Introdução aos Circuitos Elétricos

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1 Introdução aos Circuitos Elétricos A Transformada de Laplace Prof. Roberto Alves Braga Jr. Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa UFLA - Departamento de Engenharia

2 A Transformada de Laplace História Pierri Simon de Laplace ( ), astrônomo, matemático e físico francês, nasceu na localidade de Beumont, Província da Normandia. Fez importantes contribuições à mecânica celeste e em sua obra Theórie Analitique (1812) apresenta a transformada que leva o seu nome, a Transformada de Laplace. Considerado um dos mais influente cientista francês de toda a história.

3 A Transformada de Laplace Introdução Importante ferramenta de trabalho em engenharia Abordagem de problemas em uma nova dimensão: s Principal objetivo: Resolver equações diferenciais lineares Normalmente vista em disciplinas como cálculo Apenas uma breve introdução será apresentada nesta disciplina

4 A Transformada de Laplace Etapas: 1. Um problema difícil é transformado em uma equação simples (equação subsidiária) 2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas 3. A resolução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado (tabela)

5 A Transformada de Laplace Definição: Seja f(t) uma função qualquer no domínio do tempo (t > 0). Assim a transformada de Laplace de f(t) é dada por: L{f(t)} = F(s) = 0 e s t f(t) dt sendo s um número complexo: s = σ + jω Não vamos entrar em detalhes sobre condições e definições, vamos aprendê-la por meio de exemplos Inicialmente faremos a transformada de algumas funções e depois veremos algumas aplicações

6 A Transformada de Laplace Exemplo 1: A função degrau f(t) = 1 quando t > 0. Encontrar L{f(t)} L{f(t)} = L{ 1 } = F(s), F(s) = Assim, quando s > 0, 0 e s t dt = 1 s e s t 0 L{1} = 1 s

7 A Transformada de Laplace Exemplo 2: A função exponencial f(t) = e α t quando t > 0 e α é constante. Encontrar L{f(t)} L{f(t)} = L{ e α t } = F(s), F(s) = e α t e s t dt = 0 = 1 s α e (s α) t 0 0 e (s α) t dt

8 A Transformada de Laplace Exemplo 2: A função exponencial F(s) = e α t e s t dt = 0 = 1 s α e (s α) t Assim, para s α > 0, 0 0 e (s α) t dt L{e α t } = 1 s α ( e (s α) + e (s α)0 ) L{e α t } = 1 s α

9 A Transformada de Laplace Algumas propriedades da Transformada de Laplace Linearidade: a x(t) + b y(t) L a X(s) + b Y(s) Derivada: L{f } = s L{f} f(0) L{f (n) } = s n L{f} s n 1 f(0) s n 2 f (0)... f (n 1) (0) Convolução: x(t) y(t) L X(s) Y(s)

10 A Transformada de Laplace Algumas propriedades da Transformada de Laplace Exemplo: Encontrar L{f }, em que f(t) = t 2, para f(0) = 0, f (0) = 0 e f (0) = 2: ou, como L{t 2 } = n! s n+1, L{f } = L{2} = 2 s L{f } = s 2 L{f} s f(0) f (0) L{f } = s 2 2 s 3 = 2 s

11 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Carga do Capacitor Encontrar υ(t). Como V = R i + υ e i = C d υ d t : L { } d υ + L d t V = R C d υ d t + υ d υ d t + 1 R C υ = 1 R C V { } 1 R C υ = L s V(s) υ(0) + 1 R C V(s) = 1 R C { 1 R C V } V s

12 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Carga do Capacitor V(s) = ( 1 R C como υ(0) = 0 ( V(s) s + 1 R C ) V s + υ(0) V(s) = ) υ(0) = 1 R C ( R C 1 R C s + 1 = R C V R C s Na Tabela de Transformadas: L 1 {V(s)} = 1 s a 1 s + 1 R C V s ) V s + υ(0) 1 s b = 1 ( e a t e b t), a b a b 1 s + 1 R C

