Sistemas e Sinais (LEIC) Análise em Frequência. Carlos Cardeira

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1 Sistemas e Sinais (LEIC) Análise em Frequência Carlos Cardeira

2 Análise em Frequência Até agora a análise que temos feito tem o tempo como domínio. As saídas podiam ser funções no tempo correspondentes a sinais discretos ou contínuos ou mesmo sequências de eventos. Na análise em frequência, vamos ver os sinais não como funções do tempo mas sim como combinações de sinusoides A ferramenta de trabalho vai incidir sobre as séries de Fourrier

3 Análise em Frequência As séries de Fourier permitem definior qualquer função periódica como combinações de sinusoides. A representação de sinais periódicos através de sinusoides está também na base de muitos trabalhos de compressão de sinais. Em sistemas lineares, se um sinal de entrada é uma sinusoide de determinada frequência, a saída é uma sinusoide da mesma frequência (a amplitude e a fase é que poderão variar).

4 Análise em Frequência Um LTI pode ser caracterizado no tempo através da resposta impulsiva e também na frequência através da resposta em frequência. Veremos que a resposta em frequência é a transformada de Fourrier da resposta impulsiva. As respostas no tempo e na frequência estão relacionadas.

5 Exponenciais complexas A melhor forma de estudar sinusoides é através das exponenciais complexas. O apendice B apresenta um resumo dos sinais complexos, que deve ser lido para relembrar conceitos.

6 Sinusoides Como vimos nos capítulos introdutórios vimos como as sinusoides representam sons. Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota músical definida. O argumento de um sinal é um ângulo. Um ângulo mede-se em radianos. 2pi tem unidades radianos, t é em segundos e a frequência mede-se em ciclos por segundo (Hz). Ciclos é adimensional pelo que o resultado é em radianos.

7 Sinusoides sin (wt) é uma representação mais simples. W=2 x pi x f, e mede-se em radianos por segundo. Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x f x n). n mede-se em amostras (multiplicado por delta daria o tempo). f mede-se em ciclos por amostra e w em radianos por amostra. O resultado final tem que dar sempre em radianos de modo a poder ser um argumento do som. Em Matllab é fácil ver as formas sinousoides dos sons e ouvi-las. Para quem sabe de música, é fácil fazer uma escala musical.

8 Sinusoides A soma de duas sinusoides não se parece com uma sinusoide. No entanto, a partir da soma das sinusoides é possível recuperar cada uma das suas componentes.

9 Sinusoides e sons Os ouvidos conseguem distinguir sons de frequências diferentes. Os ouvidos não são sensíveis a diferenças de fase no sinal. sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da mesma forma. Um atraso num sinal sinusoidal pode ser representado por um desvio de fase. Nem todos os sinais têm esta característica.

10 Sinusoides e sons Se tivermos um som composto por várias sinusoides e formos mudando a fase de um deles, a forma do sinal pode variar bastante mas o sinal ouvido é o mesmo. Em imagens, qualquer diferença de fase é imediatamente reconhecida

11 Sinusoides e Imagens No lab já vimos imagens que poderiam ser representadas por sinusoides. Existe agora uma frequência vertcial e uma frequencia horizontal que se mede em ciclos por amostra. As diferenças de fase são imediatamente reconhecidas. Jpeg é uma representação da imagem em que se apresentam apenas os coeficientes destas sinusoides.

12 Espectro Rádio Onda média vai de 535 a 1705 Hz com 10 Khz de largura de banda FM vai de 88 a 108 Mhz com 0,2 Mhz de largura de banda TV analógica tem 6 Mhz de largura de banda Com a TV digital terrestre, nos mesmos 6 Mhz seria possível transmitir muito mais canais.

13 Espectro Rádio A potência de emissão é limitada. Como a potência do sinal decai com o quadrado da distância, a mesma frequência pode ser reutilizada noutro local. Em ferquencias elevadas a queda de sinal com a distância é ainda mais notória. As antenas de telemóveis usam frequências elevadas e são em grande número (tipicamente, uma em cada 2 m). Como o alcance é reduzido, podem repetir a mesma frequência alguns ilómetros depois. Quando se muda de estação há um protocolo complexo (uma máquina de estados) para que as frequências mudem sem que o utilizador se aperceba.

14 Sinais Periódicos Sistemas contínuos: Um sinal é periodico de periodo p se: t R, f ( t p) f ( t)

15 Sinais Periódicos e Sinusoides Sistemas discretos: Um sinal é periodico de periodo p se: n Inteiros, f ( n p) f ( n)

16 Sinais Periódicos Em sistemas contínuos o periodo pode ter qualquer valor real (0.47 por exemplo). Em sistemas discretos o periodo apenas assumir valores inteiros uma vez que p+n tem que continuar a pertencer ao domínio de f.

