Capítulo 4 ESPAÇO DE ESTADOS. 1

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1 Capítulo 4 EPAÇO DE ETADO FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC

2 Eemplo No modelo do músculo da rã suspenso (Cap. 3) obteve-se a equação diferencial de 2ª ordem My+ B y+ Ky = u B y Pode-se reduzir a duas de ª ordem, por substituição de variáveis: y y 2 (Bruce) u FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 2

3 y = y = 2 B K 2 y 2 = ( y) = y = y y+ u M M M B K ou seja 2 = 2 + u M M M = 2 B K 2 = 2 + u M M M 0 0 = K B + u M M M = A + Bu FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 3

4 O que queremos observar? A posição y? Neste caso a saída é y e portanto 2 [ ] [ ] y = = u = u y = C+ Du y = C + Du FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 4

5 Eemplo 2 No modelo de inspiração-epiração pulmonar V () t + av () t = bp() t L L V u P( t) = a + bu O que queremos observar? V? Nesse caso éa saída y = y = + 0u = A + Bu y = C+ Du FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 5

6 Eemplo 3 Metabolismo da glucose dg dt dh dt = mg mh+ J( t) 2 = mh+ mg+ K( t) 3 4 g : desvio do nível da glucose do seu valor recomendado h : desvio do nível da insulina do seu valor recomendado J : taa eperimental de infusão de glucose K : taa eperimental de infusão de insulina m, m, m, m, constantes características de cada indivíduo FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 6

7 Estados: 2 Entradas: u J( t) u K( t) áidas: g = h 2 y = y = 2 2 d dt d dt 2 = m m + u y = 2 2 =+ m m + u y = 2 2 m m2 0 u y u = + = + m4 m u 2 y u 2 2 = A + Bu y = C+ Du FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 7

8 Eemplo 4 No modelo de Lotka-Volterra d() t dt dy() t dt = a() t b() t y() t = cy() t + p() t y() t (presas) y(predadores) 2 d () t dt d2() t dt = a () t b () t () t 2 = c () t + p () t () t 2 2 FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 8

9 = a b = f (, ) 2 2 = c + p = f (, ) = f( ) istema não linear autónomo (sem entrada eógena) FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 9

10 Caso geral d i dt = f ( ( t),..., ( t), u ( t),..., u ( t), t) i n m y ( t) = g ( ( t),..., ( t), u ( t),..., u ( t), t) i i n m u u 2 u m n variáveis de estado 2 n y y 2 y r = f u t0 = y = g(, u) (, ), ( ) 0 FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 0

11 Equação de estado Caso linear = f u t0 = (, ), ( ) 0 = A+ Bu t0 =, ( ) 0 Equação de saída y = g(, u) Caso linear y = C+ Du FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC

12 = A+ Bu t0 = y = C+ Du, ( ) 0 D Condições iniciais (memória) u + y B + Integrador C + A FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 2

13 Plano de fase e curvas de fase ' = u 2 ' = u = FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 3

14 Resolução da equação de estado -pela transformada de Laplace 4

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18 Resolução da equação de estado no domínio temporal = A+ Bu =, (0) 0 Parte homogénea = A, (0) = 0 Eemplo = a = 0, (0) (uma variável de estado) at t ( ) = e. de facto, 0 at at = 0ae = a( 0e ) = a FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 8

19 e sea for uma matriz? = A = 0 n, (0) ( variáveis de estado) At t ( ) = e.???? k at 2 t 3 t k t e = + at+ a + a a ! 3! k! 2 3 k At 2 t 3 t k t e = + At+ A + A A ! 3! k! FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 9

20 Matriz de transição de estado, Φ(t) t () = Φ() t 0 Conhecida a condição inicial, para calcular o estado em qualquer instante futuro basta multiplicar o estado inicial pela matriz de transição de estado nesse instante; isto é, esta matriz transita o estado inicial para o instante t, e daí o seu nome. FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 20

21 Polinómio característico da matriz A λi A = 0 n Q( λ) = λ + a λ aλ+ a = 0 n- n- 0 Valores próprios de A: raízes da sua equação característica Vectores próprios à direita de A: vectores v tais que λv= Av λv Av= 0 [ λi A] v= 0 Vectores próprios à esquerda de A: vectores w tais que w T λ = w T A w T λ w T A= 0 w T [ λi A] = 0 FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 2

