Comparação de filtros IIR e FIR

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1 Comparação de filtros IIR e FIR Rodrigo Farias/Humberto José de Sousa rfarias@sj.ifsc.edu.br/humbertos@ifsc.edu.br Resumo: Este documento apresenta um comparativo de alguns filtros IIR e FIR. Este comparativo foi feito utilizando a ferramenta Fdatool do Matlab. Será analisado a seguir: a função transferência, o diagrama de pólos e zeros, a resposta de fase e magnitude, a resposta impulso e o atraso de grupo. Palavras-chave: FIR, IIR, Filtros. 1. Introdução Um filtro é um dispositivo que permite a passagem de determinada faixa de frequência e rejeita outra faixa de frequência. Os Filtros podem ser analógicos ou digitas. Filtro analógico é o circuito composto por resistores, indutores e capacitores. Filtros analógicos são complexos e estão em desuso principalmente pela variação dos valores nominais dos componentes. Filtro digital é um filtro que processa sinais digitais. Estes filtros podem ser de resposta ao impulso infinito (IIR) ou de resposta ao impulso finito (FIR). Este artigo descreve a construção e a resposta de filtros analógicos e digitais, utilizando como exemplo filtros passa alta e rejeita faixa, que são descritos na seção 2. Na seção 3 são presentados resultados obtidos para os filtros analógicos. Na seção 4 são presentados resultados obtidos para os filtros digitais IIR. Na seção 5 são apresentados resultados obtidos para os filtros FIR digitais. Finalmente, na seção 6, as conclusões. 2. Especificação do filtro O filtro projetado é do tipo passa baixa e possui freqüência de corte (Fp) de 10KHz e freqüência de rejeição(fs) de 50KHz. O ganho na banda de passagem é de -3 db e atenuação mínima na freqüência da banda de rejeição é de 60 db. Para esta mesma especificação, visando a comparação de desempenho, foram projetados filtros do tipo IIR e FIR. 3. Filtros IIR O filtro IIR é um tipo de filtro que depende tanto de entradas atuais e de entradas atrasadas como de valores anteriores de saída. Este tipo de filtro digital pode ser instável se ao menos um de seus pólos estiver fora do circulo unitário. Os filtros IIR projetados foram do tipo Butterworth e Elíptico. 3.1 Filtro Butterworth O filtro Butterworth é um tipo de filtro desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o mais plana possível na banda passante. O filtro Butterworth projetado apresentou ordem mínima igual a quatro, sendo a sua função de transferência apresentada em (1). 1 de 12

2 Na Figura 1 é possível visualizar os pólos e os zeros deste filtro, também sendo possível confirmar através dela a ordem do mesmo. Figura 1 Diagrama de pólos e zeros do filtro protótipo do tipo Butterworth de ordem 4. Na Figura 2 é apresentada a resposta em magnitude e em fase do filtro. Também é possível ver na mesma que o comportamento típico da fase de um filtro IIR é não linear. Esta não linearidade faz com que o atraso de grupo neste tipo de filtro também seja não linear, como é visto na Figura 3. Figura 2 Resposta em Magnitude e fase do filtro protótipo do tipo Butterworth de ordem 4. 2 de 12

3 Figura 3 Atraso de grupo do filtro protótipo do tipo Butterworth de ordem 4. Na Figura 4 está a resposta ao impulso deste filtro, sendo possível ver que o filtro para de responder em mais ou menos 300μs. Figura 4 Resposta ao impulso do filtro protótipo do tipo Butterworth de ordem Filtro Elíptico Um filtro elíptico é um filtro que apresenta ondulações (ripple) na banda passante e na banda de rejeição. O filtro elíptico projetado apresentou ordem mínima igual a três e sua função de transferência é apresentada em (2). 3 de 12

4 Na Figura 5 é possível ver o diagrama de pólos e zeros deste filtro, também sendo possível constatar a ordem do mesmo através dela. Na Figura 6 é apresentada a resposta em magnitude e em fase do filtro. Nesta figura é possível notar o comportamento de um filtro elíptico, apresentando ondulações tanto na banda passante como na banda de rejeição. Figura 5 Diagrama de pólos e zeros do filtro protótipo do tipo Elíptico de ordem 3. Figura 6 Resposta em magnitude e fase do filtro protótipo do tipo Elíptico de ordem 3. 4 de 12

5 Na Figura 7 é apresentada a resposta ao impulso do filtro elíptico projetado, sendo possível ver que o mesmo para de responder em aproximadamente 0,8ms. Na Figura 8 é apresentado o atraso de grupo deste filtro. Figura 7 Resposta ao impulso do filtro protótipo do tipo Elíptico de ordem 3. Figura 8 Atraso de grupo do filtro protótipo do tipo Elíptico de ordem 3. 5 de 12

