ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}.

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1 ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA 1. Relações de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre um conjunto X, isto é, uma rel ção binária que satisfaz as seguintes propriedades i. (Prop. Reflexiva.) Para todo x X temos que x x. ii. (Prop. Simétrica.) Para todo x, y X, se x y então y x. iii. (Prop. Transitiva) Para todo x, y, z X, se x y e y z então x z. Então podemos definir, para cada x X, a classe de equivalência de x como O conjunto de todas as classes de equivalência [x] := {y X t.q. x y}. X/ := {[x]: x X} é chamado do quociente de X pela relação de equivalência. Existe uma aplicação natural π : X X/ definida por π(x) := [x] A aplicação sobrejetora π é chamada de aplicação quociente. 2. Partições e relações de equivalência Uma partição P de X é uma coleção de subconjuntos de X tais que i. Esta coleção de subconjuntos cobre X, isto é X = A P A. ii. Os subconjuntos de X nesta coleção são dois a dois disjuntos, isto é, se A, B P e A B φ então A = B. Segue das propriedades i, ii, iii de uma relação de equivalência que X/ é uma partição de X. Reciprocamente, se P é uma partição de X, podemos definir uma relação em X do seguinte modo: x y se e somente se x e y pertencem ao mesmo subconjunto de X na coleção P. Então é uma relação de equivalência e P = X/. 3. Topologia quociente Se (X, O X ) é um espaço topológico e é uma relação de equivalência em X, então podemos munir X/ com uma topologia, chamada de topologia quociente. Para este fim faremos uso a seguinte proposição Proposição 3.1. Seja (X, O X ) um espaço topológico e π : X Y uma função sobrejetora entre X e um conjunto Y. Então podemos definir uma topologia em Y da seguinte forma: A Y é aberto se e somente se π 1 A é aberto em X. A prova é simples: basta verificar que O Y := {A Y : π 1 A é aberto em X} é uma topologia (Exercício!!). A topologia O Y é chamada de topologia co-induzida pela aplicação π. Se aplicarmos a proposição acima à aplicação quociente π : X X/, então a topologia co-induzida O X/ em X/ por π é chamada de topologia quociente. O espaço topológico (X/, O X/ ) é chamado de espaço quociente de X por. 1

2 2 DANIEL SMANIA 4. Tomando o quociente de funções contínuas Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma função conítua. Seja uma relação de equivalência em X. Vamos analisar a seguintes questão: quando é possível encontrar uma função contínua g : X/ Y tal que f = g π. Note que se tal função existe então se x y termos que [x) = [y] e assim Assim a condição de que (*) x y implica f(x) = f(y). f(x) = g(π(x)) = g([x]) = g([y]) = g(π(y)) = f(y). é certamente necessária para a existência de g. Ocorre que esta condição também é suficiente: Proposição 4.1. Sejam X e Y espaços topológicos, f : X Y uma função contínua e uma relação de equivalência em X. Então existe uma função contínua g : X/ Y satisfazendo se e somente se a condição ( ) acima é satisfeita. f = g π Já demonstramos que ( ) é necessária. Vamos demonstrar a suficiência: Defina g : X/ Y como g([x]) := f(x). Devido a condição ( ), a função g está bem definida. Note que se x X então g(π(x)) = g([x]) = f(x). Assim f = g π. Resta mostrar que g é contínua. De fato, se A é aberto em Y então f 1 A é aberto em X, pois f é contínua. Mas pela definição da topologia quociente, g 1 A é aberto se e somente se ψ 1 (g 1 A) = f 1 A é aberto em X. Logo g 1 A é aberto. Concluimos que g é contínua. A proposição acima é particularmente útil para reconhecer espaços quocientes como homoemórficas à espaços topológicos mais familiares, como veremos nos exemplos da próxima seção e nos exercícios abaixo. 5. Exemplos 5.1. O círculo como um espaço quociente. Defina a seguinte relação de equivalência sobre R: dois números reais x e y são equivalentes se eles diferem por um número inteiro, isto é x y se e somente se x y Z. Se considermos R com a topologia usual então R/ é homeomorfo ao círculo S 1 := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. De fato, utilizaremos a Proposição 4.1 para construir um homeomorfismo De fato, seja f : R S 1 a função sobrejetora definida por g : X/ S 1. f(t) := (cos(2πt), sin(2πt)). Segue do curso de Cálculo ZERO que f(t 2 ) = f(t 1 ) se e somente se t 2 = t 1 + k, para algum k Z, isto é ( ) f(t 2 ) = f(t 1 ) se e somente se t 2 t 1 Z. Em particular, Pela Proposição 4.1 existe uma função contínua g : X/ S 1 tal que f = g π Vamos mostrar que g é um homeomorfismo. Como f é sobrejetora, g também é sobrejetora. Afirmamos que f é injetora. De fato se g([t 2 ]) = g([t 2 ]) então f(t 2 ) = g([t 2 ]) = g([t 1 ]) = f(t 1 ), logo por ( ) temos que t 2 t 1 Z, assim [t 2 ] = [t 1 ]. Resta verificar que g 1 é contínua. Note que f não é inversível, mas ela possui inversas locais. De fato, defina A 1 := S 1 {(x, y): x > 0},