13 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Carga do Capacitor Neste caso, para b = 1 R C e a = 0, L 1 {V(s)} = L 1 V R C s 0 1 s + 1 R C = V R C 1 R C ( e 0 e 1 R C t) υ(t) = V ( 1 e 1 R C t)

14 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Massa-mola Encontrar x(t). m d2 x d t 2 + k x = 0 { } L m d2 x d t 2 + L{k x} = 0 { d 2 } f L d t 2 = s 2 L{f} s f(0) f (0) s 2 m X(s) s m x 0 + k X(s) = 0

15 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Massa-mola s 2 m X(s) s m x 0 + k X(s) = 0 X(s) = s m x 0 s 2 m + k = x 0 s s 2 + k m Na Tabela de Transformadas: { } L 1 s s 2 + ω 2 = cos ω t assim, para ω = k m, L 1 {X(s)} = x 0 cos k m t

16 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Descarga do capacitor Encontrar υ c (t), sendo υ c (0) = V. i = C d υ c d t, υ c + R i = 0 υ c + R C d υ c = 0 d t d υ c + 1 { } { } d t R C υ c = 0 L d υc 1 L + L d t R C υ c = 0 s V c (s) υ c (0) + 1 RC V c(s) = 0 V c (s) = υ { } c(0) L 1 1 = e a t s + 1 s + a R C L 1 {V c (s)} = υ c (t) = υ c (0) e 1 R C t = V e 1 R C t

17 Aplicações da Transformada de Laplace Exercício: Resolva por Laplace L C d2 υ d t 2 + R C d υ d t + υ = V

18 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Corrente de inrush Encontrar i(t), sendo i(0) = i 0 e υ L (t) = L d i(t) d t. V R i L d i d t = 0 { L{V} = L{R i} + L L d i d t V s = R I(s) + L (s I(s) i 0) = I(s) (R + s L) L i 0 [ [ V I(s) = 0] s + L i 1 1 R + s L = V L s + 1 ] L L i 1 0 } R L + s

19 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Corrente de inrush I(s) = Tabela de Transformadas? Frações Parciais: V L + s i 0 s ( ) s + R L I(s) = A s p 1 + B s p 2 para p 1 = 0 e p 2 = R L I(s) = A s + B s + R L

20 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Corrente de inrush Frações Parciais: I(s) = A s + B L s + R = + s i 0 L s ( ) s + R L V L A = s I(s) = + s i 0 s=0 s + R L s=0 A = V L L R = V R ( B = s + R ) V L I(s) L = + s i 0 s s= R L ( V B = L R ( 0) L i L ) = V R R + i 0 V s= R L

21 Aplicações da Transformada de Laplace Exemplo: Corrente de inrush Expansão em Frações Parciais: Consistência: I(s) = A s + B L s + R = + s i 0 L s ( ) s + R L V V R I(s) = s + R + i 0 s + R L i(t) = L 1 {I(s)} = V ( R + i 0 V ) R V e R L t lim t i(t) = V R e lim t 0 i(t) = i 0

22 Expansão em Frações Parciais Exemplo com raízes não múltiplas s + 1 s 3 + s 2 6s = s + 1 A = s B = (s 2) C = (s + 3) s + 1 s(s 2)(s + 3) s(s 2)(s + 3) = A s + = 1 6 s=0 = 3 10 s=2 = 2 15 s= 3 s + 1 s(s 2)(s + 3) s + 1 s(s 2)(s + 3) B s 2 + C s + 3

23 Expansão em Frações Parciais Exemplo com raízes múltiplas 3 s s s + 21 (s + 1) 2 (s + 2)(s + 3) B = (s + 2) 3 s s s + 21 (s + 1) 2 (s + 2)(s + 3) B = 1 C = (s + 3) 3 s s s + 21 (s + 1) 2 (s + 2)(s + 3) C = 3 = A 1 s A 0 (s + 1) 2 + B s= 2 s= 3 s C s + 3

