Estabilidade no Domínio da Freqüência

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1 Estabilidade no Domínio da Freqüência Introdução; Mapeamento de Contornos no Plano s; Critério de Nyquist; Estabilidade Relativa; Critério de Desempenho no Domínio do Tempo Especificado no Domínio da Freqüência; Banda Passante de Sistema; Estabilidade de Sistemas com Atrasos; Controlador PID no Domínio da Freqüência; Estabilidade no Domínio da Freqüência usando MATLAB. 1

2 Exemplo: Sistema com dois pólos reais Um sistema de controle monomalha onde: ( τ s + 1)( τ s + 1) s ( s + 1)( + 1) 10 ω 0 0,1 0, GH(jω) ,6 70,7 50, 6,8,4 0,1 0 GH(jω) graus 0-5,7-41,5-50,7-74,7-19,3-150,5-173,7-180 O no. de pólos de GH(s) no semiplano da direita é zero (P0). Assim para que o sistema seja estável, é necessário que NZ0, e o contorno no plano GH(s) não deve envolver o ponto -1. Neste caso, o sistema é sempre estável para qualquer valor de.

3 Exemplo: Sistema com um pólo na origem Um sistema de controle monomalha onde: s( τ s + 1) a) Origem do Plano s: O pequeno desvio em torno do pólo na origem pode ser representado fazendo que sεe jφ e fazendo que φ varie de em ω0 - a em ω0 +. Assim GH ( jω) s jω lim ( ) lim lim GH s e ε 0 ε 0 jφ εe ε 0 ε b) Trecho de ω0 + a ω : é mapeado pela função GH(s) como o gráfico polar de freqüência real porque sjω. Quando ω tende a +, tem-se jω( jωτ + 1) τω 1 lim GH ( jω) lim lim ( π / ) tg ωτ ω ω ω jφ 3

4 s( τ s + 1) c) Trecho de ω+ a ω- : é mapeado no ponto na origem do plano GH(s). O mapeamento é representado por: lim lim r r r e jφ d) Trecho de ω- a ω0: é mapeado pela função GH(s) como: GH ( s ) GH ( j ω) s j ω Como P0, para que o sistema seja estável NZ0. Independente do valor do ganho e da constante de tempo τ, o contorno não envolve o ponto -1. O sistema é sempre estável. 4

5 Exemplo: Sistema de três pólos. Um sistema monomalha s( τ s + 1)( τ s + 1) 1 Para investigar a estabilidade é suficiente traçar o gráfico da parte do contorno Γ GH que representa o diagrama polar de freqüência real GH(jω) no intervalo 0 + < ω<+, Assim j(1/ ω)(1 ω τ1τ ) jω( τ jω + 1)( τ jω + 1) 1 + ω ( τ + τ ) + ω τ τ Quando ω tende a + lim GH ( jω) lim ( π / ) tg ωτ tg ωτ ω 1 ω 3 ω τ1τ lim (3 π / ) ω 3 ω τ1τ tg ωτ 1/ 1 tg ωτ1 ( π / ) 4 ω ( τ1 + τ ) + ω (1 ω τ1τ )

6 O no. de circunscrições quando o ponto -1 estiver no interior do contorno é igual a e o sistema é instável, apresentando duas raízes no semiplano s da direita. O ponto onde o lugar GH(s) intercepta o eixo real pode ser achado fazendo-se a parte imaginária de GH(jω)u+jv, Assim, (1/ ω)(1 ω τ1τ ) v ω ( τ + τ ) + ω τ τ 1 1 O valor da parte real, u, de GH(jω) nesta freqüência é u ( τ + τ ) ( τ + τ ) τ τ τ τ 1 + ω ( τ + τ ) + ω τ τ τ τ + ( τ + τ ) + τ τ ( τ + τ ) ω 1/ τ 1 1τ Portanto, o sistema será instável quando τ τ 1 ( 1 ) 1 ou τ + τ ( τ + τ ) τ τ 1 1 6

7 Considere-se o caso que τ 1 τ 1, de modo que Fazendo uso da inequação, ( τ1 + τ ) τ τ 1 s( s + 1) Há expectativa de estabilidade quando Diagrama de Nyquist para 3 valores de. 7

8 Exemplo: Sistema com pólos na origem. Um sistema monomalha s ( τ s + 1) O gráfico polar de freqüência real é obtido GH ( j ) tg j ( j + 1) ω π 1 ωτ ω ωτ ω τ ω Nota-se que o ângulo de GH(jω) é sempre ou maior, e o lugar de GH(jω) fica acima do eixo dos u para todos os valores de ω. À medida que ω tende a 0 +, tem-se lim GH ( jω) lim π ω 0 ω 0 ω À medida que ω tende a +, tem-se lim GH ( jω) lim 3 π / ω ω + ω 3 No pequeno desvio semicircular em torno da origem, tem-se lim GH ( jω) lim e ε 0 ε 0 ε Em que -π/<φ<π/. Como o gráfico envolve o ponto -1 duas vezes, há duas raízes no semiplano s da direita, e o sistema é instável, independente do valor de. jφ 8

