Controle Não LInear. CEFET/RJ Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Rio de Janeiro

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1 Controle Não LInear CEFET/RJ Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Rio de Janeiro 1

2 2. SISTEMAS DE 2ª ORDEM 2.1. INTRODUÇÃO 2.2. ANÁLISE QUALITATIVA DOS SISTEMAS LINEARES Valores próprios distintos ( λ1 λ Valores próprios iguais ( λ1= λ2) 2.3. CICLOS LIMITE Classificação dos ciclos limite Existência de ciclos limite 2.4. OBTENÇÃO DA TRAJECTÓRIA Métodos analíticos Métodos gráficos 2.5. PROBLEMAS 2

3 INTRODUÇÃO Num sistema de 2ª ordem o vector de estado contém apenas duas componentes. Se estes sistemas forem autónomos e sem entradas exteriores, o estudo do vector de estado, que residirá num plano, o plano de estado, permite obter uma compreensão global, do comportamen todo sistema. Designem-se as duas componentes da variável de estado por x1 e x2. De uma forma geral 1 x R e 2 x R. Um sistema deste tipo que admita representação por meio de um modelo de estado, será descrito pelo sistema de equações de estado escalares 3

4 com t R + e f1 e f2 funções suaves de x1 e de x2. As equações acima, juntamente com as condições iniciais definem a evolução do estado do sistema, ou seja, o seu comportamento. Designa-se por órbita a trajetória de x(t) no espaço das variáveis de estado. Uma vez que o sistema utiliza uma variável de estado com apenas duas componentes, que por simplicidade são designadas por variáveis de estado, a órbita é uma órbita plana. A sua representação existe e é única. g(x1,x2)=0 4

5 No caso dos sistemas em estudo, em que a órbita é plana, o espaço de fases é designado por plano de fases ou plano de estado. Em sistemas de ordem superior à 2ª não é possível efectuar uma representação gráfica de todo o retrato de fase; o que correntemente se faz é representar as órbitas mais significativas, em número suficiente para se poder concluir, por simples observação, como é que qualquer outra órbita se comportará. A esta representação chama-se esboço do retrato de fase. Para se efectuar o esboço do retrato de fase podem utilizar-se métodos analíticos, métodos gráficos ou então métodos numéricos, com o auxílio de um computador. 5

6 Os métodos que a seguir serão descritos aplicam-se também a sistemas com mais de duas variáveis de estado, embora a complexidade da representação gráfica daí resultante seja elevada. Também se aplicam a sistemas de 1ª ordem, com uma entrada e uma saída, ficando neste caso o retrato de fase reduzido a uma curva 6

7 ANÁLISE QUALITATIVA DOS SISTEMAS LINEARES Considere-se um sistema linear de 2ª ordem, representado pelas equações de estado. com t R+ e,ai, bj R e constantes. As equações acima, juntamente com as condições iniciais definem o comportamento do sistema, ou seja a evolução do seu estado. Para facilitar a obtenção da solução deste sistema faça-se a transformação desta representação numa equação diferencial de 2ª ordem 7

8 Derivando (2.4), substituindo no resultado x 2 dado por (2.4), b) reagrupando, dando novos nomes simplificados às constantes e fazendo x1(t) = x(t), obtém-se Para obter a solução desta equação é necessário em primeiro lugar obter as soluções da equação característica correspondente, Que são: (2.7) 8

9 Sendo a solução de (2.5) dada por: (2.8) (2.9) Os valores das constantes k1 e k2 podem ser obtidos a partir das condições iniciais e das equações anterior e suas derivadas, fazendo ne las t = 0. Chama-se a atenção para o facto de as raízes do polinómio característico serem os valores próprios da matriz A do sistema linear (2.4). 9

10 Valores próprios distintos (λ1 λ2) Nó estável e nó instável Se λ1 e λ2 forem ambos reais e negativos, ou seja se estiverem localizados sobre o eixo real no semi-plano complexo esquerdo, as soluções convergem para a origem, que é um ponto de equilíbrio estável. A trajectória no espaço de fases (x, x ) é a indicada na Fig. Nó estável 10

11 Diz-se que se trata de um nó (ou nodo) estável. Reparese nas duas assimptota v1 e v2. A sua inclinação depende da localização de λ 1 e λ2. Junto da origem as trajectórias aproximam-se da assimptota menos inclinada, enquanto que longe da origem se tornam paralelas à menos inclinada. Se λ 1 e λ 2 forem ambos reais e positivos, ou seja se estiverem localizados sobre o eixo real no semi-plano complexo direito, as soluções divergem da origem, que é um ponto de equilíbrio instável. A trajectória no espaço de fases (x, x ) é a indicada na Fig. Diz-se que se trata de um nó instável. 11

12 nó instável 12

13 Ponto de sela Se λ 1 e λ2 forem ambos reais e de sinais contrários, as soluções no espaço de fases têm o andamento indicado na Fig. 2.3, a que se chama ponto de sela. Repare-se que há algumas soluções que começam por se aproximar da origem, mas que acabam por se afastar. A origem é um ponto de equilíbrio instável. 13

14 Foco estável e foco instável Se λ1 for complexo, λ2 também é complexo e conjugado de λ1, como se pode observar por (2.7), para o caso de b e c serem reais. As soluções têm um andamento oscilatório, como se pode provar a partir de (2.8)/(2.9) fazendo λ =σ +jω. Se a parte real de λ1 (igual à de λ2) for negativa, as soluções convergem para a origem, de uma forma oscilatória. A origem é um ponto de equilíbrio estável, designado por nó estável ou foco estável. A trajectória no espaço de fases é a indicada na Fig

