo (10) a seguir, onde temos que det(a) = 4, tr(a) = 4 e = 0, e os autovalores são λ 1 = λ 2 = 2. [ ] 1 1 X = X (10) 9 5 Note-se que em ambos os eemplos (9) e (10) se tem det(a) = 4, tr(a) = 4 e = 0. O que os distingue é o fato de A ser ou não múltipla da identidade. (c) tr(a) > 0: Neste caso a classificação é semelhante ao caso (b). A única diferença é que aqui os sistemas são instáveis. Os diagramas de fase são idênticos aos do (b), mas as setas estão invertidas. Sendo assim, se: (*) > 0: Os autovalores da matriz A são reais distintos e ambos positivos e, portanto, temos um Nó (instável). (*) < 0: Sendo os autovalores compleos conjugados com parte real positiva, a origem designa-se por Fonte espiral. (*) = 0: Os autovalores de A são reais e iguais, sendo necessário analisar se a matriz é múltipla da identidade ou não. 8

9 y v1 Figura 8: Plano de fase do sistema (10) A é multipla da identidade: Neste caso a origem é um Foco (instável). A não é multipla da identidade: Neste caso a origem é um Nó impróprio (instável). Esta classificação dos sistemas lineares hiperbólicos no plano pode ser resumida no seguinte (veja Figura 9): (1) det(a) = 0: Sistema não hiperbólico. (2) det(a) < 0: Ponto de Sela, pois os autovalores são reais de sinais contrários. (3) det(a) > 0: Dois autovalores reais de mesmo sinal ou um par de compleos conjugados. (a) tr(a) = 0: Sistema não hiperbólico, pois os autovalores são compleos imaginários puros. (b) tr(a) < 0: Autovalores com parte real negativa. (*) = 0: A é multipla de I 2 : Foco estável. A não é multipla de I 2 : Nó impróprio estável. (*) < 0: Espiral estável. (*) > 0: Nó estável. (c) tr(a) > 0: Autovalores com parte real positiva. (*) = 0: A é multipla de I 2 : Foco instável. A não é multipla de I 2 : Nó impróprio instável. (*) < 0: Espiral instável. (*) > 0: Nó instável. 9

10 Figura 9: Classificação de sistemas lineares hiperbólicos no plano em coordenadas (tr(a), det(a)). 10

11 Sistemas não-lineares Autônomos, Retrato de Fase, Ciclos Limite, Teorema de Poincaré-Bendison e Equações de Lienard Sistemas não-lineares autônomos e retrato de fase Queremos estudar o comportamento das soluções do sistema não-linear escrito na seguinte forma: { = f(, y) y (11) = g(, y) onde = (t) e y = y(t). Antes de pensarmos como desenhar o comportamento das soluções de um sistema da forma (11), precisamos primeiro pensar em pontos de equilíbrio, também chamados de pontos críticos ou pontos estacionários. Definição 4: Um ponto ( 0, y 0 ) é um ponto de equilíbrio para o sistema { = f(, y) y = g(, y) se { f(0, y 0 ) = 0 g( 0, y 0 ) = 0 Em outras palavras, para encontrarmos os pontos de equilíbrio do sistema acima, basta resolver o seguinte sistema { f(, y) = 0 g(, y) = 0 Estamos interessados aqui em discutir um sistema 2 2 autônomo de modo geral, ou seja, não-linear. Então suponhamos que o sistema (11) é não-linear. Para estudarmos este tipo de sistema podemos pensá-lo como um sistema linear da forma X 1 = AX 1 11

12 nas próimidades dos pontos de equilíbrio, ou seja, a linearização do sistema (11) em torno de ( 0, y 0 ). Em geral, e principalmente quando eistem vários pontos de equilíbrio ou quando as funções f(, y) e g(, y) não são simples, para encontrar o sistema linearizado, ou fazer a linearização do sistema, usamos a matriz Jacobiana dada por J(, y) = f(, y) f(, y) O resultado é que nas proimidades do ponto de equilíbrio ( 0, y 0 ), a linearização do sistema { = f(, y) y = g(, y) é 1 = y 1 = f(, y) f(, y) y 1 y 1 ou na forma matricial X 1 = AX 1 onde X 1 = ( 1 y 1 ) e A = J( 0, y 0 ) 12

