ORDEM DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO. Larissa Driemeier Marcilio Alves Rafael T. Moura

Transcrição

1 ORDEM DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO Larissa Driemeier Marcilio Alves Rafael T. Moura

2 PIE 2 O Programa de Integração dos Estudantes de Engenharia (PIE 2 ) é uma ação da Pró-reitoria de Graduação - PRG em conjunto com a Fundação Universitária para o Vestibular FUVEST, que visa a criação de um ambiente de integração e de compartilhamento de experiências entre os estudantes dos cursos de Engenharia da Universidade de São Paulo. Estudantes matriculados em cursos de Engenharia da Universidade de São Paulo interessados em participar do Evento PIE 2 deverão formar equipes contendo 6 (seis) membros de distintos cursos de Engenharia. As equipes deverão se inscrever no Serviço de Graduação de suas Unidades de Ensino e Pesquisa até o dia 15/09/2017, apresentando uma proposta, em vídeo de até 3 (três) minutos, abordando um problema que a equipe identificará no contexto da fotografia e uma possível solução. A fotografia apresenta vários problemas presentes em grandes centros urbanos, em que a atuação de equipes multi(inter, trans)disciplinares são essenciais.

3 FOTO

4 PREMIAÇÃO As equipes vencedoras receberão prêmios e certificados. O prêmio principal será a concessão de uma bolsa para cada membro da equipe vencedora realizar estágio de curta duração em Laboratórios de Pesquisa no Exterior. O prazo máximo do estágio será de até 60 (sessenta) dias.

5 MODELO O engenheiro constrói um modelo, a partir de um problema que não possui solução exata, e acha uma solução aproximada ótima. Modelar é o processo de escrever uma equação ou sistema de equações que descreve o movimento de um mecanismo físico. O sucesso do modelo é determinado por quão bem a solução da equação prevê o comportamento observado no sistema real.

6 Engineering is the art of molding materials we don't wholly understand, into shapes we can't fully analyze, so as to withstand forces we can't really assess, in such a way that the community at large has no reason to suspect the extent of our ignorance. James E. Amrhein, 2009 Masonry Institute of America (Retired)

7 ORDEM DE UM SISTEMA DE MEDIÇÃO Sistemas de ordem 0, 1 e 2

8 ORDEM DE UM SISTEMA Sistemas podem ser convenientemente classificados pela ordem da equação diferencial que os modela a n d n y t dt n + a n 1 d n 1 y t dt n a 0 y t = u t y(t) saída u(t) função estímulo n ordem do sistema t tempo a i característica do sistema

9 Em um sistema ordem zero apenas o coeficiente a 0 é diferente de zero. a 0 y = F t Em um sistema de primeira ordem apenas os coeficientes a 0, a 1 são diferentes de zero. a 1 dy t dt + a 0 y = F t Em um sistema de segunda ordem apenas os coeficientes a 0, a 1, a 2 são diferentes de zero. a 2 d 2 y t dt 2 + a 1 dy t dt + a 0 y = F t

10 CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS Um sistema é dito dinâmico quando suas características mudam com o tempo. O processo de medição dinâmica é mais rigoroso, sobretudo no que diz respeito ao instrumento. Exemplo: A vibração de uma máquina pode ser detectada com uma barra engastada desde que a barra consiga vibrar à mesma frequência da máquina.

11 RESPOSTAS DOS SISTEMAS As respostas dos sistemas podem ser divididas em: Resposta natural ou homogênea Resposta forçada, de estado estacionário ou solução particular. As características dinâmicas são mostradas através da resposta dos sistemas a quatro tipos de perturbações diferentes: Função degrau; Função Impulso; Função rampa; Função senoidal. Técnica de análise de resposta: a que oferecer solução mais rápida dentre: Solução da equação diferencial; Transferência de Laplace; Pólos e zeros. impulso senoidal tempo (t) rampa degrau

12 SISTEMA DE ORDEM ZERO Sensibilidade estática

13 SISTEMAS DE ORDEM ZERO Sinal de saída acompanhará perfeitamente o sinal de entrada. a 0 y t = F t y t = 1 a 0 F t K = 1Τa 0 é chamado de sensibilidade estática (ou ganho permanente do sistema). Observa-se que não haverá nem atraso nem distorção na medição da grandeza F t pelo medidor de ordem zero, representando um instrumento ideal ou perfeito quanto ao desempenho dinâmico.