17 Frequência fundamental Se um sinal tiver período p chama-se frequencia fundamental ao valor 2pi/p A frequência fundamental medese em radianos/s uma vez que o período se mede em segundos w 0 2 p

18 Frequência fundamental Sinais com a mesma frequência fundamental

19 Teorema fundamental Qualquer sinal periódico pode ser decomposto numa soma de sinusoides múltiplas da frequência fundamental.

20 Frequência fundamental e harmónicas A primeira sinusóide é a da frequência fundamental. Às sinusoides multiplas desta, chamamse harmónicas. As harmónicas tem frequências multiplas da frequencia fundamental e têm amplitudes e fases diferentes. A 0 é a componente DC do sinal (o valor médio do sinal)

21 Harmónicas As ondas triangulares como as quadradas apresentadas anteriormente (ou qualquer outro sinal periódico com a mesma frequência fundamental) podem ser representados pela soma de sinusoides, com as mesmas frequências embora as amplitudes e fases de cada harmónica sejam naturalmente diferentes.

22 Exemplos

23 Exemplos

24 Sistemas Lineares Os sistemas lineares não alteram a frequência do sinal, podem apenas mudar a amplitude e a fase. Por exemplo, uma estação de emissão de rádio não é linear porque o sinal de voz não tem a mesma frequência do sinal de emissão.

25 Sinais Finitos f(t) t R f ( t) g t np n p g(t) p p p

26 Sinais finitos Seja f(t) um sinal finito (domínio finito) qualquer Seja g(t) a sua replicação infinita t R f ( t) g t np n g(t) é periódico e pode ser representado por uma série de Fourier. O que quer dizer que a série de Fourier também representará o sinal f no seu domínio

27 Significado de A 0 Consideremos o desenvolvimento em série de fourier de um sinal: f ( t) A A cos( w t ) Integrando ao longo de um período: a p a A A cos( w t ) Ou seja, A 0 é o valor médio do sinal dt A 0 p

28 Exponenciais Complexas cos 1 e j 1 e j 2 2 sin 1 e j e j 2 j Apêndice B

29 Série de Fourier na forma exponencial 0 if if if 2 ) ( 0 1 ) ( ) ( e A A e A X e X e e A A t f j j t jw t w j t w j

30 Sinais reais Suponhamos que o sinal é real X e X - são necessariamente complexos conjugados X 0.5A e 0.5A A 0 e j j X if 0 if if 0 0 X

31 Tempo Discreto Se f : inteiros reais for um sinal periódico (p>0 inteiros) e w0=2pi/p (rad/amostra): f ( n) A p 2 A cos( w n ) 0 0 1

32 Tempo Discreto As unidades passam a radianos por amostra. A soma é finita. O número de harmónicas é metade do período.

33 Porquê p/2?

34 Frequência máxima Num sinal discreto a frequência máxima que se pode obter é pi rad/s (são necessárias 2 amostras para dar a volta completa)

35 Sinais Discretos A vantagem é que com uma série finita se consegue a representação exacta de qualquer sinal. A frequência máxima que se pode obter corresponde a metade da frequência de amostragem. Em CDs a frequencia de amostragem é de 44 Khz o que permite ouvir frequências até 22 Khz. No telefone a frequência é de 8Khz o que indica que nunca se poderá ouvir um som de frequência superior a 4 Khz.

36 Exemplos t O sinal é periódico O período é 1/10 s Wo=2xpi/p=20pi x( t) cos(2 50t) cos(2 10t) f ( t) A A0= 0 A1=1 phi1=0 A2=0 phi2=0 A5=1 0 A cos( w0t ) 1

37 Exemplos t R x( t) cos(2 t) cos(2 3t) O sinal não é periódico porque não há um mínimo múltiplo comum para os períodos

38 Exemplos

39 Exemplos

40 Representação em série de Fourier Qualquer sinal periódico pode ser representado pela série de Fourier (uma fundamental e as suas harmónicas). Pode-se fazer compressão da informação se em vez de se enviar o sinal no tempo, se enviarem apenas os coeficientes da série de Fourier.

41 Sinais Aperiódicos Um sinal de voz é tipicamente aperiódico. Pode-se pegar em troços do sinal (por exemplo 16 ms) e calcular a série de Fourier associada. Em cada 16ms basta enviar os coeficientes da Série de Fourier com ganhos de compressão. O mesmo princípio aplicado a imagens está na origem do formato jpeg

42 Lab Mostra-se a decomposição em série de Fourier de vários sinais. O cálculo dos coeficientes é dado no enunciado. Mostra-se a representação dos sinais em frequência e no tempo.

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