1 Base de um Espaço Vetorial
|
|
- Cíntia Terra Fidalgo
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Disciplina: Anéis e Corpos Professor: Fernando Torres Membros do grupo: Blas Melendez Caraballo (ra143857), Leonardo Soriani Alves (ra115465), Osmar Rogério Reis Severiano (ra134333) Ramon Códamo Braga da Costa (ra143905) 1 Base de um Espaço Vetorial Estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, um subconjunto B V, tal que qualquer vetor de V seja uma combinação linear de elementos de B. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere V e tal que todos elementos sejam realmentes necessários para gerar V. Se pudermos encontrar tais vetores, teremos os alicerces de nosso espaço, com estes vetores fazendo o papel de i, j, k na Geometria Analítica no Espaço. Denominares um conjunto de vetores desse tipo de base, mais precisamente: Definição 1. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Dizemos que um subconjunto B de V é uma base de V se (i) B for um conjunto gerador de V ; e (ii) B for linearmente independente. Teorema 1. Seja {0} V um espaço vetorial sobre K. Então V possui pelo menos uma base. Demonstração. Seja F = {S : S V e S l.i.}. Como existe 0 v 0 V, temos que F, visto que {v 0 } é l.i. A relação R = {(S i, S j ) F F : S i S j } é uma relação de ordem parcial sobre F. Seja {S l : l L} um subconjunto totalmente ordenado de F. Afirmamos que S l é um limitante superior de {S l : l L} em F. De fato, sejam v 1,..., v n S l, α 1,..., α n K e suponhamos que α 1 v α n v n = 0. Existem índices l 1,..., l n em L tais que v i S li, i = 1,..., n. Como {S l : l L} é totalmente ordenado, existe um índice l k tal que S li S lk, i = 1..., n. Segue que v i S jk, i = 1,..., n. Como S lk é l.i., α 1 =... α n = 0. Logo, S l é l.i. e, consequentemente, é um limitante superior de {S l : l L} em F. Pelo lema de Zorn, F possui um elemento maximal, digamos B. No restante da prova mostraremos que V é gerado por B, ou seja V = [B]. Como [B] V, basta verificarmos a outra inclusão, para isto suponhamos que exista um elemento w V e w / [B]. Então B {w} é linearmente independente, de fato, sejam u 1,..., u m B e β 1,..., β m, β K, tais que β 1 u β m u m + wβ = 0, então β = 0, caso contrário teríamos ( β1 β 1) u ( β m β 1) u m = w, contradizendo o fato de w / [B]. Portanto igualdade a torna-se β 1 u β m u m = 0, consequentemente β i = 0, i = 1,..., m pois B é l.i. E como consequência temos que B {w} F, mas isto é um absurdo, visto que este fato contradiz a maximalidade de B. Assim [B] = V. O teorema abaixo apresenta duas caracterizações de base. 1
2 Teorema 2. Sejam V um espaço vetorial sobre K e B um subconjunto de V. As seguintes afirmações são equivalentes: (i) B é uma base de V ; (ii) B é um subconjunto l.i. maximal de V, isto é, não existe subconjunto l.i. C de V tal que B = C e B C; (iii) B é um conjunto gerador minimal de V, isto é, V = [B] e não existe C B, C B tal que V = C. Demonstração. (i) (ii) Se v V \B então por (i), v [B]. Segue que B {v} é l.d. Portanto, qualquer conjunto contendo B propriamente é l.d. (ii) (i) Se V [B], existiria v V \ {0} tal que v / [B]. Logo, B {v} seria um conjunto l.i.,contradizendo (ii). (i) (iii) Seja w B. Então, w / [B\ {w}], pois B é um conjunto l.i. Portanto, [B\ {w}] V. Isto implica (iii). (iii) (i) Se existirem vetores (distintos) v 1,..., v n B e escalares α 1,..., α n K não todos nulos tais que α 1 v v n α n v n = 0, então um dos v j, digamos v n, é combinação linear dos demais. Logo, [B\ {v n }] = [B] = V, contradizendo (iii). Teorema 3. Seja V um espaço vetorial sobre K. (i) Se S T V, S é l.i. e V = [T ], então existe uma base B de V tal que S B T ; (ii) Se S é um subconjunto l.i. de V então existe uma base B de V que contém S; (iii) Se V = [T ], então existe uma base B de V contida em T. Demonstração. Para provar (i), aplicamos o Lema de Zorn a família de conjuntos F = {A : S A T e A l.i.