24 Expansão em Frações Parciais Exemplo com raízes múltiplas 3 s s s + 21 (s + 1) 2 (s + 2)(s + 3) = A 1 s A 0 (s + 1) + B 2 = 2 s= 1 A 0 = (s + 1) 2 3 s s s + 21 (s + 1) 2 (s + 2)(s + 3) A i = 1 d i { (s p) m F(s) } i! d s i s=p A 1 = 1 { d (s + 1) 2 3 } s s s ! d s (s + 1) 2 (s + 2)(s + 3) s s= 1 C s + 3 A 1 = (9s2 +30s+29)(s 2 +5s+6) (3s 3 +15s 2 +29s+21)(2s+5) (s 2 + 5s + 6) 2 A 1 = 1 s= 1

25 Expansão em Frações Parciais Exemplo com raízes complexas s 2 + s 2 s 3 + 3s 2 + 5s + 3 = s 2 + s 2 (s + 1)(s 2 + 2s + 3) Completar os quadrados: s 2 + 2s + 3 = s 2 + 2s = (s + 1) 2 + ( 2) 2 s 2 + s 2 (s + 1)(s 2 + 2s + 3) = A s Bs + C (s + 1) 2 + ( 2) 2

26 Expansão em Frações Parciais Exemplo com raízes complexas s 2 + s 2 (s + 1)(s 2 + 2s + 3) = A s A = (s + 1) s 2 + s 2 (s + 1)(s 2 + 2s + 3) Bs + C (s + 1) 2 + ( 2) 2 = 1 s= 1 Bs + C (s + 1) 2 + ( 2) = s 2 + s 2 2 (s + 1)(s 2 + 2s + 3) 1 s + 1 Bs + C (s + 1) 2 + ( 2) = 2s (s + 1) 2 + ( 2) 2 B = 2 C = 1

27 Expansão em Frações Parciais Exemplo com raízes complexas s 2 + s 2 (s + 1)(s 2 + 2s + 3) = 1 s s + 1 (s + 1) 2 + ( 2) 2 Tabela de Transformadas? 1 s s + 1 (s + 1) 2 + ( 2) 2 1 s s (s + 1) 2 + ( 2) 2 1 s s + 1 (s + 1) 2 + ( 2) (s + 1) 2 + ( 2) 2

28 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição Controle Malha Fechada: Circuito elétrico:

29 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição Circuito elétrico: Controle Malha Fechada:

30 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição e f R f i f L f d i f d t = 0 L{e f } = L{R f i f } + L{L f d i f d t } E f (s) = R f I f (s) + L f s I f (s) = I f (s) [R f + L f s] G 1 (s) = I f(s) E f (s) = 1 R f + L f s

31 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição No gerador, e = k φ ω, onde φ = L i, assim, e = k L i ω e considerando ω constante, K g = k L ω. Portanto, e g = K g i f L{e g } = K g L{i f } E g (s) I f (s) = K g = G 2 (s)

32 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição e g e m = (L g + L m ) d i m + (R g + R m ) i m d t I m (s) E g (s) E m (s) = I m (s) E g (s) E m (s) = 1 R g +R m 1 + L g+l m R g +R m s 1 R gm 1 + L gm R gm s = 1 R gm 1 + T gm s = G 3(s)

33 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição Do motor para a carga: T = k φ i m G 4 (s) = T(s) I m (s) = K T Na carga: T = J d2 θ 0 + B d θ 0 d t d t G 5 (s) = θ 1 0(s) T(s) = B s( J B s + 1) = 1 B s(1 + T n s)

34 Aplicação da Transformada de Laplace Controle de Posição Retroação: e m = k φ ω = K b d θ 0 d t H 1 (s) = E m(s) θ 0 (s) = K b s Simplificação do diagrama: E f (s) θ 0 (s) E f (s) = K g R f 1 + T f s K T R gm B s [ (1 + T gm s)(1 + T n s) + ( K T K b R gm B K g K T R f R gm B s(1 + T f s) [ (T gm T n s 2 ) + (T n + T gm )s + ( 1 + K T K b R gm B )] )]