Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

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1 PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx + f (x,)d onde f x (x,) e f (x,) denotas as derivadas parciais de f(x,) em relação a x e, respectivamente. Por exemplo, a diferencial de f(x,) = x + é df = xdx + d. A diferencial pode ser interpretada como uma aproximação linear de f. Geometricamente, a superfície descrita pelo gráfico de f(x,) é aproximada localmente pelo plano tangente a superfície no ponto (x,). Nas aplicações, permite cálculos aproximados de variações de uma função f(x,) correspondentes à variação do ponto (x,) até o ponto (x + dx, + d ). Definição. A expressão (x,) dx + N(x,)d é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,) tal que f x (x,)=(x,) e f (x,)=n(x,). Exemplo. A expressão x dx + d é uma diferencial exata, pois é a diferencial de f(x,) = x +. De fato, f x (x,)=x e f (x,) =. A equação diferencial de primeira ordem (x,) + N(x,) = 0 pode ser escrita na d forma equivalente (x,) dx + N(x,) d = 0, usando a notação =. A equação dx diferencial (x,) + N(x,) = 0 ( ou sua forma equivalente ) é chamada de uma equação diferencial exata se existe uma função f(x,) cuja diferencial coincide com a forma (x,) dx + N(x,) d. Neste caso, a equação f(x,) = c, onde c é uma constante arbitrária, é a solução geral da equação (x,)dx + N(x,)d = 0. Por exemplo, a equação xdx + d = 0 é uma equação diferencial exata em todo o conjunto R, pois f(x,) = x + satisfaz f x (x,) = x e f (x,) =. Teorema. Uma equação diferencial (x,) dx + N(x,) d = 0 é exata numa região R do plano (x,) se e somente se nos pontos da região R, valer a igualdade (x,) = N x (x,) () em cada ponto (x,) de R. Isto é, existe uma função f(x,) tal que f x (x,)= (x,) e f (x,) = N(x,) em todo ponto da região R se somente se a igualdade () for satisfeita. Por isto, a igualdade () pode ser interpretada como um teste de exatidão. Resolução de uma equação exata. Supondo que a equação (x,) dx + N(x,) d = 0 seja exata, existe uma função f(x,) tal que f x (x,) = (x,) e f (x,) = N(x,). Logo, integrando a primeira igualdade em relação a x, resulta:

2 f(x,) = (x,)dx + k() () onde k() denota uma função que só depende de. Derivando em relação a, obtemos f (x,) = N(x,). Usando a notação para denotar a derivada parcial em relação a, vem: (x,) + k () = N(x,) () Da equação (), podemos obter k() por integração em relação a. Uma vez obtida esta função, a solução da equação diferencial é f(x,) = c. Exemplo. Verificar que a equação x + + x = 0 é exata e resolvê-la. Solução. (x,) = x + e N(x,) = x ; temos (x,) = e N x (x,) =, logo a equação diferencial x + + x = 0 é exata para todo ponto (x,) do R. Existe uma função f(x,) tal que f x (x,) = x +. De acordo com a equação (), vem : f(x,) = (x+ )dx + k() = x + x + k() (4) Derivando em relação a e igualando a N(x,), resulta : (x + x + k()) = x (5) Logo: x + k () = x, isto é, k () = 0. Portanto, k() é uma função constante, já que sua derivada é nula. Assim, substituindo na equação (4), vem f(x,) = x + x + k (6) Conclusão: a solução da equação diferencial x + + x = 0 é x +x = c, como pode ser verificado diretamente, pela aplicação das regras de derivação. Esta equação pode ser interpretada como uma curva de nível da função f(x,) = x +x. Exemplo. ostrar que a equação diferencial x + x(+ ) =0 não é exata. Solução. De fato, temos (x,) = x e N(x,) = x(+ ). Então: (x,) = x N x (x,) = +, logo, a equação não é exata.

3 FATOR INTEGRANTE Vamos mostrar através de um exemplo o conceito de fator integrante. Exemplo 4. ostrar que a função µ (x,) = x diferencial do exemplo. é um fator integrante da equação Solução. A equação do exemplo é x + x(+ ) =0 que não é exata. ultiplicando esta equação pela função µ (x,) = dada acima, vem : x [ x + x(+ ) ] = 0 (7) x Isto é, a equação diferencial resultante após a multiplicação é x + + = 0 (8) Temos, agora : (x,) = x e N(x,) = +, logo, a equação (8) é uma equação diferencial é exata, pois (x,) = 0 e N x (x,) = 0. Por isto, a função µ (x,) = é x chamada de fator integrante da equação x + x(+ ) =0, já que após a multiplicação da equação por µ a equação resultante é exata. Isto é, uma função µ é um fator integrante de uma equação diferencial se, após a multiplicação da equação por µ, resultar uma equação diferencial exata. Quando for possível determinar o fator integrante, podemos aplicar a técnica descrita anteriormente de resolução das equações exatas. Nos casos mais simples, o fator integrante µ pode ser uma função somente de x ou somente de. Vamos mostrar como podemos verificar se tais fatores existem. Por simplicidade, vamos escrever =(x,) e N=N(x,) e usar a notação dx +Nd = 0 para representar a equação. Fator integrante que depende somente de x Isto é, µ = µ (x). Suponhamos que uma equação dx + Nd = 0 não seja exata e que o fator integrante seja µ = µ (x) ; multiplicando por esta função, resulta µ dx + µ Nd = 0. Supondo ser esta uma equação exata, a igualdade ( µ ) = ( µ N ) x deve ser satisfeita. De acordo com as regras de derivação, vem : µ = µ x N + µ N x, pois µ é uma função que depende dµ somente de x. Resolvendo esta equação em µ x, usando a notação µ x = resulta : dx