}, munida da ordem parcil de inclusão. Concluímos que F tem um elemento maximal B. Se existir algum elemento u T \ [B], então B {u} é l.i. contradizendo a maximalidade de B. Logo, T [B] e, consequentemente, [T ] [B]. Segue que V = [B], e, portanto, [B] é base de V. Partes (ii) e (iii) seguem de (i). Teorema 4. Sejam V um espaço vetorial sobre K e B e C bases de V. Então, cada elemento de B pode ser substituído por algum elemento de C de modo que o conjunto resultante ainda é uma base de V. Demonstração. Seja v B. Se C fosse um subconjunto de B\ {v}, teríamos V = [C] [B\ {v}], contradizendo o fato de B ser um conjunto gerador minimal de V. Logo, existe um elemento u C tal que u / [B\ {v}]. Segue que (B\ {v}) {u} é l.i. Se v / [(B\ {v}) {u}] então (B\ {v}) {u} {v} = B {u} é l.i., contradizendo o fato de B ser um conjunto l.i. maximal. Assim, v [(B\ {v}) {u}] e V = [B] [B {u}] = [((B\ {v}) {u}) {v}] = [(B\ {v}) {u}], completando a prova. No teorema a seguir, utilizamos a noção de cardinalidade. Lembremos que dois conjuntos A e B tem a mesma cardinalidade quando existe uma função f : A B bijetora. Teorema 5. Sejam V um espaço vetorial sobre K e B, C bases de V. Então B e C tem a mesma cardinalidade. O teorema 5 consolida a seguinte definição Definição 2. Seja V um espaço vetorial sobre K. A dimensão de V sobre K, denotada por dim K V ou simplesmente por dimv, é a cardinalidade de qualquer base de V sobre K. Começamos nossa discussão sobre espaços vetoriais indagando sobre a existência de um certo tipo de subconjunto Bde V, que tivesse as seguintes propriedades; B linearmente independente e [B] = V. Para este tipo de subconjunto de V demos o nome de base algébrica. Agora estamos interessados em saber algo sobre a cardinalidade do conjunto B, mas particularmente quando dim K V =, gostaríamos de saber se B é enumerável. O próximo resultado nos fornece um método que nos permite decidir se alguns espaços vetoriais tem base enumerável. Mais precisamente: 2
3 Proposição 1. Seja E um espaço de Banach de dimensão infinita então E não possui base algebrica enumerável. Demonstração. Suponhamos que exista uma base algébrica enumerável B = {v j : j N} de um espaço de Banach de dimensão infinita E. Neste caso E = F n, onde cada F n = [{v 1,..., v n }]. Por ter dimensão finita, cada F n é n=1 fechado, e potanto pelo teorema de Baire, existe n 0 N, tal que int (F n0 ). Isso é um abusrdo, pois F n0 E por E ter dimensão infinita e subespaços próprios de espaços normados sempre tem interior vazio. A proposição 1 é consequência do: Teorema de Baire 1. Seja (M, d) um espaço métrico completo e (F n ) n N uma sequência de subconjuntos fechados de M tais que M = F n. Então existe n 0 N tal que F n tem interior não-vazio. n=1 2 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange Consideremos, a título de motivação para o conceito a ser introduzido aqui, um subgrupo não trivial H do grupo aditivo Z. Portanto H é necessariamente cíclico, ou seja, H possui um elemento n > 1 tal que H = [n]. Observemos então que quaisquer que sejam a, b Z : a b mod n a b H, fato esse que estabelece uma correspondência entre grupos de Z e as relações de congruência, módulo n, sobre Z. Essa observação pode ser generalizada, como veremos a seguir, para um grupo arbitrário (G, ) e para um subgrupo arbitrário H de G. Proposição 2. Seja G um grupo e H G um subgrupo. (i) a relação sobre G definida por a b a 1 b H, é uma relação de equivalência. (ii) Se a G, então a classe de equivalência determinada por a é o conjunto ah = {ah h H}. Demonstração. Provaremos somente o item (ii). Lembremos que a = { x G x 1 a H }. Então dado x a, tem-se x 1 a = h, para um conveniente h H. Daí,x = ah 1 e, portanto, x ah, uma vez que h 1 H. Por outro lado, se x ah, então x = ah, par algum h H. Daí, x 1 a = h 1 H e, portanto, x 1 a H. De onde, x a. Dessas duas conclusões, segue que a = ah. Definição 3. Para cada a G, a classe de equivalência ah definida pela relação introduzida na proposição 2 é chamada de classe lateral à direira, módulo H, determinada por a. Uma decorrência imediata da proposição anterior é que o conjunto das classes laterais à direita, módulo H, determina uma partição em G, ou seja: (i) se a G, então ah ; (ii) se a, b G, então ah = bh ou ah bh = ; (iii) a união de todas as classes laterais é igual a G. 3