22 Estrutura própria da matriz A (caso de valores próprios distintos) Conjunto dos Valores próprios λ i Vectores próprios à direita v i à esquerda w i n n T i i i i i i= i= = = A λ vw λ Z Matrizes Constituintes de A A matriz A pode ser reconstruída a partir da sua estrutura própria (caso n valores próprios distintos) FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 22

23 Pelo Teorema das Matrizes Constituintes n At λjt T e = e. vj wj j= e portanto n λjt T t () = e. vjwj. (0) j= λ t T λct T λnt T = e. v w. (0) + e. v w (0) e. v w. (0) 2 2 n n FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 23

24 Este resultado diz-nos que, para uma dada condição inicial a trajectória temporal do estado é uma soma ponderada de eponenciais dos valores próprios da matriz A ( os termos e λt ). são os vectores próprios que estabelecem os coeficientes de ponderação. e λ t e eiste um λ i real positivo lim it = e o sistema é instável em relação às condições iniciais!!! FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 24

25 Condição necessária e suficiente de estabilidade às condições iniciais: Que todos os valores próprios de A tenham parte real negativa ou nula, mas neste caso só pode haver um (de parte real nula). FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 25

26 olução da equação de estado completa = A + Bu At 0 A( t τ ) t () = e (0) + e Bu( τ ) d t τ t () = + zi zs FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 26

27 Estados de equilíbrio de sistemas não-lineares = f (, u) = 0 f(, u) = 0 f(, u ) = 0 y = g(, u ) s s s FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 27

28 Eemplo = u 2 = 2 2 ( - ) 2.5 ' = u 2 ' = 2 ( - 2) u = s 2 s = u 2 = u FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 28

29 Linearização em torno dos estados de equilíbrio érie de Taylor f ( +, +,... +, u + u, u + u,..., u + u ) = i s 2s 2 ns n s 2s 2 ms m f f f u u u u n m i i i( s, 2s,... ns, s, 2s,..., ms) + k + k k= k k= uk + termos de ordem superior g ( +, +,... +, u + u, u + u,..., u + u ) = i s 2s 2 ns n s 2s 2 ms m n m i i i s 2s ns us u2s ums + k + uk k= k k= uk g (,,...,,,..., ) + termos de ordem superior g g FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 29

30 30 (, ) n n n n u f f A f f = (, ) m n n m u f f u u B f f u u = (, ) n p p n u g g C g g = (, ) m p p m u g g u u D g g u u = Definindo os Jacobianos

31 ubstituindo na série de Taylor s = f( s, us) ys = g( s, us) ( + ) = f( +, u + u) y + y = g( +, u + u) s s s s s s + = f (, u ) + A + B u y + y = g(, u ) + C + D u s s s s s s A B u = + y = C + D u FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 3

32 Eemplo = u y = 2 2 = 2 2 ( - ) = u s = u s A = [,] B=[-2] A = [2,0] B=[-2] C = [ ] 2 [,] D=[0] C = [ ] 2 [2,0] D=[0] FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 32

33 = u s = u 2 2 s A = B=[-2] A = 0 2 B=[-2] C = [ ] D=[0] C = [2 ] D=[0] eig(a) ans = » eig(a) ans = 2 FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 33

34 Os estados de equilíbrio são um pontos sela e um nó instável ' = u 2 ' = 2 ( - 2) u = FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 34

35 Eemplo 2 = ( -) u y = = ( 2-2) u ( -) u = 0 ( -) = u ( -) =± u 2 2 ( - 2) u = 0 ( - 2) = u ( - 2) =± u ( -) =± u = ± u ( - 2) =± u = 2± u 2 2 u = = T [2,3] 2 = [0,] T FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 35

36 = ± u u = 2 = 2 ± u = 3 = = = A= A A A 0 2 = = = nó instável ponto sela ponto sela nó estável FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 36

37 ' = ( - ) 2 - u 2 ' = (2-2) 2 - u u = FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 37

38 Conclusão A representação de estado aplica-se de igual modo aos sistemas lineares e não lineares, variantes ou invariantes. No caso linear obtém-se uma representação matricial. As propriedades dinâmicas do sistema são dependentes dos valores próprios da matriz de estado, tal como são dependentes dos pólos da função de transferência na representação no domínio compleo Os sistemas não lineares podem ter zero, um ou vários estados de equilíbrio para a a mesma entrada. Alcançam um ou outro conforme as condições iniciais. Aproimando as funções de estado e de saída pela série de Taylor nos pontos de equilíbrio, desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se um sistema linearizado. FCTUC/MEngBiomedica/MCPF/DBF/2007/@ADC 38