14 POTENCIÔMETRO

15 Resistência [k ] Distância [cm] MEDIDOR DE DESLOCAMENTO 1,0 1,0 0,8 0,8 0,6 0,4 0,6 0,4 v 0 L R 2 R 1 x v R1 0,2 0,2 0,0 0, t[s] v R1 = x L v 0

16 SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A constante de tempo.

17 SISTEMAS DE 1 A ORDEM cy ሶ + ky = u t τ é a constante de tempo Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação csy s + ky s = U s τ = c k e K = 1 k É uma medida da velocidade de reação do sistema à uma excitação G s = Y s U s = U s K τs + 1 Diagrama de blocos K τs + 1 Y s

18 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE 1 A ORDEM A UMA FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIA U(t) tempo (t) Combinando a função de transferência de um sistema de 1 a ordem e a Transformada de Laplace da função degrau com amplitude A, Y s = y(t): resposta do sistema, inversa de Y(s), K τs + 1 s Função de transferência de um sistema de 1ª ordem 1 y t = K 1 e t Τ τ U s = 1 s Transformada de Laplace da função degrau com amplitude 1 transiente

19 EXEMPLOS Usando MatLab, %% Funcao Degrau num=[5]; den=[2 1]; tf(num,den) step(num,den,10); grid on

20 ሶ Usando MatLab, %% Funcao Degrau num=[5]; den=[2 2]; tf(num,den) step(num,den,10); grid on A derivada na origem(teorema do Valor Inicial): Ks lim y t = lim t 0+ s 1 + τs = K τ zoom

21

22 Qual dos dois sistemas tem valor maior de? 1 Função degrau 2 y(t) = 1 e t Τ τ num=[1]; den=[2 1]; tf(num,den) step(num,den,20); grid on hold on num=[1]; den=[5 1]; tf(num,den) step(num,den,20);

23 RESPOSTA GRÁFICA y(t) y t ka = 1 τ y(t) = 1 e t Τ τ O tempo de subida (0 100%) é, naturalmente, infinito Quanto menor for a constante de tempo, mais rápida será a resposta do sistema Figura Ogata, Engenharia de controle moderno, 5ª ed.

24 1 τ = 0,5 1 τ

25 Y s = K τs + 1 Constante de tempo τ y τ = 0,632K Tempo de subida: é o tempo para que o sinal vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final Tempo de regime: é o tempo para que a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí permaneça Quando a saída atinge 99% do valor em estado estacionário t r = 2,2 t s = 4τ t = 4,6τ 5τ

26 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1 A ORDEM À UMA FUNÇÃO HARMÔNICA τy ሶ + y = KA sin ωt y t = KAωτ 1 + ωτ 2 e φ ω = tan 1 ωτ t τ + KA 1 + ωτ Resposta depende agora da frequência. 2 sin ωt + φ ω a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo φ.

27 RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA ESTACIONÁRIA Resposta Transitória: Tende a zero a medida que o tempo tende ao infinito. Também chamada de Solução Homogênea y t = y t t + y s t Resposta Estacionária: Comportamento da saída do sistema à medida que o tempo tende ao infinito Também chamada de Resposta Forçada ou Solução Particular Resposta do Sistema

28 PORTANTO, y t = KAωτ 1 + ωτ 2 e t τ + KA 1 + ωτ 2 sin ωt + φ ω Quando t, tem-se a solução estacionária, y t = KA 1 + ωτ 2 sin ωt + φ ω

29 RESPOSTA VS ESTÍMULO a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) e da entrada é a chamada razão de amplitude, M P ω M P ω = 1 1+ ωτ 2 Se M P ω < 1, dizse que o sinal está sendo atenuado. M P ω representa o efeito da dinâmica do processo, τ, sobre a resposta senoidal a resposta é também uma onda senoidal com frequência igual à onda senoidal do sinal de entrada

30 EXERCÍCIO 01 TERMÔMETRO 1. Um termômetro com constante de tempo τ = 1 min está, inicialmente, a 30 C. Ele é colocado em um forno a 100 em t = 0. Em t = 1,5 min troca-se o termômetro para um forno a 75 C. i. Qual a temperatura indicada no termômetro em t = 1,2 min? ii. Qual a máxima temperatura indicada no termômetro? iii. Qual a temperatura indicada no termômetro em t = 20 min?