4 Proposição 3. Seja H um subgrupo de G. Então duas classes laterais quaisquer módulo H são subconjuntos de G que têm a mesma cardinalidade. Demonstração. Sejam a, b G, e considere as classes ah e bh. Defina f : ah ah bh bh, segue que f é bijetora, de fato: (i) (injetora) Se h 1, h 2 H e f(ah 1 ) = f(ah 2 ), tem-se bh 1 = bh 2, consequentemente h 1 = b 1 (bh 1 ) = b 1 (bh 2 ) = h 2. (ii) (sobrejetora)seja y bh. Então tomando x = ah, tem-se: f(x) = f(ah) = bh = y. Se G é um grupo finito, então o conjunto quociente G/H também é finito. O número de elementos distintos de G/H é chamado índice de H em G e é denotado por (G : H). Teorema de Lagrange 1. Seja H um subgrupo de um grupo finito G. Então o (G) = o (G : H) e, portanto, o (H) o (G). Demonstração. Suponhamos (G : H) = r e seja G/H = {a 1 H, a 2 H,..., a r H}. Então, r G = a i H e a i H a j H =, i j. i=1 Mas devido proposição 3, o número de elementos de cada uma das classes laterais é igual ao número de elementos de H, ou seja, é igual a o (H). Portanto: o (G) = o (H) o (H), em que o número de parcelas é r = (G : H). De onde: o (G) = (G : H) o (H) e o (H) o (G). Corolário 1. Seja G um grupo finito. Então a ordem de um elemento a G divide a ordem de G e o quociente é (G : H), em que H = [a]. Demonstração. Basta lembrar que a ordem de a é igual à ordem de [a] e que, devido ao teorema de Lagrange: o (G) = (G : H) o ([a]). Corolário 2. Se a é um elemento de um grupo finito G, então a o(g) = e, onde e é o elemnto neutro de G. Demonstração. Seja h a ordem de a. Portanto, h é o menor inteiro estritamente positivo tal que a h = e. Mas, devido ao corolário anterior: o (G) = (G : H) h em que H = [a]. Portanto: a o(g) = a (G:H)h = ( a h) (G:H) = e (G:H) = e. 4
5 Corolário 3. Seja G um grupo finito cuja ordem é um número primo. Então G é cíclico e os únicos subgrupos de G são os triviais, ou seja, {e} e o próprio G. Demonstração. Seja p = o (G). Como p > 1, o grupo G possui um elemento a diferente do elemento neutro. Assim, se H = [a], o teorema de Lagrange garante que o (H) p. Logo, o (H) = 1 ou p e, portanto, H = {e} ou H = G. Como a primeira dessas hipóteses é impossível, então G = H e, portanto, G é cíclico. Por outro lado, se J é um subgrupo de G, então, ainda devido ao teorema de Lagrange, o (J) o (G). Daí, o (J) = 1 ou p e, portanto, J = {e} ou J = G. Exemplo 1. Seja G um grupo de ordem p n, em que p é um número primo e n > 1. Mostre que a ordem de um elemento qualquer de G é uma potencia de p. Solução: Seja a G, se a for o elemento neutro o resultado é imediato, se a e, consideremos o subgrupo H = [a], então pelo teorema de Lagrange a o (H) divide o (G), portanto o (H) = p α, onde α N e 1 α n. E pelo fato de o (H) = o (a), concluímos o resultado. Poderíamos agora nos indagar se a recíproca do teorema de Lagrange é verdadeira, isto é, se G é um grupo finito e m dividi a ordem de G então G adimite um subgrupo H de ordem m. A resposta para essa questão é não, um contraexemplo pode ser encontrado no grupo S 4 grupo simétrico de grau 4. Referências [1] Domingues, Hygino H. Álgebra Moderna. Atual Editora,2003. [2] Mirian Pereira Mendes, Roberta Godoi Wik Atique, Valdir Antonio Menegatto, notas didáticas de álgebra linear USP, [3] Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira, Fundamentos de análise funcional, SBM,
Disciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia maisDef. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC,
ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado
Leia maisProf. Márcio Nascimento. 22 de julho de 2015
Núcleo e Imagem Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo Prof. Susie C. Keller Núcleo de uma Definição: Chama-se núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto
Leia maisA ideia de coordenatização (2/2)
8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia mais2.2 Subespaços Vetoriais
32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
Leia maisDicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima.
