Modelos Matemáticos de Sistemas

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1 Modelos Matemáticos de Sistemas Introdução; Equações Diferenciais de Sistemas Físicos; Aproximações ineares de Sistemas Físicos; Transformada de aplace; Função de Transferência de Sistemas ineares; Modelos em Diagrama de Blocos; Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais; Analise Computacional de Sistemas de Controle; Exemplo de Projetos. 1

2 Aproximações ineares de Sistemas Físicos Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares. A Transformada de aplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares. Técnica de inearização de sistemas não-lineares Um Sistema inear satisfaz as propriedades de superposição e homogeneidade Principio da Superposição x ( t) y ( t) 1 1 x ( t) y ( t) x ( t) + x ( t) y ( t) + y ( t) 1 1 Propriedade da Homogeneidade x( t) y( t) β x( t) β y( t)

3 Massa apoiada sobre uma Mola Não-inear No ponto equilíbrio Força Mola = Força Gravitacional f = Mg Modelo inear para Pequenos Desvios f = m y df m = = dy Aproximação inear é igualmente precisa, uma vez que a hipótese de pequeno sinais é aplicável ao problema especifico. y y 3

4 Aproximações ineares de Sistemas Físicos Série de Tailor y( t) = g( x( t)) dg ( x x ) g ( x x ) y = g( x) = g( x ) K dx x= x 1! x! x= x Boa aproximação para uma pequena faixa de valores de (x-x ) dg y = g( x ) + ( x x ) = y + m( x x ) dx x = x Onde m é a inclinação da curva no ponto de operação. ( y y ) = m( x x ) y = m x 4

5 Aproximações ineares de Sistemas Físicos Variável y dependente de varias excitações y t = g x1 x K x n ( ) (,,, ) g g g y( t) = g( x, x, K, x ) + ( x x ) + ( x x ) + K+ ( x x ) 1 n 1 1 n n x1 x x x x = x= x n x= x A expansão em Serie de Taylor em torno do ponto de operação x 1, x,..., x n, é útil para se obter um aproximação linear da função não-linear. 5

6 Modelo Oscilador Tipo Pendulo Torque aplicada a massa é senθ T T Mg ( θ θ ) θ θ = θ T = Mg senθ Esta aproximação é aproximadamente exata para - /4 /4 A 1a. Derivada calculada no ponto de equilíbrio fornece aproximação linear. = ±3 % Em torno de =, T = T T = Mg = Mgθ (cos )( θ θ) 6

7 Modelo Oscilador Tipo Pendulo comprimento do pêndulo; M massa do pêndulo; f força que atua no pêndulo; g gravidade. f = Mg A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo d θ ( t). = sen θ ( t) g dt 7

8 Série de Taylor f ( θ θ ) df d f ( θ ) = f ( θ) +.( θ θ) ( ) dθ θ = θ dθ ( θ = θ )! Se a variação θ - θ é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em: f(θ) = senθ, e: df f ( θ ) f ( θ ) +. ( θ θ ) dθ ( θ = θ ) { } ( ) senθ = senθ + cos θ. θ θ O pêndulo opera na região em que pode-se linearizar a função em torno do ponto:. ( θ ) senθ + 1. senθ θ d θ ( t). = θ ( t) g dt 8

9 Transformada de aplace O método m substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela solução mais fácil f de equações algébricas. A solução da resposta no domínio do Tempo é obtida: 1. Obter as equações diferenciais;. Obter a transformação de aplace das equações diferenciais; 3. Resolver a transformada algébrica resultante para a variável sob interesse. Onde: s = τ + jω { } = = st f ( t) F( s) f ( t) e dt Se as funções f(t), f 1 (t) e f (t) apresentam T.., então: { A f ( t) } = A. { f ( t) } + = + { } { } f ( t) f ( t) f ( t) { f ( t) } 1 1 9

10 OBTENÇÃO DA TRANSFORMADA DE APACE DE AGUMAS FUNÇÕES 1. Função Exponencial: { } { } αt -αt -st -( s+ α) t f ( t) -= t AeA = Ae α - ( s+ α ) t. e dt= A e dt { } ( -( s+ α ) -( s+ α ). Ae = e = ). e -e. Função Degrau: ( α ) ( α ) - s+ - s+ - t { Ae α } A = s+ α f ( t) = para t < f ( t) = Aµ ( t) para t > A. µ ( t) A s s.. { A. ( )}. ( ). st. st µ t A µ t e dt e ( e s = = = e s ) f ( t) = para t < t f ( t) = A. e α para t > { A. ( t) } µ = A S 1 A,α são constantes. 1 1

11 OBTENÇÃO DA TRANSFORMADA DE APACE 3. Função Senoidal: Teorema de Euler f ( t) = para t < f ( t) = A.sen ωt para t senωt = jωt jωt ( e e ) st St { f ( t) } = Asen ( ω) t. e dt = A( ). e dt( ) { } f ( t).. j A A dt A dt 1 1 { } A jω f ( t) = = ( ω) j jωt jωt ( e e ) { } + ( ) s jω t s+ jω t s jω t s+ jω t e e A e e = = j j j s j s j j s jω s + jω j s + ω A. ω + ω { A. senωt} = s ( ω) 11

12 TABEA DE TRANSFORMADAS DE APACE 1

13 Solução de uma Equação Diferencial Considere d y dy y = r( t) dt dt dy Onde as condições iniciais são: y () = 1 (),e dt A Transformada de aplace conduz: = r( t) = 1, t [ s Y ( s) sy()] + 4[ sy ( s) y()] + 3 Y ( s) = R( s) sendo R( s) = 1 s Y ( s) ( s + 4) = + s s s s s ( ) ( ) ( s + 4s + 3) = ( s + 1)( s + 3) = Equação Característica 13

14 Solução de uma Equação Diferencial Expansão em Frações Parciais: Resposta: Y ( s) = ( s + 1) ( s + 3) ( s + 1) ( s + 3) s Y( s) = Y ( s) + Y ( s) + Y ( s) t 1 3t t 1 3t y( t) = e e + 1e + e Resposta em Regime Permanente: lim y( t) t = 3 14

15 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Next Class! 15