Objetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais.

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1 7aula Janeiro de 2012 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I: Papel Milimetrado Objetivos: Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de gráficos e ajuste de curvas à dados experimentais. 7.1 Introdução Construção de Tabelas e Gráficos A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis. Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que podem ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos na forma mais clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação correta dos dados. Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais: a) Escolha a área do papel com tamanho adequado; b) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no eixo vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x; c) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7). Se possível, cada um dos eixos deve começar em zero; d) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado; e) Colocar título e comentários é conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto. f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado. g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho com um ponto no centro).

2 Caderno de Laboratório de Física Construção de uma Escala Linear Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se conhecer, inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os valores máximo e mínimo da grandeza medida. Essa diferença será representada por D. Dividindo-se L por D, obtém-se uma certa constante denominada de módulo da escala (Mod). Por exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de comprimento. Força (N) O intervalo das medidas é D = 32 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o modulo da escala, é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/n. Este resultado indica que cada unidade da força será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, então, com espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L ( por razões estéticas). No exemplo acima, um número conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/n. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala. Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo acima, é aconselhável incluir o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser feito quando for necessária a apresentação da origem da escala. Nestes casos, divide-se comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod = 18/32 = 0,5625 cm/n. Com d determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada uma das medidas da tabela. No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5cm/N, tem-se a correlação dada pela tabela 7.1. Força (N) Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0 Tabela 7.1 Comprimento em cm que representa cada valor de Força. Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da força. É tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se usa fazer é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. Indicase, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de modo a se ter uma boa visualização de seus valores.

3 28 Caderno de Laboratório de Física Escalas Especiais Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode indicar, visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício Ajuste de curvas a dados experimentais Método dos Mínimos Quadrados. Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função do 1 o grau, cuja representação gráfica é uma reta. Quando determinamos experimentalmente os dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e representamos as coordenadas cartesianas (x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão perfeitamente alinhados, então, o nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os coeficientes angular e linear da melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais. Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser a olho. Neste método o observador deverá ajustar a reta aos pontos a partir da observação visual. Este procedimento tem a desvantagem de observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares diferentes, já que a escolha é subjetiva devida a interpretação de cada um. Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar matematicamente a melhor reta ajustada. Isto pode ser feito com o Método dos Mínimos Quadrados, no qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax +b) que se ajusta a N pontos experimentais. Os coeficientes desta reta são: N( x y ) ( x ) ( y ) a N( x ) ( x ) b i i i i i i 2 ( yi ) ( xi ) ( xi yi ) ( xi ) N( xi ) ( xi) Para exemplificar o uso do Método dos Mínimos Quadrados, resolva o exercício Material Utilizado a) Régua milimetrada; b) Lápis ou lapiseira; c) Borracha; d) Calculadora; e) Papel milimetrado

4 Caderno de Laboratório de Física Exercícios 1. Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S 0 = 500m, com uma aceleração constante de 2 m/s 2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será: 1 S S0 at S 500 t 2 Obtendo o valor da posição para cada valor do tempo indicado tem-se a seguinte tabela: Tempo t(s) Posição S(cm) Tabela 7.2 Tempo x Posição. Com os dados da tabela 7.2 foi construído o gráfico S x t, em duas escalas diferentes, indicados na figura 7.1. S(m) 1000 S(m) t(s) t(s) Figura 7.1 Gráficos S x t Escolha de uma escala adequada. a) Em qual dos dois gráficos (os dois estão corretos) se observa melhor o resultado esperado? Justifique sua resposta. 2. Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função P(t) = 200t, onde t é dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado, dois gráficos Pxt em escalas diferentes, de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no outro ela aumente lentamente. 3. Represente no gráfico y x x os pontos da tabela 7.3. X(m) Y(m) Tabela 7.3 Y versus X

5 30 Caderno de Laboratório de Física a) Ajuste uma reta a olho aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare os valores encontrados com os de outros alunos. b) Aplicando o Método dos Mínimos quadrados, determine a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e compare com a reta ajustada a olho.

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