6 4. Filtros FIR Um filtro FIR é um tipo de filtro digital caracterizado por uma resposta ao impulso limitada. Este filtro não utiliza realimentação e por este motivo não possui pólos, sendo sempre estável. Os filtros FIR que foram projetados utilizaram janela Blackman, Kaiser e Chebyshev. 4.1 Filtro Janela - Blackman O primeiro filtro FIR projetado utilizou a janela Blackman e apresentou ordem igual a 13. A função de transferência deste filtro é apresentada em (3). (3) Na Figura 9 é mostrado o diagrama de pólos e zeros do filtro projetado. Como é possível ver na figura, os pólos estão todos no centro do gráfico porque em filtros FIR não há realimentação de saídas, são utilizadas somente as entradas. Desta forma, em filtros FIR existem somente zeros, os pólos são zerados. Figura 9 Diagrama de pólos e zeros do filtro protótipo do tipo Janela - Blackman de ordem 13. Na Figura 10 pode-se ver a resposta em fase e a magnitude do filtro FIR com janela Blackman, sendo possível visualizar através da mesma que em filtros FIR a fase é sempre linear na banda de passagem. Em decorrência da fase linear, filtros FIR apresentam atraso de grupo constante, como mostrado na Figura de 12

7 Figura 10 Resposta em magnitude e fase do filtro protótipo do tipo Janela - Blackman de ordem 13. Figura 11 Atraso de grupo do filtro protótipo do tipo Janela - Blackman de ordem 13. Na Figura 12 é mostrada a resposta ao impulso do filtro. Nesta figura é possível notar que o filtro projetado apresenta simetria ímpar e que a ordem do filtro é um número ímpar, pois não há uma amostra em seu centro de simetria. 7 de 12

8 Figura 12 Resposta ao impulso do filtro protótipo do tipo Janela - Blackman de ordem Filtro Janela Kaiser O segundo filtro FIR projetado utilizou a janela Kaiser e apresentou ordem igual a 12. A função de transferência deste filtro é apresentada em (4). Na Figura 13 é apresentado o diagrama de pólos e zeros do filtro e na Figura 14 e mostrada a resposta em magnitude e fase do mesmo. (4) Figura 13 Diagrama de pólos e zeros do filtro protótipo do tipo Janela - Kaiser de ordem de 12

9 Na Figura 15 é mostrada a resposta ao impulso do filtro. Nesta figura é possível notar que o filtro projetado apresenta simetria par e que a ordem do filtro é um número par, pois há uma amostra em seu centro de simetria. Na Figura 16 é possível ver o atraso de grupo do filtro projetado. Figura 14 Resposta em magnitude e fase do filtro protótipo do tipo Janela Kaiser de ordem 12. Figura 15 Resposta ao impulso do filtro protótipo do tipo Janela - Kaiser de ordem de 12

10 Figura 16 Atraso de grupo do filtro protótipo do tipo Janela - Kaiser de ordem Filtro Janela - Chebyshev O terceiro filtro FIR projetado utilizou a janela Chebyshev e apresentou ordem igual a 9. A função de transferência deste filtro é apresentada em (5). Na Figura 17 é apresentado o diagrama de pólos e zeros do filtro FIR utilizando janela Chebyshev na Figura 18 é possível ver como é a resposta em magnitude e fase do mesmo. (5) Figura 17 Diagrama de pólos e zeros do filtro protótipo do tipo Janela - Chebyshev de ordem de 12

11 Na Figura 12 é mostrada a resposta ao impulso do filtro. Nesta figura é possível notar que o filtro projetado apresenta simetria ímpar e que a ordem do mesmo é um número ímpar, pois não há uma amostra em seu centro de simetria. Na Figura 20 é apresentado o atraso de grupo deste filtro. Figura 18 Resposta em magnitude e fase do filtro protótipo do tipo Janela Chebyshev de ordem 9. Figura 19 Resposta ao impulso do filtro protótipo do tipo Janela - Chebyshev de ordem de 12

12 4. Conclusão Figura 20 Atraso de grupo do filtro protótipo do tipo Janela - Chebyshev de ordem 9. Como mostra a figura 21, todos os protótipos apresentados atenderam as especificações do projeto. Porém há vários aspectos a serem analisados que podem influenciar na escolha de um filtro dependendo da aplicação desejada. Em relação à estabilidade, todos eles são estáveis, mas filtro do tipo IIR podem se tornarem instáveis quando os seus pólos estão em cima do círculo unitário e algum arredondamento pode deslocar este valor para fora do círculo. Em relação ao atraso de grupo, os filtros IIR não possuem atraso constante. Os filtros FIR possuem atraso constante. Tal característica é garantida pela fase linear dos filtros FIR entre a banda de passagem e a banda de rejeição. De forma geral os filtros IIR são mais fáceis de serem projetados e possuem ordem mais baixa. Os filtros FIR são mais complexos no projeto e possuem ordem maior, mas uma grande vantagem é o atraso de grupo constante. Figura 21 Resposta em magnitude dos filtros protótipos apresentados neste artigo. 12 de 12