Dicas para a 6 a Lista de Álgebra 1 (Conteúdo: Homomorfismos de Grupos e Teorema do Isomorfismo para grupos) Professor: Igor Lima. 1 /2013 Para calcular Hom(G 1,G 2 ) ou Aut(G) vocês vão precisar ter em
Leia maisÁlgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais
Leia maisESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}.
ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA 1. Relações de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre um conjunto X, isto é, uma rel ção binária que satisfaz as seguintes propriedades i. (Prop. Reflexiva.)
Leia maisLista 1 para a P2. Operações com subespaços
Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos
Leia mais1 Propriedades das Funções Contínuas 2
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES
Leia mais1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5.
UFPB/PRAI/CCT/DME - CAMPUS II DISCIPLINA: Álgebra Linear ALUNO (A): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 a PARTE: QUESTÕES TIPO VERDADEIRO OU FALSO COM JUSTI- FICATIVA. 1. O conjunto dos polinômios de grau m com
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisCapítulo 5: Transformações Lineares
5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................
Leia maisUM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA
UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto
Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum
Leia maisÅaxwell Mariano de Barros
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................
Leia maisÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7
. ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS Belo Horizonte
Leia mais8 8 (mod 17) e 3 34 = (3 17 ) 2 9 (mod 17). Daí que 2 67 + 3 34 8 + 9 0 (mod 17), o que significa que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 17.
Prova Teoria de Números 23/04/203 Nome: RA: Escolha 5 questões.. Mostre que 2 67 + 3 34 é múltiplo de 7. Solução: Pelo teorema de Fermat 2 6 (mod 7 e 3 7 3 (mod 7. Portanto, 2 67 = 2 64+3 = ( 2 6 4 8 8
Leia maisSomatórias e produtórias
Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +
Leia maisFUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da
FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto
Leia maisÁlgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa
Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares
Leia maisQUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS
LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução
Leia mais¹CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS,Brasil, oliveiralimarafael@hotmail.com. ²CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS, Brasil.
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 36 INTRODUÇÃO A CRIPTOGRAFIA RSA Rafael Lima Oliveira¹, Prof. Dr. Fernando Pereira de Souza². ¹CPTL/UFMS, Três Lagoas,
Leia maisMonografia sobre R ser um Domínio de Fatoração Única implicar que R[x] é um Domínio de Fatoração Única.
Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Departamento de Matemática Monografia sobre R ser um Domínio de Fatoração Única implicar que R[x] é um Domínio
Leia maisAULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS
Disciplina: Matemática Computacional Crédito do material: profa. Diana de Barros Teles Prof. Fernando Zaidan AULA 6 LÓGICA DOS CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem
Leia maisExpansão linear e geradores
Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;
Leia maisCAPÍTULO 4. A Produção de Significados para a Noção de Base: Um Estudo de Caso
CAPÍTULO 4 A Produção de Significados para a Noção de Base: Um Estudo de Caso 77 4. Um Estudo Preliminar Na primeira fase de elaboração das atividades do estudo de caso, tentamos reunir alguns elementos
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisx0 = 1 x n = 3x n 1 x k x k 1 Quantas são as sequências com n letras, cada uma igual a a, b ou c, de modo que não há duas letras a seguidas?