31

32 TERMOPAR... Termopares são sensores de temperatura simples, robustos e de baixo custo.

33 CONT 2. Um termômetro de mercúrio com constante de tempo de 0,1min é colocado em uma temperatura T=100 o C até atingir o equilíbrio com o líquido. No instante t = 0, a temperatura do líquido começa a variar de forma senoidal, em torno de 100 o C, com amplitude de 2 o C. Se a frequência de oscilação é 10Τπ ciclos/min, plote a resposta do termômetro com o tempo. Qual o atraso da resposta?

34 Temperatura [ ] Tempo [min]

35 EXERCÍCIOS PARA TREINAR A temperatura de um forno sendo aquecido por uma resistência pulsante varia T = cos 25t + 30 onde t é medido em segundos. Se a temperatura é medida por um termopar de constante de tempo 5s, i. Qual a máxima e minima temperatura indicada no termopar? ii. Qual a diferença entre a temperatura real e a indicada? iii. Qual o atraso entre a temperatura real e a indicada?

36 CONT Um tanque com constante de tempo de 1 min e resistência de 1Τ9 mτ Τs opera em regime, com vazão de entrada de 10 m 3 Τs. No instante t = 0 o escoamento é aumentado 100 m 3 Τs por 0.1 min. i. Encontre a função de transferência para o sistema. ii. Plote a resposta do nível h do tanque em função do tempo e compare com a resposta a uma função impulso. m 3

37 SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Enquanto a variação de um parâmetro no sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta, as variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta.

38 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM... A maior parte dos projetos de sistemas se baseia na análise de sistemas de segunda ordem. Mesmo que o sistema seja de ordem superior, o que é comum, ele pode ser aproximado por um sistema de segunda ordem a fim de se obter uma primeira aproximação com precisão razoável.

39 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2 A ORDEM my ሷ + by ሶ + ky = u t y ሷ + b m y ሶ + k m y = 1 m u t k m = ω n 2 b m = 2ζω n = 2σ 1 k = K y ሷ + 2ζω n y ሶ + ω 2 n y = Kω 2 n u t

40 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA s 2 Y s + 2ζω n sy s + ω n 2 Y s = Kω n 2 U s s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Y s = Kω n 2 U s G s = Y s U s = Kω2 n s ζω n s + ω n Diagrama de blocos U s Kω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Y s

41 RESPOSTA NO TEMPO: SISTEMA DE 2ª ORDEM. CASO GERAL U s Y s G s G s = Kω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Equação característica: s 2 + 2ζω n s + ω n 2 = 0 = 4ζ 2 ω n 2 4ω n 2 = 4ω n 2 ζ 2 1 > 0 ζ 2 1 > 0 ζ 2 > 1 ζ > 1 = 0 ζ 2 1 = 0 ζ 2 = 1 ζ = 1 < 0 ζ 2 1 < 0 ζ 2 < 1 ζ < 1

42 PÓLOS: s 2 + 2ζω n s + ω 2 n = 0 s = ζω n ± ω n ζ < ζ < 1 Pólos complexos conjugados ζ = 1 Pólo real duplo Sistema subamortecido ζω n ± jω n 1 ζ 2 = σ ± jω d σ ζ ζ ω d = ω n 1 ζ 2 = ω d ζ 2 1 decaimento ω n Sistema criticamente amortecido ζω n ω n ζ 2 1 θ = acos ζ ζω n = ω n ω n ζω n ζ = 1 ζ = 0 jω n jω d ω d = ω n 1 ζ 2 ζω n + ω n ζ 2 1 Pólos reais distintos Sistema sobreamortecido ζ > 1 ζω n ± ω n ζ 2 1 jω d jωn ζ = 0

43 Respostas ao degrau unitário do protótipo de um sistema de segunda ordem, geradas como funções do tempo normalizado, ωnt para vários valores de ζ.

