O preço de uma opção de compra segundo a teoria de Black, Scholes e Merton

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1 O preço de uma opção de compra segundo a teoria de Black, Scholes e Merton Há opções de compra e de venda, do tipo europeu e do tipo americano. As do tipo americano podem ser exercidas a qualquer momento, em qualquer pregão, até a data do dia de seu vencimento. Isso diculta um pouco a precicação, pois a data para o exercício, não sendo especicada, torna-se mais uma variável para a avaliação do preço da opção. No Brasil, as opções de venda não são muito líquidas e é por isso que tenho discutido somente opções de compra. Para facilitar a precicação, também vou considerar apenas as opções do tipo europeu, que só podem ser exercidas no dia de seu vencimento. Já deduzi em outra postagem a equação de Black e Scholes, que é escrita assim: t + σ S c + rs S S rc = 0, onde c é o preço da opção, S é o preço da ação, σ é a volatilidade e r é a taxa de juros livre de risco. Façamos a transformação de variável: Com isso, temos e, portanto, ou seja, c S = S x = ln S. S = x x S = 1 S x = 1 S S S c S = 1 S x + 1 x S S = 1 x S x + 1 S x c S = 1 S x + 1 c S x., x S, x Assim, a equação diferencial parcial de Black e Scholes, escrita acima, ca t + σ S 1 S x + 1 c S x + rs 1 rc = 0, S x t + σ x + c x + r rc = 0, x 1

2 ou seja, t + r σ x + σ Substituindo, nessa equação, c por w = c exp rt c rc = 0. x resulta em uma equação mais simples: w r t + σ w x + σ w x = 0. Para resolver essa equação, podemos escrever w em termos de sua transformada de Fourier: onde w x, t = φ k, t = 1 π dk φ k, t exp ikx, dx w x, t exp ikx é a transformada de Fourier de w com relação a x. A equação diferencial para φ pode ser obtida da equação para w, ] φ k, t dk + i r σ kφ k, t σ t k φ k, t exp ikx = 0. Da independência linear das funções exponenciais, decorre que o integrando acima deve ser nulo: φ k, t + i r σ kφ k, t σ t k φ k, t = 0. Assim, ] φ k, t = φ k, 0 exp it r σ k + t σ k. Substituindo essa solução em resulta em w x, t = w x, t = dk φ k, t exp ikx ] dk φ k, 0 exp ikx ikt r σ + t σ k.

3 Da transformada de Fourier de w com relação a x, segue que φ k, t = 1 π dx w x, t exp ikx, φ k, 0 = 1 π Usando esse resultado na expressão para w dá w x, t = 1 π onde Calculemos: dk w x, t = g x, t = 1 π g x, t = 1 π g x, t = 1 π dk exp dx w x, 0 exp ikx. dx w x, 0 exp ] ik x x ikt r σ + t σ k, dx w x, 0 g x x, t, ] dk exp ikx ikt r σ + t σ k. dk exp {t σ k + ik tσ x ik σ { t σ ]} r σ, k + i ] x tσ rt + σ t + 1 } x tσ rt + σ t. O resultado para essa integral pode ser calculado para tempos negativos, t =. Assim, obtemos: g x, t = 1 πσ exp 1 ] x σ + r σ. Logo, w x, t = 1 πσ dx w x, 0 x x + r σ σ, 3

4 que só vale para tempos negativos. Voltemos agora para o problema original de determinar c como função do preço S e do tempo t, que deve ser negativo para podermos ter solução. Lembrese que e, portanto, para t < 0, w = c exp rt c S, = exp r πσ c S, = exp r w ln S, t, dx c exp x ln S x + r σ, 0 σ. A condição de contorno aqui é c S, 0 = max S X, 0, onde X é o preço de exercício da opção. Assim, no integrando da equação acima aparece c exp x, 0 = max exp x X, 0. Tudo o que essa condição nos diz é que o integrando deve ser nulo para exp x X 0, exp x X, ou seja, o integrando deve ser nulo para Com isso, escrevemos: c S, = exp r πσ x. dx exp x ln S x + r σ X σ, c S, = exp r πσ X exp r πσ x ln S x + r σ σ ln S x + r σ σ. 4

5 Aqui é conveniente reconhecermos, na expressão acima, a distribuição normal, que é dada por ˆ 1 x N x = ds exp s. π Agora, observemos que ln S x + r σ x σ = σ x ln S + r σ x σ. Também temos que σ x ln S + r σ x = σ x ln S + r σ + x ln S + r σ x = ln S + r σ x + x ln S + r σ + σ, σ x ln S + r σ x = ln S + r σ x + x ln S + r + σ = x ln S r σ + ln S + r + σ ou seja, ln S + r σ, σ x ln S + r σ Assim, ln S x + r σ x σ ln S x + r σ x σ x = x ln S r σ + ln S + r σ. = = x ln S r σ σ x ln S r σ 5 σ + ln S + r σ σ, + ln S + r

6 e, portanto, x ln S x + r σ σ Façamos a substituição de variável: = exp ln S + r s = x ln S r σ. σ Assim, x ln S r σ σ = ˆ = σ π N lns/x+r+ σ σ x ln S ds exp ln S/X + σ ] s, r + σ r + σ σ. x ln S r σ σ = σ π N ln S/X + r + σ σ. Logo, x x ln S x + r σ σ ln S x + r σ σ = σ π exp ln S + r N ln S/X + r + σ σ, = σ π S exp r N ln S/X + r + σ σ.. 6

7 Analogamente, ln S x + r σ σ = σ π N ln S/X + r σ σ. Substituindo essas últimas integrais na expressão para c acima, obtemos: exp r c S, = πσ S exp r σ π N ln S/X + r + σ σ X exp r σ π N ln S/X + r σ πσ σ, c S, = SN ln S/X + r + σ σ X exp r N ln S/X + r σ σ. e É comum denirmos: ou seja, d 1 = d = d 1 σ = d = Logo, podemos escrever: onde d = ln S/X + σ ln S/X + r + σ σ r + σ ln S/X + r + σ σ σ, ln S/X + r σ σ. c S, = SN d 1 X exp r N d, d 1 = ln S/X + 7 σ r + σ σ,

8 e d = ln S/X + r σ σ. 8