TEOREMA DE ZORN DAS AULAS DE ANÁLISE SUPERIOR DO PROF. A. WEIL EDISON FARAH

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1 TEOREMA DE ZORN DAS AULAS DE ANÁLISE SUPERIOR DO PROF. A. WEIL EDISON FARAH 1. Um importante teorema de caráter existencial, que intervem na teoria dos conjuntos, é o chamado Teorema de Zorn, devido a Max Zorn. A demonstração deste teorema que afirma a existência de pelo menos um elemento maximal num conjunto ordenado indutivo 1 2 baseia-se no conhecido axioma da escolha (ou axioma de Zermelo), frequentemente citado, sob formas diversas, naturalmente equivalentes entre si (o próprio teorema de Zorn pode ser considerado como uma forma de tal axioma). Um dos enunciados do axioma de Zermelo, que se encontra no livro de N. Bourbaki (Théorie des Ensembles) é o seguinte: Seja Rtx,yu uma relação entre um elemento genérico x de um conjunto E e um elemento genérico y de um conjunto F. As relações e qualquer que seja x P E existe y P F tal que Rtx, yu existe uma aplicaçãofdeeemf 3 tal que, qualquer que seja x P E, Rtx,fpxqu, são equivalentes. O axioma de Zermelo consiste, precisamente, na afirmação dessa equivalência. 2. É fácil ver que o axioma de Zermelo, enunciado como acima, é equivalente à seguinte proposição (que será um segundo enunciado do referido axioma): 1 As definições de elemento maximal de um conjunto ordenado, e de conjunto ordenado indutivo serão dadas mais adiante. 2 No seu trabalho A remark on method in transfinite algebra BULLETIN OF THE AMERI- CAN MATHEMATICAL SOCIETY - VOLUME XLI, NUMBER 10-OCTOBER, 1935), Max Zorn admitiu o referido teorema como axioma. 3 Uma aplicação f de um conjunto E num conjunto F é uma função definida em E, com valores em F; a cada x de E corresponde, pela aplicação f, um único y de F, e escrevemos, então: y fpxq. 1

2 2 EDISON FARAH Se I é um qualquer conjunto de índices e px i q ipi é uma família de subconjuntos de um conjunto C tais que X i H 4, qualquer que seja i P I, o produto ś ipi X i não é vazio. Mostremos que o primeiro enunciado acima implica o segundo. Com efeito, seja I um conjunto qualquer de índices, px i q ipi uma família de subconjuntos de um conjunto C, tais que X i H, qualquer que seja i P I, e consideremos a relação Rti,yu (i P I, y P C) que consista na afirmação y P X i. Ora, qualquer que seja i P I existe y P C tal que Rti,yu, pois nenhum dos X i é vazio. Portanto, pelo primeiro enunciado, existe pelo menos uma aplicação f de I em C tal que, qualquer que seja i P I, Rti,fpiqu; em outras palavras, se X i H qualquer que seja i P I, existe pelo menos uma aplicação f de I em C tal que, para todo i P I, fpiq P X i. Como o produto ś ipi X i é, por definição, o conjunto de tais aplicações f, ele não é vazio, donde se conclui o segundo enunciado. Reciprocamente, o segundo enunciado implica o primeiro. De fato, seja Rti,yu uma qualquer relação entre um elemento genéricoi P I e um elemento genéricoy P C, que goze da seguinte propriedadep: qualquer que sejai P I, existe pelo menos um y P C tal que Rti,yu. Designando por X i o conjunto dos y P C tais que Rti,yu, teremos, em virtude da propriedade P, X i H qualquer que seja i P I; então, pelo segundo enunciado, temos ś ipi X i H, isto é, existe pelo menos uma aplicaçãofdeiemctal que, qualquer que seja i P I, fpiq P X i, ou seja, Rti,fpiqu, para todo i P I. Em resumo, admitindo o segundo enunciado, a propriedade P da relação R tem por conseqüência: existe uma aplicaçãofdeiemctal que, qualquer que sejai P I,Rti,fpiqu, o que demonstra nossa afirmação. 3. Voltando ao teorema de Zorn, os termos maximal e indutivo que intervêem no seu enunciado e cujos significados daremos a seguir encontram-se no já citado livro de N. Bourbaki (Théorie des Ensembles), assim, como todos os conceitos e algumas notações que utilizamos aqui. Vejamos, então, a definição de 4. Elemento maximal (e elemento minimal). Seja E um conjunto ordenado por uma relação de ordem que se escreve x ě y (x,y P E). Diz-se que um elemento x de um subconjunto X de E é um elemento maximal (minimal) de X se não existe, em X, nenhum elemento z tal que z ą x (respect. z ă x). 4 Designamos pelo símbolo H, o conjunto vazio.

3 TEOREMA DE ZORN 3 EXEMPLOS: pe 1 q. Seja E o conjunto dos pontos de um plano referidos a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e estabeleçamos entre os elementos de E a seguinte relação de ordem: P ě P 1 (P de coordenadas ξ e η, P 1 de coordenadas ξ 1 e η 1 ), quando, na relação de ordem habitual entre os números reais se tem: p0, 1q ξ ě ξ 1 e η ě η 1. Com isto, vê-se facilmente que, por exemplo, o conjuntoados pontos p0, 0q p1, 0q do triângulo retângulo de vérti- ces, digamos: p0, 0q p1, 0q e p0, 1q FIGURA 1. (fig. 1), tem, para elementos maximais, todos os pontos da hipotenusa. pe 2 q. Seja F o conjunto de todas as partes do espaço ordinário E, isto é, F peq 5. Se entre os elementos de peq (que são partes de E) estabelecermos a seguinte relação de ordem X ě Y px P peq, Y P peqq, quando X Ą Y (isto é, quando contém Y) diremos que peq é um conjunto ordenado pela relação de inclusão. Posto isto, seja F 1 o conjunto das esferas e semi-espaços de E cujos contornos passam pela origem; cada um de tais semi-espaços é um elemento maximal de F, como se vê facilmente. Pode acontecer que um conjunto ordenado não possua elemento maximal (ou minimal). Assim, neste segundo exemplo, se retirarmos de F 1 os semiespaços a que nos referimos, obteremos um conjunto F 2 que não possui nenhum elemento maximal. O conjunto dos subconjuntos infinitos enumeráveis de um conjunto dado, não enumerável, não tem nenhum elemento maximal, nem minimal. 5. Conjunto ordenado indutivo. Para a definição de conjunto ordenado indutivo são necessárias mais duas noções: a de extremo superior de um conjunto ordenado e a de conjunto totalmente ordenado. 5 Designaremos sistematicamente por peq o conjunto das partes de um conjunto E qualquer.

4 4 EDISON FARAH Extremo superior. Seja X uma parte de um conjunto ordenado E. Dizemos que um elemento s P E é extremo superior de X, e escrevemos s sup pxq, quando: 1º) Qualquer que seja x P E tem-se s ě x; 2º) Se s 1 P E é tal que, qualquer que seja x P X, deve-se ter, necessariamente, s 1 ě s. s 1 ě x, NOTA. Se na definição acima substituirmos o sinal ě por ď, teremos a definição de extremo inferior, isto é, o elemento s será o extremo inferior do conjunto X. OBSERVAÇÃO. Decorre, da definição, que se um conjunto X admite um extremo superior (interior) s, este é único. Se s sup pxq (inf.pxq), e s P X s se diz máximo (respect. mínimo) de X. EXEMPLOS: pe 3 q. Seja T o conjunto de todas as esferas de centro na origem e raios não maiores que 1, do espaço ordinário E. O conjunto T que é uma parte do conjunto ordenado por inclusão peq admite, para extremo superior, a esfera de centro na origem e raio 1. Como esta esfera pertence a T ela é o elemento máximo de T. pe 4 q. O conjunto A, considerado no exemplo (e 1 ), admite para extremo superior o ponto Q p1, 1q (fig. 4). A origem é o extremo interior de A e é o elemento mínimo deste conjunto. Um conjunto ordenado pode não admitir extremo superior (inferior). Assim, por exemplo, considerandose o conjunto R dos números racionais (ordenado pela relação de ordem p0, 1q Q p1, 1q habitual), os números de R cu- jos quadrados são menores que 2 formam um conjunto X que não admite p0, 0q p1, 0q extremo superior. Conjunto totalmente ordenado. Seja E um conjunto ordenado pela relação x ě y. Um subconjunto X de E se diz totalmente ordenado se, quaisquer que sejam x e y pertencentes a X, se tenha: ou x ě y, ou x ď y. FIGURA 2.

5 TEOREMA DE ZORN 5 Em outras palavras, X é totalmente ordenado quando uma das três relações: x ą y, x y e x ă y é sempre verificada, e, a verificação de uma delas exclui a de outras duas. EXEMPLO: pe 5 q. No exemplo (e 1 ) o conjunto X dos pontos da bissetriz do primeiro quadrante é totalmente ordenado; o conjunto E dos pontos do plano não o é. Vejamos, enfim, a definição de Conjunto ordenado indutivo. Um conjunto ordenado E se diz indutivo quando todo subconjunto de E, totalmente ordenado, admite um extremo superior. EXEMPLO: pe 6 q. O conjunto F dos subgrupos de um grupo G ( pgq ordenado pela relação de inclusão) é indutivo. Com efeito, se F 1 é uma parte qualquer de F, totalmente ordenada, a reunião dos subgrupos de F 1 (reunião esta, que é, como facilmente se vê, um subgrupo de G) é o extremo superior de F. Um exemplo de conjunto ordenado não indutivo é o conjunto ordenado, E, citado no exemplo (e 1 ). De fato, o conjunto dos pontos da bissetriz do 1.º quadrante é totalmente ordenado e não admite extremo superior. 6. Passemos agora, à demonstração do teorema de Zorn do qual um dos enunciados é o seguinte: Todo conjunto ordenado indutivo, E, possui pelo menos um elemento maximal. A demonstração deste teorema baseia-se num lema fundamental, que chamaremos de L, e no axioma de Zermelo. A prova do lema L cujo enunciado é: Seja E um conjunto ordenado indutivo. Se, então, f é uma aplicação de E em E tal que, para todo x P E, fpxq ě x, existe pelo menos um x P E tal que fpxq x, independe, como veremos, do axioma de Zermelo. 7. Vejamos como se conclui o teorema de Zorn, uma vez admitidos o lema L e o axioma da escolha. Para isso, a cada x P E façamos corresponder o conjunto H x definido da seguinte maneira: H x tyu yąx py P Eq, se existe y P E tal que y ą x;

6 6 EDISON FARAH H x txu se não existe y P E tal que y ą x. 6 Como, qualquer que seja x P E, H x H, podemos afirmar, em virtude do axioma de Zermelo, a existência de uma aplicação f de E em E, tal que, qualquer que seja x P E, fpxq P H x, o que equivale a dizer que fpxq ě x, qualquer que seja x P E. Portanto, do lema L segue-se que existe em E pelo menos um elemento x b tal que fpbq b. Este elemento, b, é maximal, pois, por um lado temos fpbq P H b, e, por outro, fpbq b, donde H b tbu, o que nos mostra a inexistência de um elementoy P E tal quey ą b; portanto b é, efetivamente, um elemento maximal de E, ficando, assim, demonstrado o teorema de Zorn. 8. Demonstração do lema L. Afim de provar o lema L demonstraremos, primeiramente, três lemas auxiliares que chamaremos de l 1, l 2 e l 3 ; para isso vamos utilizar certas definições que serão introduzidas no número seguinte. 9. Seja f uma aplicação de E em E, tal que fpxq ě x, qualquer que seja x P E; fixemos um elemento a de E e designemos por A a família dos subconjuntos X de E que gozam das três seguintes propriedades: pp 1 q. a P X; pp 2 q. fpxq Ă X, isto é, se x P X, fpxq P X; pp 3 q. Se T Ă X e T é totalmente ordenado, sup ptq P X. A família A não é vazia, pois o conjunto E, por exemplo, goza das três propriedades citadas. Por outro lado, a intersecção de conjuntos de A pertence, evidentemente, a essa família; em particular a intersecção de todos os conjuntos de A pertence a A e é o menor conjunto de A. Designemos por A essa intersecção, isto é, ponhamos A č XPAX e introduzamos os conjuntos I x e S x (x P A) definidos da seguinte maneira: I x conjunto dos y P A tais que y ď x; S x conjunto dos y P A tais que y ě x. Posto isto, se designarmos por B o conjunto dos elementos x P A que gozam da seguinte propriedade: y P I x implica: ou y x ou fpyq ď x", 6 Com o símbolo tyuyąx designamos o conjunto de todos os y de E tais que y ą x. O símbolo txu designa o conjunto que só contém o elemento x.

7 TEOREMA DE ZORN 7 resultará o seguinte 10. LEMA l 1. Se x é um elemento qualquer de B 7 tem-se: A I x YS fpxq. Demonstração. Provemos primeiramente que qualquer que seja x P B, a P I x. Seja Z o conjunto dos elementos z P E tais que z ě a e mostremos que Z P A. De fato, Z goza da propriedade (P 1 ), o que é imediato. Quanto à propriedade (P 2 ) podemos afirmar o mesmo, pois fpzq ě z ě a, donde fpzq P Z. O conjunto Z também goza da propriedade (P 3 ), pois se W é totalmente ordenado e W Ă Z, temos: sup pwq ě a, donde sup pwq P Z. Portanto, Z P A, donde A Ă Z, o que nos permite afirmar que se x P A, x ě a, 8 isto é, a P I x qualquer que seja x P B, pois B Ă A. Ponhamos agora X 1 I x YS fpxq px P Bq e mostremos que X 1 P A. A propriedade (P 1 ) é satisfeita por X 1, pois, como mostramos há pouco, a P I x, qualquer que seja x P B, donde a P X 1. O conjunto X 1 também satisfaz (P 2 ). de fato, se y P X 1, dois casos podem dar-se: 1º) y P I x ; 2º) y P S fpxq. No primeiro caso, ou y x, ou fpyq ď x (definição de B); se y x, teremos fpyq fpxq P S fpxq, donde fpyq P X 1 ; se y ă x, fpyq ď x, donde fpyq P I x, e, portanto, fpyq P X 1. Considerando, agora, o segundo caso, isto é, y P S fpxq, teremos, por ser fpyq ě y ě fpxq, fpyq P S fpxq, donde fpyq P X 1. O conjunto X 1 goza, pois, da propriedade (P 2 ). Vejamos a propriedade (P 3 ). Para isso mostraremos primeiramente que se T é um conjunto totalmente ordenado, contido em I x, resulta: sup ptq P I x. Com efeito, qualquer que seja t P T devemos ter t P I x, donde t ď x. Portanto, pela definição de extremo superior, segue-se que sup ptq ď x, donde sup ptq P I x. Se, agora, T Ă X 1, ou será T Ă I x, ou existirá pelo menos um t P T tal quet P S fpxq, isto é,t ě fpxq. SeT Ă I x, teremos, conforme notamos há pouco, sup ptq P I x, donde sup ptq P X 1 ; suponhamos, então, que existe um t P T tal que t ě fpxq; como sup ptq P A (pois A Ă X 1 ), segue-se que sup ptq P S fpxq, donde sup ptq P X 1, ficando, assim, verificada a propriedade (P 3 ). 7 O conjunto B é, como mostraremos a seguir, não vazio. 8 Isto equivale a dizer que Ia tau, o que, por sua vez, prova que B não é vazio, pois a P B.

8 8 EDISON FARAH Portanto X 1 P A. Como A é o menor dos conjuntos que gozam das três propriedades (P 1 ), (P 2 ), (P 3 ), e, por outro lado, X 1 Ă A, segue-se que X 1 A, isto é, A I x YS fpxq px P Bq. 11. LEMA l 2. Seja T um subconjunto de B, totalmente ordenado. Designando, então, por s o extremo superior de T, tem-se ď (1) I x I x Y tsu. tpt Demonstração. Temos ď (2) I s Ą I x Y tsu, tpt pois, seypertence ao segundo membro de (2), ouy s (e, neste caso,y P I s ), ou y P Ť tpt I t, donde existirá um t P T tal que y ď t; mas y ď t ď s (pois s sup ptq) e, como t P T Ă B Ă A, teremos, também, y P I s. Seguem-se, portanto, a relação (2). Por outro lado, se y P I s, isto é, y P A e y ď s, y pertencerá ao segundo membro de (2). Com efeito, se y s é imediato; se, então, y ă s, existe um t 1 P T tal que t 1 ě y, pois, do contrário, isto é, se y R I t qualquer que fosse t P T, resultaria, em virtude da igualdade A I t YS fptq pt P T Ă Bq, y ě fptq ě t (t qualquer de T), donde y ě s, o que contradiz a hipótese y ă s. Fica, pois demonstrada a inclusão do primeiro membro de (2) no segundo membro da mesma relação, resultando, disso, a igualdade (1), como afirma o lema l LEMA l 3. Enunciado. A B. Demonstração. Bastará provar que B P A (pois B Ă A e A é o mínimo de A), isto é, que B goza das três propriedades (P 1 ), (P 2 ) e (P 3 ). O conjunto B goza da propriedade (P 1 ), pois a P B (n. 10, chamada 8). A propriedade (P 2 ) ( x P B implica fpxq P B ) ficará verificada se provarmos que y P I f pxq tem por conseqüência y fpxq ou fpyq ď fpxq, onde x P B. Ora, da igualdade A I x YS fpxq px P Bq (n.º 10, lema l 1 ) concluímos que, se y P A e y ď fpxq, devemos ter y ď x ou y fpxq. Se y ď x, teremos, por ser x P B, ou y x, ou fpyq ď x; para y x será fpyq fpxq, e, para fpyq ď x, resulta fpyq ď fpxq, pois fpxq ě x. Portanto, se y ď fpxq, isto é, y P I fpxq, ou será y fpxq ou fpyq ď fpxq, o que prova a pertinência fpxq P B, seguindo-se, pois, a propriedade (P 2 ).

9 TEOREMA DE ZORN 9 Vejamos a propriedade (P 3 ) ( Se T é totalmente ordenado e T Ă B, s sup ptq P B ). Ora, se T possui elemento máximo a verificação de (P 3 ) é imediata. Suponhamos, então, que T não tenha elemento máximo. Devemos provar que s P B, isto é, que se y P I s, ou temos y s, ou fpyq ď s. Ora, em virtude do lema anterior, o fato de que y P I s implica y s ou y P Ť tpt I t. Se y s a condição é satisfeita. Suponhamos, então, que y s, isto é, que y P Ť tpt I t. Neste caso haverá um t P T tal que y ď t. Por outro lado, como T não possui elemento máximo haverá um t 1 P T tal que t 1 ą t, donde y ă t 1. Então y P I t, donde, por ser t 1 P B e devendo excluir-se o caso em que y t 1, vem fpyq ď t 1. Mas t 1 ă s, portanto fpyq ă s. Em resumo, se y P I s, ou y s ou fpyq ă s, o que permite afirmar que s P B, isto é, que B goza, também, da propriedade (P 3 ). Portanto, B P A, donde, segundo o que observamos no princípio deste número, B A, 13. LEMA L. Existe um elemento b P E tal que fpbq b. c.q.d. Demonstração. Provemos, em primeiro lugar, que A é totalmente ordenado. Sejam, com efeito, x e y dois elementos quaisquer de A e, portanto, de B, pois B A. Temos, então, A I x YS fpxq. Comoy P A, ou seráy P I x, ouy P S fpxq, isto é, ouy ď x ouy ě fpxq ě x. Portanto, A é totalmente ordenado. Seja, então, b sup paq. Como A P A, teremos b P A [prop. (P 3 )], pois A é um conjunto totalmente ordenado contido no próprio A. Da relação b P A segue-se [prop. (P 2 )] que fpbq P A. Ora, por ser b sup paq temos b ě fpbq, e, pela definição f, fpbq ě b; portanto, fpbq b, ficando, enfim, demonstrado o lema L. Pelo que observamos no n.º 7, segue-se o teorema de Zorn. OUTRAS FORMULAÇÕES DO TEOREMA DE ZORN 14. SejaEum conjunto qualquer e suponhamos que peq esteja ordenado pela relação de inclusão. O teorema de Zorn pode, então, enunciar-se do seguinte modo: pe 2 q. Se F é uma família de subconjuntos de E, tal que: a reunião dos conjuntos de toda subfamília totalmente ordenada, F 1, de F, pertence a F,

10 10 EDISON FARAH existe, nesta família, pelo menos um conjunto maximal M (isto é, um conjunto que não é parte própria de nenhum subconjunto de E pertencente a F). Com efeito, dizer que a reunião dos conjuntos de toda subfamília totalmente ordenada F 1 Ă F pertence a F equivale a dizer que F 1 admite, em F, um extremo superior. Em outras palavras: a família F (ordenada pela relação de inclusão) é indutiva, e, portanto, se lhe pode aplicar o teorema de Zorn com o enunciado (E 2 ). 15. Uma outra formulação do mesmo teorema é a seguinte: pe 3 q. Seja P uma propriedade comum a certos subconjuntos finitos de um conjunto E. Existe, em E, pelo menos um subconjunto maximal M tal que toda parte finita de M goza da propriedade P (M é, neste caso, um subconjunto tal que, não existe, em E, nenhum subconjunto A, cujas partes finitas gozem da propriedade P, do qual M seja um subconjunto próprio). Com efeito, seja F a família dos subconjuntos C de E tais que toda parte finita de cada conjunto C P F goze da propriedade P e seja F 1 uma subfamília qualquer de F, totalmente ordenada (a relação de ordem em F é a de inclusão). A reunião U dos conjuntos de F 1 pertence a F, pois, dada uma parte qualquer finita B de U e designando por a 1, a 2,...a n os elementos de B, existirão n conjuntos C 1, C 2,...C n, todos da família F 1, tais que a i P C i (i 1, 2,...n); como F 2 é totalmente ordenada, um dos conjuntos C i (i 1, 2,...n), digamos,c k (1 ď k ď n) conterá cada um dosc i, donde C k Ą B, o que nos permite afirmar que B goza da propriedade P e, portanto, U P F. A família F é, pois, segundo observação análoga à que fizemos para o enunciado (E 2 ), indutiva, e, por conseguinte, podemos aplicar-lhe o teorema de Zorn conforme o enunciado (E 3 ). APLICAÇÕES 16. Uma das aplicações do teorema de Zorn, que nos foi sugerida pelo professor J. Dieudonné, é a seguinte: 1. Mostrar que todo conjunto infinito, E, é equipotente ao conjunto EˆE. Para prová-lo admitiremos o seguinte lema (cuja demonstração se obtém, também, utilizando-se o teorema de Zorn): (a) Se A e B são dois conjuntos infinitos, equipotentes a um conjunto C e sem elementos comuns, a reunião A YB é equipotente a C. Posto isto, indicando a relação de equipotência entre dois conjuntos C e D pelo símbolo C D (a negação de C D indicaremos por C j D),

11 TEOREMA DE ZORN 11 consideremos a família F dos subconjuntos A de E tais que A A ˆA 9. Ora, a cada conjunto A de F corresponde uma aplicação biunívoca f A de A ˆ A sobre A. Seja G o conjunto dessas aplicações e ordenemo-lo por prolongamento, isto é, f A ě f B se A Ą B (A P F, B P F) e, se x P B, f B pxq f A pxq. Seja, agora, G 1, uma qualquer subfamília de G, totalmente ordenada (à qual corresponderá a subfamília F 1, de F, que,certamente, será, também, totalmente ordenada pela relação de inclusão), e mostremos que o extremo superior de G 1 é uma aplicação biunívoca do conjunto S Ť APF 1pA ˆAq ` Ť A APF 1 ˆ ` Ť APF 1 A, sobre o conjunto S 1 Ť APF 1 A. Com efeito, ponhamos, para cada x P S, fpxq f M pxq `x P M ˆM, M P F 1. O segundo membro desta igualdade não depende de M (desde que x P MˆM), pois, sendog 1 totalmente ordenado, temos, quaisquer que sejamm em 1 def 1,f M ě f M 1, ouf M ď f M 1, donde, em qualquer caso, sex P MˆM ex P M 1ˆM 1, teremosf M pxq f M 1pxq. Portanto,féuma aplicação desem S 1. Se, agora, y e y 1 (y y 1 ) são dois elementos quaisquer de S 1 existirá, por ser F 1 totalmente ordenado, um conjunto M de F 1 contendo y e y 1, donde y f M pxq e y 1 f M px 1 q (x e x 1 pertencentes a M ˆM) e, portanto, x x 1, poisf M é biunívoca. Masf M pxq fpxq ef M px 1 q fpx 1 q (x ex 1 pertencentes a M ˆM Ă S), portanto f é uma aplicação biunívoca de S S 1 ˆS 1 sobre S 1 ˆE, donde f P G. Por outro lado, f é o extremo superior de G, pois S 1 é o extremo superior de F 1. Portanto, pelo teorema de Zorn, existe, em G, uma aplicação maximal f à qual corresponde o conjunto A de F, isto é, f é uma aplicação biunívoca de A ˆA sobre A, ou ainda: A A ˆA. Mostremos que A E. De fato, se A j E existiria, certamente, no complemento CpA q de A um conjunto infinito A 1 tal que A A Existem subconjuntos de E gozando dessa propriedade. Basta, por exemplo, que A seja enumerável. 10 Com efeito, A não tem potência superior à de CpA q, pois, do contrário, A teria, como se vê facilmente pelo lema (a), potência superior a E, o que é absurdo.

12 12 EDISON FARAH Pondo, então H `A YA 1 ˆ `A YA 1 pa ˆA q Y `A ˆA 1 Y `A 1 ˆA Y `A 1 ˆA 1 e notando que os conjuntos (infinitos)a ˆA 1,A 1ˆA,A 1ˆA 1 não possuem, dois a dois, elementos comuns e são equipotentes a A ˆA A, viria, em conseqüência do lema (a) aplicado duas vezes: H 1 `A ˆA 1 Y `A 1 ˆA Y `A 1 ˆA 1 A A 1. Portanto, existe uma aplicação biunívoca f 1 de H 1 sobre A 1. Seja, então, f aplicação de H pa ˆA q YH 1 sobre A YA 1, definida do seguinte modo: fpxq f pxq se x P A ˆA fpxq f 1 pxq se x P H 1. Então f será uma aplicação biunívoca de H `A YA 1 ˆ `A YA 1 sobre A YA 1 e f ą f, o que é absurdo, pois f é maximal. Portanto devemos ter: A E. Desta relação e de A A ˆA segue-se que como queríamos demonstrar. E E ˆE, 17. Vejamos outra aplicação do teorema de Zorn. Num espaço de Hilbert H (de caráter enumerável ou não) um sistema ortonormal S se diz completo quando o conjunto C de todas as combinações lineares dos elementos de S é totalmente denso em H (isto é, todo conjunto aberto de H contém pelo menos um elemento de C). Demonstra-se que a definição de sistema ortonormal completo como demos acima é equivalente à de sistema ortonormal maximal, isto é, um sistema ortonormal que não é subconjunto próprio de nenhum sistema ortonormal de H. O teorema de Zorn (enunciado (E 4 )) nos permite afirmar que: Num espaço de Hilbert H qualquer existe, sempre, pelo menos um sistema ortonormal completo (isto é, maximal). Basta, com efeito, considerar os subconjuntos finitos de H, tais que cada um deles seja um sistema ortonormal. A propriedade P a que nos aludimos no enunciado (E 3 ), corresponde, aqui, à ortonormalidade.

13 TEOREMA DE ZORN 13 Outras aplicações do teorema de Zorn o leitor encontrará, frequentemente, na álgebra (por exemplo, na demonstração da existência de ideal maximal num anel com elemento unitário 11 ; de corpo real maximal entre um corpo real dado e uma qualquer extensão algébrica desse corpo 12. No livro CONVERGENCE AND UNIFORMITY IN TOPOLOGY, de John W. Tukey, o autor sugere várias aplicações do referido teorema. İİİİİİİİİİ 11 Ver, por exemplo, ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE, par N. Bourbaki (Livre II, Algèbre) pg Encontra-se, por exemplo, em A remark on method in transfinite algebra (BULLETIN OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume XLI, Number 10 October, 1935), by Max Zorn.