44 RESPOSTA AO DEGRAU y max Vamos calcular alguns parâmetros para a resposta y(t) ao degrau unitário de um sistema de 2a ordem. M p ξ = e 2πζ 1 ζ 2 y ss + 5% y ss y ss 5% t r t p t5 5%

45 Y s = Kω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Instante de pico t p = π ω d Sobressinal Tempo de acomodação t s,2% = 4 σ M p = e ζπ 1 ζ 2 t s,5% = 3 σ Tempo de subida t r = atan d Τ ζω n 1,8 ω d ω n Resposta em estado estacionário y ss = K

46 FREQUÊNCIAS IMPORTANTES... ω r = ω n 1 2ζ 2 freqüência de ressonância: máxima amplitude freqüência natural: amplitude infinita para sistemas sem amortecimento; defasagem φ = 90 0 ω n freqüência natural amortecida: aquela que o sistema vibra livremente ω d = ω n 1 ζ 2

47 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2 A ORDEM A UMA FUNÇÃO HARMÔNICA u t = A sin ωt Y s = Kω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Aω s 2 + ω 2 Transformada de Laplace de u(t)

48 Y s = Kω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Aω s 2 + ω 2 = A 1 s p 1 + A 2 s p 2 + A 3 s p 3 + A 4 s p 4 Os quatro polos de Y s são. p 1 = ζ + ζ 2 1 ω n p 2 = ζ ζ 2 1 ω n p 3 = iω p 4 = iω O comportamento da resposta y(t) dependerá da natureza dos pólos do sistema.

49 RESPOSTA SUBAMORTECIDA 0 < ζ < 1 Um par de raízes complexas conjugadas (p 1 e p 2 ) e o par de raízes puramente imaginárias (p 3 e p 4 ) resultarão na seguinte expressão y t = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt + e ζω nt A 3 cos ω d t + A 4 sin ω d t Note que para t, o termo contendo e ζω nt tende a zero, y ss t = A 1 cos ωt + A 2 sin ωt Esta solução estacionária y s t é válida para qualquer ζ > 0.

50 A amplitude de saída é diferente da amplitude A de entrada e depende do ganho K e da relação de frequências r. φ = tan 1 y s t = 2ζr 1 r 2 KA 1 r ζr 2 sin ωt + φ a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo de fase φ a resposta é também uma onda senoidal com freqüência ω igual à onda senoidal do sinal de entrada r = ω ω n Quando um sinal senoidal é aplicado na entrada de um sistema linear, será obtido na saída também um sinal com mesma forma e freqüência do sinal de entrada, porém haverá uma alteração na amplitude e na fase do sinal.

51 DIAGRAMA DE BODE Os diagramas de Bode são uma das formas de caracterizar sinais no domínio da frequência. O diagrama de Bode e representado em por duas curvas: Diagrama de módulo Magnitude em db M ω ȁ db = 20 log M ω vs log ω Diagrama de fase Ângulo de fase em graus φ vs ω Hendrik Wade Bode ( )

52 EXERCÍCIO Qual a frequência natural mínima aceitável para um acelerômetro se desejamos medir sinais de até 10 khz com não mais de 3% de erro na amplitude e 0,75 o na fase? Assume-se uma relação de amortecimento ζ = 0,05.

53 MODELAGEM DE UM ACELERÔMETRO Voltagem m x t x t m y t = Y sin ωt k b k x y b xሶ yሶ z t = x t y t y t : movimento da base x t : movimento da massa sísmica Qual a relação entre a compressão do sistema z t e a aceleração da base yሷ t?!?!

54 CONT... z t = Kmω 2 Y 1 r ζr 2 sin ωt φ r = ω mx ሷ = c m k x y c xሶ yሶ xሶ yሶ k x y z t = ω 2 Y sin ωt φ ω n 2 1 r ζr 2 ω 2 n z t = ω2 Y sin ωt φ 1 r ζr 2 K = ω n Τ 1 k z t = x t y t mz ሷ + cz ሶ + kz = my ሷ = mω 2 Y sin ωt Fornecer excitação à base equivale a aplicar uma força harmônica de magnitude mω 2 Y à massa sísmica. ω n 2 z t = M S ω compressão do sistema yሷ t aceleração

55 Frequency Response of Typical ICP Accelerometers Observe que a faixa de frequência utilizável é aproximadamente plana (±5% ou ±10% de sensibilidade na amplitude nominal) e fica nos primeiros 20% do valor da frequência natural.

56

57 ACABOU A TEORIA