3 ESPAÇOS QUOCIENTES 3 A 2 := S 1 {(x, y): y > 0}, A 3 := S 1 {(x, y): x < 0}, A 4 := S 1 {(x, y): y < 0}. Note que A i, com i = 1, 2, 3, 4, é um aberto em S 1. Vamos definir inversas locais contínuas ψ i : A i R, isto é, ψ i satisfazem f ψ i (x, y) = (x, y) para (x, y) A i. Construiremos ψ 1, os outros casos são deixados para o leitor. Primeiramente, note que a função f quando restrita ao intervalo aberto ( 1/4, 1/4) é injetora, pois π 2 f é injetora, já que φ 1 : ( 1/4, 1/4) ( 1, 1) definida por φ 1 (t) := sin(2πt) é injetora em ( 1/4, 1/4). Como além disso φ 1 é sobrejetora e φ 1(x) 0, para x ( 1/4, 1/4), pelo manjado teorema da função inversa existe uma inversa diferenciável (portanto contínua) φ 1 1. Então é fácil ver que se definirmos ψ 1 (x, y) := φ 1 1 (y) para (x, y) A 1, então ψ 1 é uma inversa local (contínua). Estamos prontos para definir a inversa de g. Defina h: S 1 R/ como π ψ 1 (x, y) se (x, y) A 1, π ψ 2 (x, y) se (x, y) A 2, h(x, y) = π ψ 3 (x, y) se (x, y) A 3, π ψ 4 (x, y) se (x, y) A 4, Note que h está bem definida, pois se (x, y) A i A j, temos que como ψ i e ψ j são inversas locais, logo f(ψ i (x, y)) = (x, y) = f(ψ j (x, y)), logo pela propriedade ( ) temos que ψ i (x, y) ψ j (x, y) Z, donde π ψ i (x, y) = π ψ j (x, y). Como vimos em aulas anteriores, como h é contínua em cada um dos abertos A i (que cobrem S 1 ) temos que h é contínua. Além disso g(h(x, y)) = g(π(ψ i (x, y))) = g([ψ i (x, y)]) = f(ψ i (x, y)) = (x, y), logo h é a inversa de g. Assim g é um homeomorfismo O toro T 2. Se 0 < a < c, podemos definir um toro T 2 como o conjunto dos pontos (x, y, z) R 3 tais que (c x 2 + y 2 ) 2 + z z = a 2. Do ponto de vista métrico há vários toros (variando as constantes a e c obtemos toros que não são isométricos. Mas do ponto de vista topológico só há um toro, isto é, todos este toros são homeomorfos (exercício!). Assim fixe c = 1 e a < 1. Vamos obter o toro como um espaço quociente: Defina a seguinte relação de equivalência 2 sobre R 2 : v 2 w se e somente se v w Z 2. Afirmamos que R/ 2 é homeomorfo a um toro. De fato considere a função sobrejetora f : R 2 T 2 definida por (u, v) (x, y, z), onde x = (1 + acos(2πv)) cos(2πu), y = (1 + acos(2πv)) sin(2πu), z = a sin(2πv). Note que ( ) f(u, v) = f(u, v ) se e somente se (u, v) (u, v ) Z 2. Como no exemplo anterior, podemos tomar o quociente de f, encontrando uma função g bijetora e contínua entre R 2 / e o toro T 2. Poderíamos mostrar que a inversa de g é contínua utilizando um argumento similar ao adotado no exemplo anterior, mas isto seria muito trabalhoso. Um método mais simples seria mostrar que R/ é compacto, o que implicaria automaticamente que g 1 é contínua. De fato como π([0, 1] [0, 1]) = R/ 2, a continuidade da aplicação quociente π : R 2 R/ 2 implica que R/ 2 é compacto.