13 Retrato de fase A seguir apresentamos um procedimento geral para desenhar, do ponto de vista qualitativo, as trajetórias de um sistema não-linear autônomo { = f(, y) y = g(, y) Em outras palavras, apresentamos um procedimento para esboçar o retrado de fase do sistema não-linear dado. 1. Encontre todos os pontos de equilíbrio resolvendo o seguinte sistema: { f(, y) = 0 g(, y) = 0 2. Para cada ponto de equilíbrio ( 0, y 0 ) encontre a matriz A do sitema linearizado, ou seja, aplique a matriz Jacobiana no ponto ( 0, y 0 ). f(, y) f(, y) ( 0, y 0 ) ( 0, y 0 ) A = J( 0, y 0 ) = ( 0, y 0 ) ( 0, y 0 ) 3. Determine o tipo geométrico de cada ponto de equilíbrio do sistema linearizado, ou seja, se são pontos de sela, nós ou espirais estáveis ou instáveis. 4. No plano-y, marque os pontos de equilíbrio e desenhe as trajetórias nas proimidades dos pontos de equilíbrio ( 0, y 0 ), incluindo a direção do movimento. 5. Finalmente, para finalizar o desenho, desenhe algumas trajetórias compatíveis com o comportamento das trajetórias que foram desenhadas no passo anterior. Se foi cometido algum erro na análise anterior em qualquer ponto de equilíbrio, ele vai aparecer agora. Em outras palavras, será impossível desenhar de forma plausível qualquer trajetória que complete o desenho. Eercício 1: Para cada sistema a seguir, a origem é claramente um ponto de equilíbrio. Dê o tipo, a estabilidade, e apresente o comportamento de algumas trajetórias (plano de fase) do sistema em torno de tal ponto. { { = y + y = y 2. 2 y 2 = 3 2y y y = 2y + 3 Eercício 2: Para cada sistema a seguir, encontre os pontos de equilíbrio de cada sistema, e faça o plano de fase em torno de cada ponto e adicione algumas trajetórias compatíveis com as as outras que você desenhou. 1. { = 1 y y = 2 y 2 2. { = 2 y y = 3y y 2y 2 13

14 Ciclos limite Até agora, nossa análise dos sistemas não-lineares no plano-y se resumiu em encontrar os pontos de equilíbrio do sistema e analizar as trajetórias nas proimidades de cada um destes pontos. Isto nos dá uma ideia de como as outras trajetórias se comportam, pelo menos aquelas que passar nas proimidades dos pontos de equilíbrio. Uma outra possibilidade importante, a qual pode influenciar no comportamento das trajetórias é se uma destas trajetórias for uma curva fechada C. Se isto acontecer, a solução associada X(t) será geometricamente determinada por um ponto que vai e volta sobre a curva C com um certo período T. Isto é, a solução X(t) = ((t), y(t)) será um par de funções periódicas com período T, ou seja, (t + T ) = (t) e y(t + T ) = y(t), para todo t Se tal curva (trajetória) fechada eistir, as trajetórias nas suas proimidades devem se comportar de maneira parecida com C. Assim temos as seguintes possibilidades: nas proimidades de C as curvas podem ser espirais se aproimnando de C, elas podem ser espirais se afatando de C, ou elas podem ser também curvas fechadas, como mostra a figura a seguir. Se o último caso não acontece, ou seja, a curva C é uma curva isolada, então C é chamada de ciclo limite, o qual pode ser estável, instável ou semi-estável, respectivamente, se as curvas espirais se aproimam de C, ou se afastam de C, ou ambas. C C C C Ciclo limite estavel Ciclo limite instavel Ciclo limite semi estavel Neutro Centro estavel Figura 10: Classificação dos ciclos limite O ciclo limite mais importante é o ciclo limite estável, onde nas suas proimidades as curvas (trajetórias) espirais aproimam de C de ambos os lados. Processos periódicos na natureza podem frequentemente ser representados como ciclos limite estáveis, assim eiste um grande interesse em encontrar tais trajetórias se elas eistem. Infelizmente, pouco se sabe sobre como fazer isto, ou como mostrar que um sistema não possui ciclos limite. 14

15 Eistência de ciclos limite A principal ferramenta que vem sendo historicamente usada para mostrar que sistemas da forma { = f(, y) y (12) = g(, y) possui ciclo limite estável é o seguinte: Teorema 5 [Teorema de Poincaré-Bendison]: Suponha que R é uma região finita do plano entre duas curvas simples fechada D 1 e D 2, e que F é campo de velocidades para o sistema (12). Se (i) se em cada pode de D 1 e D 2, o campo F aponta para o interior da região R, e (ii) R não contém nenhum ponto de equilíbrio, então o sistema (12) possui uma trajetória fechada (ciclo limite) contido em R. Não daremos uma demonstração formal deste teorema, mas de certa forma tal teorema é intuitivo. De fato, se começarmos em uma das curvas de contorno D 1 ou D 2, a solução entrará na região R, pois, os vetores velocidades apontar para o interior de R. De acordo com o avançar do tempo, a solução não pode nunca deiar R, pois quando a solução se aproima de uma de contorno, tentando sair de R, os vetores velocidade sempre apontam para dentro de R, forçando a solução a ficar dentro de R. Desde que a solução não pode sair de R, a única coisa que a solução pode fazer quando t é ou se aproimar de um ponto de equilíbrio - mas não eiste nenhum em R por hipótese - ou se aproimar em forma de espiral em direção a uma trajetória fechada. Logo, eiste uma trajetória fechada (ciclo limite) em R, o qual não pode ser instável, ou seja, pode ser qualquer uma das outras três possibilidades. D1 D2 Figura 11: Teorema de Poincaré-Bendison 15