Recorrências Muitas vezes não é possível resolver problemas de contagem diretamente combinando os princípios aditivo e multiplicativo. Para resolver esses problemas recorremos a outros recursos: as recursões
Leia maisPARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisMÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA
1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003 2 CONTEÚDO 1 - Introdução
Leia maisESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO
ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.
Leia maisEspaços não reversíveis
{Nome da seção} Notas de aula Espaços não reversíveis Fernando Lucatelli Nunes UnB-UC/UP 1 Se X e Y são espaços topológicos quaisquer, o gráfico de uma função f : X Y é o conjunto G( f )={(x, f (x)) :
Leia maisAplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números
Aplicações de Combinatória e Geometria na Teoria dos Números Nesse artigo vamos discutir algumas abordagens diferentes na Teoria dos Números, no sentido de envolverem também outras grandes áreas, como
Leia maisCapítulo 1. x > y ou x < y ou x = y
Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos
Leia maisSobre Domínios Euclidianos
Sobre Domínios Euclidianos Clarissa Bergo Bianca Fujita Lino Ramada João Schwarz Felipe Yukihide Setembro de 2011 Resumo Neste texto, apresentaremos formalmente o que vem a ser domínio euclidiano, alguns
Leia maisMD Sequências e Indução Matemática 1
Sequências Indução Matemática Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Sequências e Indução Matemática 1 Introdução Uma das tarefas mais importantes
Leia maisUniversidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas
1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações
Leia maisRecordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.
Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisNOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V
Leia maisO Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48
Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração
Leia maisCAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são
Leia maisBases Matemáticas. Aula 2 Métodos de Demonstração. Rodrigo Hausen. v. 2013-7-31 1/15
Bases Matemáticas Aula 2 Métodos de Demonstração Rodrigo Hausen v. 2013-7-31 1/15 Como o Conhecimento Matemático é Organizado Definições Definição: um enunciado que descreve o significado de um termo.
Leia maisExercícios resolvidos P2
Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte
Leia maisEstruturas Discretas INF 1631
Estruturas Discretas INF 1631 Thibaut Vidal Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea, Rio de Janeiro - RJ, 22451-900, Brazil
Leia maisSociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1
Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras
Leia maisAnálise de Arredondamento em Ponto Flutuante
Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto
Leia maisFunção. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:
Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:
Leia maisAula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)
ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado
Leia maisPonto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.
Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,
Leia maisRELAÇÕES BINÁRIAS Produto Cartesiano A X B
RELAÇÕES BINÁRIAS PARES ORDENADOS Um PAR ORDENADO, denotado por (x,y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento e y é o Segundo elemento do par A ordem é relevante em um par ordenado Logo, os
Leia maisMD Teoria dos Conjuntos 1
Teoria dos Conjuntos Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Teoria dos Conjuntos 1 Introdução O que os seguintes objetos têm em comum? um
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisMarília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira
Leia maisPropriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade
Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução
Leia maisOndas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E
Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras
Leia mais12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição
90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em
Leia maisQual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo?
Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Elon Lages Lima IMPA, Rio de Janeiro Quando pensamos num polígono convexo, imaginamos seus vértices todos apontando para fora, ou seja, que ele não possui
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 2. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade II. Prof. Samuel Feitosa
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível Prof. Samuel Feitosa Aula Divisibilidade II Definição 1. Dados dois inteiros a e b, com a 0, dizemos que a divide b ou que a é um divisor
Leia maisFACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação
Leia maisResíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA
Resíduos Quadráticos e Fatoração: uma aplicação à criptoanálise do RSA Charles F. de Barros 20 de novembro de 2008 Resumo Faremos uma breve introdução ao conceito de resíduos quadráticos, descrevendo em
Leia maisTeorema (Algoritmo da Divisão)
Teorema (Algoritmo da Divisão) Sejam a e b números inteiros, com b > 0. Então existem números inteiros q e r, únicos e tais que a = bq + r, com 0 r < b. Demonstração. Existência: Consideremos S = {a bk
Leia maisChapter 2. 2.1 Noções Preliminares
Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências
Leia maisn. 33 Núcleo de uma transformação linear
n. 33 Núcleo de uma transformação linear Chama-se núcleo de uma transformação linear f: V W ao conjunto de todos os vetores v V que são transformados em 0 W. Indica-se esse conjunto \por N(f) ou Ker (f).
