Objetivos de Controle

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1 Objetivos de Controle ENGC42: Sistemas de Controle I Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 13 de janeiro de 2016 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 30

2 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 30

3 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 30

4 Introdução Objetivos de Controle Objetivos da aula de hoje: Introduzir os objetivos de um problema de controle; Revisar os requisitos do comportamento transitório; Apresentar requisitos de regime permanente. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 30

5 Introdução Objetivos de Controle O principal objetivo de um sistema de controle é fazer com que o sinal de saída respeite um comportamento préestabelecido em regime transitório e/ou em regime permanente. Os objetivos de controle podem ser subdivididos em dois grandes grupos: Requisitos de regime transitórios; Requisitos de regime permanente. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 30

6 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 30

7 Requisitos de Regime Transitório Definições das Especificações da Resporta Transitória 1 tempo de subida t r ( rise time"): é o tempo necessário para a sinal de saída variar de 10% a 90% do valor final (ou para sistemas subamortecidos de 0% a 100%) 2 tempo de acomodação t a ( settling time" t s ): é o tempo gasto para o sinal acomodar na faixa de ±2% a ±5%) do valor final 3 sobre-sinal máximo percentual M p ( overshoot"): diferença entre o valor máximo de pico atingido e o valor final em percentual do valor final 4 tempo do primeiro pico t p : instante de tempo em que ocorre o sobre-sinal máximo do sinal 5 tempo de atraso t d ( delay time"): é o tempo para o sinal alcançar 50% do valor final Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 30

8 Requisitos de Regime Transitório Definições das Especificações da Resporta Transitória M p e ss y(t) t r td t s t Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 30

9 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Primeira Ordem sem Zeros Considere um sistema de primeira ordem como segue: com a > 0. G(s) = k s + a = k/τ τs + 1 A resposta ao degrau unitário é dada por: y(t) = k a (1 e at ) = k a (1 e t/τ ). Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 30

10 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Primeira Ordem sem Zeros y(t) inclinação = 1/τ 1 95,0% 98,2% 99,3% ,2% τ 2τ 3τ 4τ 5τ t Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 30

11 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Primeira Ordem sem Zeros Tempo de Subida: 10% a 90% t r = 2, 2τ; 5% a 95% t r = 2, 94τ. Tempo de Acomodação: critério de 5% t s = 3τ; critério de 2% t s = 4τ; critério de 1% t s = 5τ. Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 30

12 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros Considere um sistema de primeira ordem como segue: com 0 < ξ < 1. ω 2 n G(s) = s 2 + 2ξω n s + ωn 2 A resposta ao degrau unitário é dada por: ) y(t) = 1 e (cos(ω ξωnt ξ d t) + sen(ω dt) 1 ξ 2 com ω d = ω n 1 ξ2. Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 30

13 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros 2 y(t) ζ = 0,1 ζ = ζ = 0,2 ζ = 0,4 1.6 ζ = 0, ζ = 2 ζ = ω n t Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 30

14 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros Tempo de Subida (0% a 100%) : t r = π θ ω d com ω d = ω n 1 ξ2 e θ = tg 1 ( 1 ξ 2 ξ ). O tempo de subida pode ser aproximada por: 10% a 90% t r = 1, 8/ω n ; 0% a 100% t r = 2, 4/ω n. Tempo de pico (t p ): Máximo Sobressinal (M p ): t p = π ω d. M p = e ξπ/ 1 ξ 2 Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 30

15 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros Tempo de acomocação t s : critério de 5% t s = 3/(ξω n ); critério de 2% t s = 4/(ξω n ); critério de 1% t s = 5/(ξω n ). Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 30

16 Requisitos de Regime Transitório Sistemas de Segunda Ordem Sobreamortecidos (ou criticamente) Sem Zeros Considere um sistema de primeira ordem como segue: com ξ 1. Os pólos são dados por: ω 2 n G(s) = s 2 + 2ξω n s + ωn 2 s 1,2 = ξω n ± ω n ξ2 1; O sistema pode ser descrito por (ξ > 1): G(s) = ou (ξ = 1) 1 (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) = τ 1/(τ 1 τ 2 ) + τ 2/(τ 2 τ 1 ) τ 1 s + 1 τ 2 s + 1 G(s) = 1 (τs + 1) 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 30

17 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 30

18 Região Desejada Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Considere um sistema de primeira ordem como segue: ω 2 n G(s) = s 2 + 2ξω n s + ωn 2 com ξ 1. Os pólos são dados por: s 1,2 = ξω n ± ω n ξ2 1 = σ ± jω d com σ = ξω n e ω d = ω n 1 ξ2. Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 30

19 Região Desejada Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Para este par de pólos: s 1,2 = ξω n ± ω n ξ2 1 = σ ± jω d. pólo X jω Plano - S θ ω = ω d n 1 ζ2 α = ζω n σ Neste caso observa-se que cos(θ) = ξ. Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 30

20 Região Desejada Máximo Sobressinal (Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros) Deseja-se: M p = e ξπ/ 1 ξ 2 M p ξ l n (M p ) π 2 + [l n (M p )] 2 = ξ. Neste caso observa-se que θ = cos 1 (ξ) θ. Pole Zero Map z Imaginary Axis Real Axis Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 30

21 Região Desejada Tempo de Acomodação (Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros) Deseja-se: t s = 4 ξω n t s ξω n σ. 1 Pole Zero Map s Imaginary Axis Real Axis Prof. Tito Luís Maia Santos 21/ 30

22 Região Desejada Tempo de Subida (Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos sem Zeros) Deseja-se: t r = 2, 4 ω n t r ω n ω n. 1 Pole Zero Map 0.8 w Imaginary Axis Real Axis Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 30

23 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 23/ 30

24 Requisitos de Regime Permanente Classificação da constante de erro Constante de erro de posição: Constante de erro de velocidade: Constante de erro de aceleração: K p = lim s 0 C(s)G(s) K v = lim s 0 s 1 C(s)G(s) K a = lim s 0 s 2 C(s)G(s) Prof. Tito Luís Maia Santos 24/ 30

25 Requisitos de Regime Permanente Erro em estado estacionário com realimentação unitária Entrada/Sistema: degrau rampa parábola r(t) = 1 r(t) = t r(t) = t 2 /2 Tipo 0 Tipo K p 1 K v Tipo K a Prof. Tito Luís Maia Santos 25/ 30

26 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 30

27 Influência de Pólos e Zeros Adicionais Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Com Zero Os zeros de fase mínima tendem a acelerar a resposta do sistema em malha fechada. Considere um sistema de primeira ordem dado por: G (s) = cs + 1 τs + 1 = cs τs τs + 1. Considere um sistema de segunda ordem dado por: G (s) = s + z (s + p 1 )(s + p 2 ) = z p 1 p 2 p 1 1 s + p 1 + z p 2 p 1 p 2 1 s + p 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 30

28 Influência de Pólos e Zeros Adicionais Sistemas de Primeira e Segunda Ordem Com pólo Adicional Os pólos adicionais tendem a deixar a resposta mais lenta: º ordem p 3 = 10 p 3 = p 3 = 1 p 3 = 0,5 0.2 G Prof. Tito Luís Maia Santos 28/ 30

29 Sumário 1 Introdução 2 Requisitos de Regime Transitório 3 Região Desejada 4 Requisitos de Regime Permanente 5 Influência de Pólos e Zeros Adicionais 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 29/ 30

30 Comentários Finais Nesta aula apresentou-se uma revisão de requisitos de controle Na próxima aula iniciaremos a discussão sobre: Lugar Geométrico das Raízes. Prof. Tito Luís Maia Santos 30/ 30