4 dµ = N dx N x µ (9) A equação (9) estabelece uma condição para que exista o fator integrante que dependa só Nx de x: o quociente deve depender somente de x. Além disto, caso esta condição N seja satisfeita, devemos resolver a equação diferencial (9), que é uma equação diferencial separável, para determinar o fator µ = µ (x). Depois de calculado o fator integrante µ = µ (x), nós devemos multiplicar a equação dx + Nd = 0 por µ. A equação obtida então é exata e pode ser resolvida pela técnica vista inicialmente. Exemplo 5. Encontrar um fator integrante para a equação diferencial e resolver a equação. (x + ) + ( x + x) = 0 (0) Solução. = (x,) = x + = x + N= N(x,) = x + x N x = x + A equação não é exata, pois N x. Teste para o fator integrante : µ = µ (x) O quociente é : N N x = x + (x + ) = x + x x + = x(x + ) x, que depende dµ somente de x. Logo, existe um fator µ = µ (x). Devemos resolver a equação = µ, dx x dµ dx ou seja, =. Integrando ambos os lados, resulta Ln µ = Ln x, desprezando a µ x constante de integração. Um fator integrante é µ = x. ultiplicando ambos os lados da equação diferencial por µ = x, resulta x [ (x + ) + ( x + x) ] = 0, ou seja, (x + x ) + ( x + x ) = 0 () Temos, agora : (x,) = x + x N(x,) = x + x. Logo, = x + x e N x = x + x, a equação () é exata. Existe uma função f(x,) tal que f x (x,) = x +x, portanto, integrando em relação a x, resulta f(x,) = x + x + k() ; derivando em relação a, e igualando a N, obtemos f = x + x + k () = x + x, donde k () = 0,isto é, k() é uma função constante, digamos k. Assim, f(x,)= x + x + k. 4

5 Conclusão: a solução da equação diferencial (x + x ) + ( x + x ) = 0 é dada pela equação x + x = c. Observemos que a função f(x,) = x + x + k é uma função tal que f x (x,) = x + x = (x,) e f (x,) = x + x definidos na equação (). Se dividirmos por x, obtemos as funções definidas pela equação (0). Assim, a solução é a mesma se x for diferente de zero. N x - Fator integrante que depende somente de. Se o quociente = Q, onde Q é uma função apenas de, então a equação diferencial (x,)+ N(x,) = 0 tem um fator integrante da forma µ () = exp Q ( ) d Exemplo. Consideremos a equação dx + (x/ sen())d = 0. Temos (x,) = e N(x,) = x/ sen(). Logo, (x,) = 0 e N x (x,) = /. Logo, o quociente fica : N x - / 0 = = /. Isto é, Q() = /. Assim, um fator integrante é µ ( ) = exp d = exp(ln()) =. ultiplicamos a equação por, obtendo : dx + (x sen())d = 0, ou seja, (x,) = e N(x,) = x sen(). A equação agora é exata, pois (x,) = = N x (x,). Logo, existe f(x,) tal que : f(x,) = dx + k() = x + k(). Derivando em relação a : ( x + k()) = x sen(), isto é, x + k () = x sen(). Então : k() = sen()d = ( sen() cos() ) = cos() sen() A solução da equação diferencial é : x + cos() sen() = c. Conclusão: as equações exatas podem ser resolvidas por técnicas bastante simples, bastando para isto, usar uma integral indefinida e uma derivada parcial. Deste modo, para equações não lineares ( e também para equações lineares de coeficientes não-constantes), esta é mais uma técnica alternativa de resolução de equações diferenciais ordinárias. O 5

6 fator integrante que depende de x e não será estudado aqui. Nas referências bibliográficas, o leitor poderá estudar este caso. Referências : Boce & Di Prima. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Editora LTC, Rio de Janeiro, 00. Zill, Dennis G. Equações diferenciais com aplicações em modelagem. Editora Thomson, São Paulo, 00. Exercícios. Determine se as equações nos problemas até 4 são ou não exatas. Para as exatas, encontre a solução.. ( x+ ) + ( ) = 0. (x + 4 ) + ( x ) = 0 d ax + b. = dx bx + c 4. (e x sen() sen(x))dx + (e x cos() +cos(x))d = 0 Resolva o problema de valor inicial dado e determine em que intervalo a solução está definida. 5. (x ) dx + ( x ) d = 0, () =. Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e, então, resolva-a usando este valor de b. 6. (x + bx )dx + ( x + )x d = 0 Verifique que a função dada é um fator integrante e resolva a equação dada nos problema de 7 a ( x + x + )dx +( x + ) d = 0, µ (x) = e x 8. = e x +, µ (x) = e x 9. [ 4(x / ) + (/) ] dx + [ (x/ ) + 4 ] d = 0, µ () = 0. e x dx + ( e x cot() + cosec() )d = 0, µ () = sen() Respostas :. x + x + = c. Não é exata. Não é exata 4. e x sen() + cos(x) = c ; também = = [ x + 8 x ]/, x < 8 / 6. b = ; x + x = c 7. ( x + )e x = c 8. = ce x + + e x 9. x 4 + x + 4 = c 0. e x sen() + = c 6

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