9 Exemplo: Sistema com um pólo no semiplano da direita. Considerar o sistema de controle e determinar sua estabilidade. Considerando primeiramente o sistema sem retroação derivativa, de modo que 0. Assim P1. Para que o sistema seja estável, é necessário que N-P-1, uma circunscrição do ponto -1 no sentido anti-horário. Quando sjω, tem-se GH ( jω) jω( jω 1) 4 ω + ω ( π / ) tg ( ω) 1 ( π / ) + tg ω 4 ω + ω Para o circulo de raio r, tem-se jφ lim lim e r jφ r s re r Z N + P No desvio semicircular em torno da origem, tem-se É INSTAVEL, pois 1 s( s 1) lim GH ( jω) lim lim 180 ε 0 ε 0 j εe φ ε 0 ε 1 9 φ

10 Agora, considerar que o sistema inclui uma realimentação derivativa ( >0). A FT a malha aberta é 1(1 + ) s( s 1) Quando se jφ com r tendendo ao infinito, tem-se 1 jφ lim lim e r jφ s re r r O lugar GH(jω) corta o eixo u e é determinado considerando-se a FT de freqüência real 3 1(1 + jω) 1( ω + ω ) + j( ω ω ) 1 GH ( jω) 4 ω jω ω + ω O lugar GH(jω) corta o eixo dos u e um ponto onde o valor da parte imaginaria de GH(jω) é igual a zero. Assim, ω ω 3 0 Neste ponto, o valor da parte real de GH(jω) na interseção é u ω 1/ ω 1(1 + ) 4 ω + ω ω 1/ 1 10

11 Portanto, quando 1 <-1 ou 1 >1, o contorno Γ GH envolve o ponto -1 uma vez no sentido anti-horário, assim N-1. O numero de zeros Z no semiplano s da direita é O sistema é estável quando 1 >1. Z N + P Exemplo: Sistema com um zero no semiplano s da direita Seja o sistema ( s ) ( s + 1) Observa-se que o sistema é estável na configuração a malha aberta. ( jω ) ( jω ) GH ( jω) ( jω + 1) (1 ω ) + jω À medida que ω tende a + no eixo +jω, tem-se lim GH ( jω) lim π / ω ω + ω O sistema é estável para 0<<1/ (intercepta o ponto (-1+j0). Quando >1/, N1, sendo P0. O sistema é instável Z N + P 1 11

12 Estabilidade Relativa e Critério de Nyquist Definiu-se a estabilidade relativa de um sistema como a propriedade medida pelo tempo de assentamento de cada raiz ou par de raízes. Portanto, um sistema com menor tempo de assentamento é considerado relativamente mais estável. O critério de estabilidade de Nyquist é definido em termos do ponto (-1,0) no diagrama polar, ou do ponto 0 db, nos diagrama de bode ou nos diagramas de magnitude logarítmica-ângulo de fase. Obviamente, a proximidade do lugar GH(jω) em relação a este ponto é uma medida da estabilidade relativa. O gráfico polar de GH(jω) para vários valores de GH ( jω) jω( jωτ + 1)( jωτ + 1) 1 A medida que aumenta se aproxima de -1, e envolve para 3. Intercepta o eixo u em u τ1τ ( τ + τ ) 1 O sistema possui raízes no eixo jω quando 1 u 1 ou τ + τ τ τ 1 1

13 Esta medida de estabilidade é chamada de MARGEM DE GANHO e é definida pelo inverso do ganho GH(jω) na freqüência para a qual o ângulo de fase atinge o valor de (isto é v0). Indica o fator pelo qual o ganho do sistema pode ser aumentado, para atingir o limiar de estabilidade. Quando o deslocamento de fase é , tem-se a margem de ganho igual a 1 1 τ1τ 1 GH ( jω) ( τ1 + τ ) d A margem de ganho em termos de uma medida logarítmica (decibel) é 1 0log 0log d db d Por exemplo, quando τ1τ1, o sistema é estável para >. Assim, para 0,5, a margem de ganho será 1 1 τ1τ 4 d ( τ1 + τ ) Em medida logarítmica 0log 4 1 db 13

14 A margem de ganho é o acréscimo no ganho do sistema, quando a fase for igual a -180, e que resultará em um sistema marginalmente estável, com a interseção no ponto -1+j0 pelo diagrama de Nyquist. Uma medida alternativa da estabilidade relativa pode ser definida em termos do ângulo de margem de fase entre um sistema especifico e um marginalmente estável. Quando o lugar GH(jω) intercepta (-1,0) há diversas raízes da EC sobre o eixo jω. A MARGEM DE FASE é definida como o ângulo de fase segundo o qual o lugar GH(jω) deve ser girado de modo que a magnitude unitária GH(jω) 1 passe pelo ponto (-1,0) no plano GH(jω). Esta medida de estabilidade relativa é igual ao atraso de fase adicional requerido para que o sistema se torne instável. A margem de fase é quanto de defasagem de GH(jω) com magnitude unitária que resultará em um sistema marginalmente estável com interseção do ponto -1+j0 pelo diagrama de Nyquist. 14

15 A margem de ganho e fase são calculadas no Diagrama de Bode Para o sistema GH ( jω) jω( jω + 1)(0, jω + 1) Margem de Ganho 15 db Margem de Fase

16 A resposta de freqüência de um sistema pode ser retratada por um diagrama cujos eixos são magnitude logarítmica e o ângulo de fase (Diagrama de Nichols). Exemplos comparativos: ( ) GH1 jω jω( jω + 1)(0, jω + 1) MG 1 15 db, e MF GH ( jω) jω( jω + 1) MG 5,7 db, e MF 0 0 Quanto o sistema GH (jω) é menos estável que GH (jω)? 16