15 Se a parte real de λ1 for positiva as soluções divergem da origem de uma forma oscilatóriaoscilatória. A trajectória no espaço de fases é indicada na Fig.. A origem é um ponto de equilíbrio instável, designado por nó instável ou foco instável. 15

16 Centro Se λ1 e λ2 forem complexos conjugados com a parte real nula, as soluções são oscilatórias, sem amortecimento ou expansão. As soluções mantêm a amplitude constante, não convergindo para a origem nem se afastando delas como se observa pela órbita da Fig.. A origem é um ponto de equilíbrio criticamente estável, designado por centro. 16

17 Um dos valores próprios nulo Se um dos valores próprios for nulo, as soluções degeneram em rectas. Valores próprios iguais (λ1=λ2) Quando os valores próprios são iguais eles são necessariamente reais. As soluções obtêm-se a partir da equação (2.9). Podem surgir os casos a seguir indicados. 17

18 Valor próprio duplo diferente de zero Se o valor próprio for negativo as trajectórias convergem para a origem. A forma das trajectórias depende dos valores das constantes k1 e k2 em (2.9)b). Se for k1=0 e k2 0 as órbitas são as representadas na Fig. a, para λ<0. Se se tiver k1 0 e k2=0 as trajectórias no espaço de fases são as da Fig. b, para λ<0. A origem é estável. Valor próprio duplo não nulo, negativo 18

19 Se o valor próprio for positivo as trajectórias divergem da origem. A forma das trajectórias continua a depender dos valores de k1 e k2 (Fig. 2.9). A origem é instável. Valor próprio duplo não nulo, positivo 19

20 Valor próprio duplo nulo Se o valor próprio for duplo e nulo, as trajectórias são paralelas a uma recta que passa pela origem (Fig. ). Valor próprio duplo nulo 20

21 CICLOS LIMITE Chamam-se ciclos limite às oscilações que se podem estabelecer, com amplitude frequência e forma bem definidas, sem que o sistema esteja sujeito a qualquer solicitação externa. Estas oscilações, auto-excitadas a partir do ruído ou de pequenas perturbações, são uma característica de alguns sistemas não lineares, e nunca podem aparecer em sistemas lineares. Num sistema de 2ª ordem um ciclo limite define, no plano de estado, uma curva fechada que divide o plano de estado em duas regiões: uma região interior ao ciclo limite e uma outra exterior ao ciclo limite. 21

22 Um ciclo limite é estável quando é uma curva fechada para a qual tendem as diversas trajectórias que se iniciam numa determinada região (região de atracção do ciclo limite). As trajectórias podem iniciar-se dentro ou fora do ciclo limite, ou então sobre este, como se indica na Fig. a). Ciclo limite instável : Um ciclo limite é instável quando qualquer trajectória que se inicie na sua vizinhança se afasta dele ver Fig. b). Ciclo limite semi-estável : Um ciclo limite é semi-estável quando qualquer trajectória que se inicie na sua vizinhança se comporta de modo diferente, como estável ou como instável, consoante se inicie no interior ou no exterior do ciclo limite. No exemplo da Fig. c), as trajectórias que se iniciam no exterior do ciclo limite tendem para ele, e as que se iniciam no seu interior divergem dele. 22

23 Tipos de ciclos limite 23

24 Existência de ciclos limite Os teoremas que se seguem estabelecem as condições de existência de ciclos limite, a partir do conhecimento dos pontos de equilíbrio e do seu tipo. Seja o sistema não linear autónomo representado por (2.1), com as condições iniciais (2.2). São válidos os seguintes teoremas. Teorema de Poincaré 24

25 Teorema de Poincaré-Bendixon Teorema de Bendixon Seja o sistema não linear autónomo de 2ª ordem, representado por (2.1). Represente-se o sistema na forma vectorial, mais compacta, 25

26 O teorema de Bendixon afirma o seguinte: É condição necessária para a existência de um ciclo limite, numa região Ω do plano de fase, que não amorteça e que mude de sinal. (a definição de div f está na subsecção seguinte) Demonstração: Para qualquer trajectória do sistema tem-se Nestas condições, integrando (2.13) ao longo de uma curva fechada L que coincida com o ciclo limite deverá ser 26

27 Mas pelo teorema de Stokes é, representando por S a área delimitada pelo ciclo limite, 27

28 Nota sobre alguns operadores vectoriais 28

29 OBTENÇÃO DA TRAJECTÓRIA Métodos analíticos Os métodos analíticos são utilizados para a obtenção das trajectórias no plano de fases quando a solução analítica da equação de estado é relativamente fácil de obter. A essência do método consiste em obter a solução explícita do sistema (2.1) em função do tempo, e em seguida eliminar a variável t entre as equações obtidas, ficando-se com uma relação do tipo (2.3). 29

30 Exemple 1 Suma de forças: 30

31 Eliminando t de x e x : 31

32 Exemplo2 32

33 Trajectórias no espaço de fases 33

34 Plano de fase de un sistema lineal de segundo orden. Análisis en el Plano de Fase de Sistemas No-Lineales 34

35 Plano de fase de un sistema lineal de segundo orden. 35