16 Não-Eistência de ciclos limite Vejamos agora o outro lado da moeda. Aqui apresentamos dois resultados que são usados para mostrar que um ciclo limite não eiste. f(, y) Teorema 6 [Critério de Bendison]: Se e R a qual é simplesmente conea (isto é, sem buracos), e são contínuas em uma região f(, y) + 0 em todo ponto de R, então o sistema { = f(, y) y = g(, y) não possui trajetórias fechadas dentro de R, ou seja, não possui ciclos limite. Demonstração: Suponhamos por contradição que eiste um ciclo limite C em R. Denote por S o interior da curva fechada C. Vamos calcular a integral de linha no sentido positivo (o interior da curva C fica sempre à esquerda), ou seja, vamos aplicar o Teorema de Green no plano, que é: ( f f(, y)dy g(, y)d = + g ) ddy C Observe que o lado direito da igualdade é diferente de zero por hipótese. podemos obter d f(, y) = ou f(, y)dy = g(, y)d dy g(, y) S Do sitema Logo, a integral do lado esquerdo da igualdade anterior deve ser igual a zero, o que nos leva a uma contradição. Note que o teorema não nos leva a concluir nada se f(, y) + = 0 Eemplo 1: O sistema { = + y 2 y = 2 y 2 possui ciclos limite? Solução: Observe que (, y) f(, y) f(, y) = 1 e + = 1 3y 2 < 0. Portanto, pelo Critério de Bendison, o sistema não possui ciclos limite. = 3y 2. Sendo assim, para todo 16

17 { = Eemplo 2: O sistema 2 + y y = 2 y 3 possui ciclos limite? Solução: Observe que f(, y) = 2 e = 2y. Portanto, f(, y) + = 2 2y = 0 se, e somente se, = y. y =y? Sem ciclo limite Sem ciclo limite Figura 12: Teorema de Poincaré-Bendison Como vimos antes, o teorema de Poincaré-Bendison diz que qualquer trajetória descrita por um sistema não-linear que entra ou está contida e nunca sai de uma região fechada e limitada sem a eistência de um estado de equilíbrio, é um ciclo limite ou está se aproimando de um. Considerando uma região S delimitada pelo ciclo limite, sem a eclusão de pontos de equilíbrio, pode-se concluir a partir o teorema de Poincaré-Bendison que uma condição necessária para eistência de um ciclo limite é que N = S + 1 onde N é o número de espirais, nós ou centros, e S é o número de pontos de sela. Como corolário do teorema de Poincaré-Bendison temos o seguinte: 17

18 Teorema 7 [Critério do Ponto de Equilíbrio]: Um ciclo limite envolve pelo menos um ponto de equilíbrio. Demonstração: Se S = 0, então N = 1. Ou seja, um ciclo limite envolve necessariamente pelo menos um ponto de equilíbrio. Note que de acordo com esse critério, se uma região R do plano não contém pontos de equilíbrios, então R não contém ciclos limite. Eemplo 3: Olhando novamente o Eemplo 2, vemos que 2 + y para todo (, y), ou seja, o sistema não possui pontos de equilíbrio. Portanto, o sistema não possui ciclos limite. Eemplo 4: Para quais valores de a e d o sitema fechadas? { = a + by y = c + dy possui trajetórias Solução: É fácil verificar que Pelo critério de Bendison, f(, y) = a e = d. f(, y) + = a + d 0 implica a não eistência de trajetórias fechadas. Se a+d = 0 o critério de Bendison não nos diz nada. Então, o que acontece se a+d = 0? Como o sistema dado é linear podemos escrever sua equação característica que é Agora assumindo que a + d = 0, temos que: λ 2 (a + d)λ + (ad bc) = 0 1. se ad bc < 0 então os autovalores serão reais distintos, como sinas opostos, e o sistema é um ponto de sela. 2. se ad bc > 0 então os autovalores são compleos, imaginários puros, e o sistema é um centro, os quais são trajetórias fechadas. Portanto, o sistema possui trajetórias fechadas se, e somente se, a + d = 0 e ad bc > 0. Eercício 3: Considere sistema { = y + (1 2 y 2 ) y = + y(1 2 y 2 ). 1. Mostre que o ponto (0, 0) é o único ponto de equilíbrio do sistema. (Sugestão: mostre que se (, y) é um ponto de equilíbrio não nulo, então y = e derive uma contradição) y 2. Mostre que (cos(t), sen(t)) é uma solução do sistema e que ela é periódica. Qual é a sua trajetória? 18