4 4 DANIEL SMANIA 5.3. O toro T n. De maneira análoga podemos definir a relação de equivalência n em R n por usando os métodos acima descritos, é possível mostrar que v n w se e somente se v w Z n. T n := R n / n é homeomorfo a S 1 S 1... S } {{ } 1. n vezes O espaço topológico T n é chamado de toro n-dimensional (generalize o exercício 5) Espaço Projetivo P n. Considere a relação de equivalência sobre R n+1 := R n+1 {0} definida por v w se e somente se existe λ R tal que v = λw. O espaço quociente R n+1 / é chamado de espaço projetivo n-dimensional e denotado P n Espaços homogêneos. Seja (G, ) um grupo topológico, isto é, um grupo munido com uma topologia tal que as aplicações (x, y) x y e x x 1 são contínuas. Se H é um subgrupo de G, podemos definir a seguinte relação de equivalência em G: x y se e somente se x y 1 H. O espaço quociente G/, também denotado G/H, é chamado de espaço homogêneo. Noque que os toros T n são espaço homegêneos, considerando G = R n como um grupo aditivo e H = Z n como seu subgrupo. 6. Exercícios Exercício 1. Considere a seguinte relação de equivalência em R 2 : dois pontos (a, b) e (c, d) são equivalentes se e somente se c a Z. Mostre que o espaço quociente é homemorfo ao cilindro {(x, y, z) R 3 tal que x 2 + y 2 = 1}. Exercício 2. Defina a seguinte relação de equivalência em Ω := R n+1 {0}: dois vetores v e w são equivalentes se existe λ R + tal que v = λw. Mostre que Ω/ é homeomorfo a esfera n-dimensional S n := {x R n+1 : x Eucl = 1} Exercício 3. Mostre que o espaço projetivo P n é homeomorfo a S n /, onde a relação de quival encia tem classes de equivalência dadas por [x] = {x, x}. Exercício 4. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma função sobrejetiva que é um homeomorfismo local (isto é, para todo ponto x X existe uma vizinhança aberta U de x tal que f(u) é um aberto em Y e f : U f(u) tem uma inversa contínua). Defina a seguinte relação de equivalência em X: dois pontos x, y X são equivalentes se e somente se f(x) = f(y). Mostre que X/ é homeomorfo a Y. Exercício 5. Sejam X e Y espaços topológicos e X e Y relações de equivalência em X e Y. Defina a relação de equivalência em X Y como (a, b) (x, y) see a X x e b Y y. Mostre que (X Y/ ) (X/ X ) (Y/ Y ). Exercício 6. Sejam X e Y espaços topológicos e X relações de equivalência em X e Y. Seja f : X Y uma função contínua tal que se a X b então f(a) Y Mostre que existe uma função e Y f(b). tal que isto é, o diagrama abaixo comuta. g : X / X Y / Y π Y f = g π X, X π X X / X f Y π Y g Y / Y

5 ESPAÇOS QUOCIENTES 5 Exercício 7. Mostre que P 1 é homeomorfo a S 1. Sug: Considere S 1 como um subconjunto de C e defina f : S 1 S 1 dada por f(z) := z 2. Então use os Exs. 3 e 6. Exercício 8. Como veremos, P 2 não é homeomorfo a S 2. Mostre que existe uma função f : S 2 P 2 que é um homeomorfismo local sobrejetor. O mesmo resultado vale substituindo 2 por n? Sug: Use o Ex. 6. Exercício 9. Mostre que o espaço projetivo P 2 é localmente homeomorfo a R 2, isto é, para todo ponto x P 2 existe um aberto U que contém x e um homeomorfimo h: U R 2. O mesmo resultado vale substituindo 2 por n? Exercício 10. Seja M uma matriz 2 2 tal que todas suas entradas são números inteiros. Considere a transformação linear (contínua) f : R 2 R 2 definida por f(v) = M v. Mostre que existe uma função contínua g : T 2 T 2 atal que π f = g π, isto é, o diagrama abaixo comuta. Aqui π : R 2 T 2 é a função quociente. Mostre que g é um homeomorfismo se det(m) {1, 1}. R 2 π f R 2 T 2 g T 2 Exercício 11. Seja G/H um espaço homogêneo como definido no Exemplo 5.5. Mostre que G/H é homogêneo no sentido topológico, isto é, dados quaisquer a, b G/H, existe um homeomorfismo h: G/H G/H tal que h(a) = b. Exercício 12. Seja v, w R 2 vetores linearmente independentes. Então π H = {n v + m w t.q. m, n Z} é um subgrupo do grupo aditivo (R 2, +). Mostre que R 2 /H é homeomorfo ao toro R 2 /Z 2. URL: