Projecto de Filtros Digitais IIR

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1 Sistemas de Processamento Digital Engenharia de Sistemas e Informática Ficha / º Ano/ 2.º Semestre Projecto de Filtros Digitais IIR Projecto de Filtros IIR O projecto de filtros IIR digitais passa pela utilização de protótipos de filtros analógicos já sobejamente estudados. Na obtenção do filtro digital IIR desejado, duas abordagens podem ser seguidas: Abordagem 1: Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. Aplicar uma transformação na frequência em s Aplicar uma transformação de s para z. Abordagem 2: Projectar o filtro passa-baixo segundo um protótipo. Aplicar uma transformação de s para z. Aplicar uma transformação na frequência em z para se obter outro filtro a partir da tranformação em z determinada anterirormente. ESCALA LINEAR RELATIVA Especificação de Ω p,, Ω s e A: Relação com R p e A s na escala em db: Relação com δ 1 e δ 2 da escala absoluta: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 1/28

2 PROTOTIPOS BUTTER-WORTH Passa Baixo Este filtro é caracterizado por ter uma resposta plana quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é: 2 1 Ha ( jω ) = 2N Ω 1+ ( Ω ) c N é a ordem do filtro e Ω c a frequência de corte. 2 Para obter H a (s), determinam-se os pólos p k de H ( ) a jω, considerando só os pólos que se encontram no semi-plano esquerdo de s: N Ωc j 2 Ha ( jω ) = com N (2k N p 1) k = Ω ce π + +, k = 0,1,...,2N 1 s p Polos SPE ( ) k Para o caso do filtro Butterworth, especificam-se os parâmetros Ω p, R p, Ω s e A s e determina-se a ordem N do filtro e a frequência Ω c de corte da seguinte forma: R log p As 10 ( 10 1) ( 10 1) N = arredondado ao menor inteiro acima 2log Ω Ω 10 ( p S) Como N arredondado será maior que o necessário, as especificações podem exceder Ω p ou Ω s pelo que, para satisfazer exactamente as especificações de Ω p ou de Ω s, Ω c deverá ser: Ω p Ωs para Ω p : Ω c =, para Ω s : Ω c = Rp N N As 10 1 ( ) EXERCÍCIO Dado Ha ( jω ) =, determinar a função H 6 a (s) do filtro Ω ( ) Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 2/28

3 Matlab Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 3/28

4 EXERCÍCIO 2 Projectar no Matlab um filtro de 3ª ordem do tipo Butterworth com Ω c = 0.5. Solução: EXERCÍCIO 3 Projectar um filtro passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Ripple: A s = 16 db; Solução: MATLAB Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 4/28

5 EXERCICIO 4 Projectar o filtro do exercício 3 usando o Matlab Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 5/28

6 CHEBYCHEV Passa Baixo Existem dois tipos de filtros Chebychev. Os filtros Chebychev Tipo I têm uma resposta plana na banda de corte ao passo que os Chebychev II têm resposta plana na banda de passagem. Chebychev I: em que Chebychev II: Este filtro está relacionado com o Tipo I através de uma simples transformação em que: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 6/28

7 Uma aproximação ao projecto de um filtro Chebyshev II passa por projectar primeiro o correspondente filtro Chebyshev I e depois aplicar a transformação para Chebyshev II. Filtro Chebyshev I Filtro Chebyshev II Para obter H a (s), determinam-se os pólos p k de K=0,, N-1 representar os pólos de 2 H ( ) a jω. Pode ser demonstrado que se p k =σ k + jω k, 2 H ( ) a jω localizados no semi-plano esquerdo de s, então: em que A função transferência obter H a (s), é dada pela equação: () K Ha s = s p k ( ) em que se determinando K de modo a que k Para a especificação do projecto de um filtro Chebychev-I, utilizam-se os parâmetros Ω p, R p, Ω s e A s para determinar, Ω c e N: a ordem N é dada por:,, e EXERCICIO 5 Projectar um filtro Chebyshev-I passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 7/28

8 Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Ripple: A s = 16 db; Solução MATLAB EXERCÍCIO 6 Projectar o filtro Chebyshev-I passa-baixo do exercício 5 usando o Matlab. Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 8/28

9 Solução: MATLAB Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 9/28

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11 EXERCICIO 7 Projectar um filtro Chebyshev-II passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Ripple: A s = 16 db; Solução Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 11/28

12 FILTRO ELÍPTICO Os filtros Elípticos têm a particularidade de apresentar ripple quer na banda de passagem, quer na banda de corte. A sua resposta em frequência é: onde N é a ordem do filtro, é o ripple na banda de passagem e U N (.) é a função jacobiana de ordem N. A ordem N do filtro calcula-se da seguinte forma: onde e MATLAB Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 12/28

14 EXERCICIO 8 Projectar um filtro Elíptico passa-baixo que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: Ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: Ω s = 0.3π Ripple: A s = 16 db; Solução Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 14/28

15 Transformação Impulso Invariante TRANSFORMAÇÃO ANALÓGICO-DIGITAL Dadas as especificações de um filtro digital ω p, ω s, R p, e A s, pretende-se determinar H(z) projectando primeiro um filtro analógico equivalente e depois fazer o seu mapeamento para o filtro digital pretendido. Procedimento de Projecto para uma Transformação Impulso Invariante: ω p ωs 1. Escolher T e determinar as frequências analógicas: Ω p = e Ω s = T T 2. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo H a (s) através da utilização das especificações Ω p, Ω s, R p, e A s. Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 15/28

16 3. Utilizando a expansão em fracções parciais, expandir H a (s): pt k 4. Transformar os pólos p k analógicos em pólos digitais e para se obter o filtro digital: EXERCÍCIO 9 s + 1 Transforme Ha () s = num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Impulso 2 s + 5s+ 6 Invariante, considerando T = 0.1. Solução EXERCÍCIO 10 Implemente em MatLab a função imp_invr que implemente a Transformação Impulso Invariante. Solução Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 16/28

17 EXERCICIO 11 Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 16 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 17/28

19 EXERCICIO 12 Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 19/28

20 EXERCICIO 13 Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 20/28

21 EXERCICIO 14 Projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 21/28

22 Transformação Bilinear Este é o melhor método para a transformação de s para z porque não existe aliasing. A Transformação Bilinear baseia-se na seguinte relação: Resolvendo esta relação em ordem à frequência digital ω e à frequência analógica Ω, obtêm-se as seguintes relações: e Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 22/28

23 que denota a não linearidade destas duas relações. Para calcular Ω é necessário fazer um préwarping de ω. Dadas as especificações de um filtro digital ω p, ω s, R p, e A s, pretende-se determinar H(z) seguno os seguintes procedimentos de projecto para uma Transformação Bilinear: 1. Escolher o valor para T. Como pode ser arbitrário, pode-se definir T=1. 2. Pré-warping das frequências ω p e ω s, determinando Ω p e Ω s através das funções: 3. Desenhar um filtro analógico (Butterworth, Chebyshev ou Elíptico) obtendo H a (s) através da utilização das especificações Ω p, Ω s, R p, e A s. 4. Obter H(z) fazendo a seguinte substituição: EXERCICIO 15 s + 1 Transforme Ha () s = 2 s + 5s+ 6 considerando T = 1. Solução: num filtro digital H(z) utilizando a Transformação Bilinear, MATLAB EXERCICIO 16 Repita o exercício 15 utilizando o MatLab e a função bilinear. Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 23/28

24 EXERCICIO 17 Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Butterworth de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 24/28

25 EXERCICIO 18 Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-I de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 25/28

26 EXERCICIO 19 Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Chebychev-II de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 26/28

27 Exercício 20 Utilizando a Transformação Bilinear, projectar um filtro digital passa-baixo utilizando um protótipo Elíptico de modo a que satisfaça as seguintes condições: Limite da banda de passagem: ω p = 0.2π Ripple: R p = 1 db; Limite da banda de corte: ω s = 0.3π Ripple: A s = 15 db; Solução: Sistemas de Processamento Digital Manuel Baptista & Ernesto Afonso 27/28