19 Eercício 4: Mostre que cada um dos sistemas a seguir não possui trajetórias fechadas na região R, que é todo o plano-y, eceto o terceiro no qual a região R é considerada como a região do plano-y onde < 1. No quarto, encontre as condições que as seis constantes devem satisfazer para o sistema não possuir trajetórias fechadas no plano-y. { { = y 3 = 2 + y = y y y 2 y = 2 y 2 { { = y 2 = a + b y cy + dy 2 = 1 + y y = e + f 2 2by + cy 2 Equação de Lienard A Equação de Lienard é dada por + f() + g() = 0. As equações de Lienard modelam o sistema físico de um circuito elétrico RLC, ou seja, um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo. Fazendo y = + F (), onde f() = F () podemos reescrever a Equação de Lienard como o sistema de primeira ordem { = y F () y = g() o qual é chamado de Sistema de Lienard. O Teorema de Poincaré-Bendison é usualmente utilizado para estabelecer a eistência de trajetórias fechadas de certos sistemas. Um problema muito mais delicado é determinar o número eato de ciclos limite de um certo sistema ou de uma certa classe de sistemas dependendo de parâmetros. Em 1928, Lienard provou que, para F e g satisfazendo certas condições, o sistema de Lienard possui um único ciclo limite, como podemos ver no teorema a seguir. Teorema 8 [Teorema de Lienard]: Suponhamos que (1) as funções F e g são de classe C 1 em R, ou seja, possui derivada primeira contínua; (2) as funções F e g são ímpares, ou seja, F ( ) = F () e g( ) = g(); (3) g() > 0 para todo 0; (4) F (0) < 0; (5) F possui zeros somente em 0 e em = ±a, com a R; (6) F é monótona crescente para infinito para a, quando. Então o sistema de Lienard (13) tem eatamente um ciclo limite o qual é estável. 19 (13)

20 Omitiremos a prova deste teorema, pois, além de ser longa é difícil e requer conhecimentos em análise. Eemplo 5: Considere a equação de van der Pol + k( 2 1) + = 0 a qual é um caso particular da Equação de Lienard. Observe que ( ) 3 F () = k 3 e g() =. De fato, F () = k( 2 1). Portanto, o sistema de Lienard, neste caso, é dado por ( ) 3 = y k 3 y = Solução: Claramente as funções F e g são ímpares e de classe C 1 em R. Além do mais, g() = 2 > 0 para todo 0. Temos também que F (0) = 1 < 0 Além disso, F (0) = 0 e para a = ± 3 temos que F (a) = 0. Para 3 F é monótona e cresce para o infinito quando. Assim, as hipóteses do Teorema de Lienard são satisfeitas para estas funções e, portanto, para todo k > 0, a equação de van der Pol dada anteriormente tem um único ciclo limite estável. Eercício 5: Suponha que as funções F e g no sistema (13) sejam dadas por F () = e g() = e vefique se tais funções satisfazem as condições do Teorema de Lineard. Eercício 6: Mostre que o sistema de Lienard { = y y = v() u()y não possui soluções periódicas (trajetórias fechadas) se acontece uma das seguintes: 1. u() > 0 para todo. 2. v() > 0 para todo. 20

21 O sistema presa-predador: o modelo Lotka-Volterra Suponhamos que representa a densidade da presa e que y representa a densidade do predador. Sendo assim temos o seguinte sistema de equações presa-predador de Lotka- Volterra: { = a by onde r, a, c e d são constantes positivas e: 1. a: taa de crescimentos de presas; y = cy + dy 2. b : taa de mortalidade das presas devido a interação da presa com o predador; 3. c: taa de mortalidade de predadores; 4. d: taa de conversão de biomassa de presas capturadas em predadores. Além disso, o termo a implica que as presas crescerão de modo eponencial na ausência de predadores. Por sua vez, o segundo termo da primeira equação, by, está relacionado à redução das presas por ação dos predadores. Na segunda equação, o termo cy indica que a população de predadores decai eponencialmente na ausência de presas, e dy indica que a perda de presas leva à produção de novos predadores. Eercício 7: Encontre os pontos de equilíbrio do sistema de equações presa-predador de Lotka-Volterra: { = + y y = y y 21