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear I
Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisUm estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto
Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação
Leia maisPor que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...
Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª
Leia maisx 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a
Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento
Leia maisConceitos Fundamentais
Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;
Leia maisPrincípio da Casa dos Pombos II
Programa Olímpico de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 8 Princípio da Casa dos Pombos II Nesta aula vamos continuar praticando as ideias da aula anterior, aplicando o
Leia maisResolução de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)
Leia maispor séries de potências
Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio
Leia maisAluno do Curso de Lic. em Matemática da UFMS; e mail: tmviana2000@gmail.com;
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 26 GRUPOS DE PERMUTAÇÕES E ALGUMAS DE PROPOSIÇÕES Thiago Mariano Viana 1, Marco Antônio Travasso 2 & Antônio Carlos
Leia maisFundamentos de Matemática Elementar (MAT133)
Fundamentos de Matemática Elementar (MAT133) Notas de aulas Maria Julieta Ventura Carvalho de Araújo (Colaboração: André Arbex Hallack) Março/2010 i Índice 1 Conjuntos 1 1.1 A noção de conjunto e alguns
Leia maisIntrodução à Teoria de Grupos Grupos cíclicos Grupos de permutações Isomorfismos Teorema de Lagrange Subgrupos normais e grupos quociente
Classes laterais Sejam G um grupo, H um subconjunto de G e a um elemento de G. Usamos as seguintes notações: ah = {ah h H} e Ha = {ha h H}. Definição (Classe lateral de H em G) Seja H um subgrupo do grupo
Leia mais2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea
2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais
Leia maisAula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA
Leia maisPrincípio das casas de pombo
Princípio das casas de pombo Márcia R. Cerioli IM e COPPE, UFRJ Renata de Freitas IME, UFF Petrucio Viana IME, UFF Maio de 2014 1 Introdução Neste texto, apresentamos e exemplificamos o Princípio das Casas
Leia maisMaterial Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória Segundo Ano do Ensino Médio Prof Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof Antonio Caminha Muniz
Leia maisTEOREMA DE ZORN DAS AULAS DE ANÁLISE SUPERIOR DO PROF. A. WEIL EDISON FARAH
TEOREMA DE ZORN DAS AULAS DE ANÁLISE SUPERIOR DO PROF. A. WEIL EDISON FARAH 1. Um importante teorema de caráter existencial, que intervem na teoria dos conjuntos, é o chamado Teorema de Zorn, devido a
Leia maisExp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2
Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência
Leia mais2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear
Notas de Aula Álgebra Linear Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisNotas de Aula Álgebra Linear II IFA Prof. Paulo Goldfeld Versão
Notas de Aula Álgebra Linear II IFA 2007.1 Prof. Paulo Goldfeld Versão 2007.03.29 1 2 Contents 2 Espaços Vetoriais 5 2.1 Espaços e Subespaços....................... 5 2.2 Independência Linear.......................
Leia maisSeqüências, Limite e Continuidade
Módulo Seqüências, Limite e Continuidade A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, ites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos
Leia maisElementos de Matemática Discreta
Elementos de Matemática Discreta Prof. Marcus Vinícius Midena Ramos Universidade Federal do Vale do São Francisco 9 de junho de 2013 marcus.ramos@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~marcus.ramos Marcus
Leia maisCapítulo 2. Álgebra e imagens binárias. 2.1 Subconjuntos versus funções binárias
Capítulo 2 Álgebra e imagens binárias Em Análise de Imagens, os objetos mais simples que manipulamos são as imagens binárias. Estas imagens são representadas matematicamente por subconjuntos ou, de maneira
Leia maisUniversidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008
Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado
Leia maisRESUMO 2 - FÍSICA III
RESUMO 2 - FÍSICA III CAMPO ELÉTRICO Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia, podemos
Leia mais