ÁLGEBRA LINEAR. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo. Prof. Susie C. Keller

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1 ÁLGEBRA LINEAR Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo Prof. Susie C. Keller

2 Núcleo de uma Definição: Chama-se núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto de vetores v V que são transformados em 0 W. Indica-se esse conjunto por N(T) ou ker(t): N(T) = {v V/ T(v) = 0} Observemos que N(T) V e N(T), pois 0 N(T), tendo em vista que T(0) = 0.

3 Núcleo de uma

4 Núcleo de uma Exemplos:

5 Núcleo de uma

6 Núcleo de uma 2.

7 Núcleo de uma

8 Núcleo de uma Esse conjunto representa uma reta do IR 3 que passa pela origem e tal que todos os seus pontos tem por imagem a origem no IR 2.

9 Núcleo de uma Propriedades: 1. O núcleo de uma transformação linear T:V W é um subespaço vetorial de V. De fato: Sejam v 1 e v 2 vetores pertencentes ao N(T) e IR. Então T(v 1 ) = 0 e T(v 2 ) = 0. Assim: I) T(v 1 + v 2 ) = T(v 1 ) + T(v 2 ) = = 0 Isto é v 1 + v 2 N(T). II) T( v 1 ) = T(v 1 ) = 0 = 0 Isto é v 1 N(T).

10 Núcleo de uma Definições: 1. Dada uma aplicação (função) T:V W, T é injetora se dados u V, v V com T(u)=T(v) tivermos u=v. Em outras palavras, T é injetora se as imagens de vetores distintos são distintas. u v T(u) T(v)

11 Núcleo de uma 2. A aplicação (função) T:V W, T é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W, ou seja T(V) = W (imagem = contra-domínio). Em outras palavras, T é sobrejetora se dado w W, existir v V tal que T(v) = w. v w=t(v)

12 Núcleo de uma Propriedades (continuação): 2. Uma transformação linear T: V W é injetora se, e somente se, N(T) = {0}. Lembramos que uma aplicação T: V W é injetora se v 1, v 2 V: T(v 1 ) = T(v 2 ) implica que v 1 = v 2 ou, T(v 1 ) T(v 2 ) implica que v 1 v 2. A demonstração dessa propriedade tem duas partes:

13 Núcleo de uma a) Vamos mostrar que se T é injetora, então N(T)={0}. De fato: Seja v N(T), isto é, T(v) = 0. Por outro lado, sabe-se que T(0) = 0. Logo T(v) = T(0). Como T é injetora por hipótese, v = 0. Portanto, o vetor zero é o único elemento do núcleo, isto é, N(T) ={0}.

14 Núcleo de uma b) Vamos mostrar que se N(T)={0}, então T é injetora. De fato: Sejam v 1, v 2 V tais que T(v 1 ) = T(v 2 ). Então, T(v 1 ) - T(v 2 ) = 0 ou T(v 1 - v 2 ) = 0 e, portanto v 1 - v 2 N(T). Por hipótese, o único elemento do núcleo é o vetor 0, e, portanto, v 1 - v 2 = 0, isto é v 1 = v 2. Como T(v 1 ) = T(v 2 ) implica v 1 = v 2, T é injetora.

15 Imagem de uma Definição: Chama-se imagem de uma transformação linear T: V W ao conjunto dos vetores de w W que são imagens de pelo menos um vetor v V. Indica-se esse conjunto por Im (T) ou T(V): Im (T) = {w W/T(v) = w para algum v V} Observemos que Im(T) W e Im(T), pois 0 = T(0) Im(T). Se Im(T) = W, T diz sobrejetora, isto é, para todo w W existe pelo menos um v V tal que T(v) = w.

16 Imagem de uma

17 Imagem de uma Exemplos: Seja T:IR 3 IR 3, T(x,y,z) = (x,y,0) a projeção ortogonal do IR 3 sobre o plano xy. A imagem de T é o próprio plano xy. Observemos que o núcleo de T é o eixo dos z: N(T) = {(0,0,z) / z IR}

18 Imagem de uma A imagem da transformação linear identidade I:V V definida por I(v) = v, v V, é todo espaço V. O núcleo é N(I) = {0}. A imagem da transformação nula T:V W definida por T(v) = 0, v V, é o conjunto Im(T) = {0}. O núcleo é todo o espaço V.

19 Imagem de uma Propriedade: A imagem de uma transformação T:V W é um subespaço de W. De fato: Sejam os vetores w 1, w 2 Im(T) e IR. Devemos mostrar que w 1 +w 2 Im(T) e w 1 Im(T), isto é, devemos mostrar que existem vetores v e u pertencentes a V tais que T(v) = w 1 +w 2 e T(u) = w 1. Como w 1, w 2 Im(T), existem vetores v 1, v 2 V tais que T(v 1 ) = w 1 e T(v 2 ) = w 2.

20 Imagem de uma Fazendo v = v 1 + v 2 e u = v 1 tem-se: e T(v) = T(v 1 + v 2 ) = T(v 1 ) + T(v 2 ) = w 1 + w 2 T(u) = T( v 1 ) = T(v 1 ) = w 1 Portanto Im(T) é um subespaço vetorial de W.

21 Teorema da Dimensão Teorema da Dimensão: Seja V um espaço de dimensão finita e T: V W uma transformação linear. Então: dim N(T) + dim Im(T) = dim V.

22 Teorema da Dimensão Observação: Se T: V W é linear e {v 1, v 2,..., v n } gera V, então {T(v 1 ),..., T(v n )} gera Im(T)}. De fato: Seja w Im (T). Então, T(v) = w para algum v V. Como {v 1, v 2,..., v n } gera V, existem escalares a 1, a 2,..., a n tais que: v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n

23 Teorema da Dimensão w = T(v) = T(a 1 v 1 + a 2 v a n v n ) = a 1 T(v 1 ) + a 2 T(v 2 ) a n T(v n ) Portanto: Im(T) = [T(v 1 ), T(v 2 ),..., T(v n )]

24 Teorema da Dimensão Corolários: Seja T:V W uma transformação linear. 1. Se dim V = dim W, então T é injetora se, e somente se, é sobrejetora. De fato: T é injetora N(T) = {0} 0 + dim Im(T) = dim V dim Im(T) = dim W Im(T) = W T é sobrejetora.

25 Teorema da Dimensão De fato: T é sobrejetora Im(T) = W dim Im(T) = dim W dim Im(T) = dim V dim N(T) = 0 N(T) = {0} T é injetora. Numa transformação linear na qual dimv=dimw, se T é injetora (ou sobrejetora), então T é também bijetora (injetora e sobrejetora).

26 Teorema da Dimensão 2. Se dim V = dim W e T é injetora, então T transforma base em base, isto é, se B={v 1,...,v n } é base de V, então T(B) ={T(v 1 ),...,T(v n )} é base de W. De fato: Como dim V = dim W = n, basta mostrar que T(B) é LI. Para tanto, consideremos a igualdade: ou a 1 T(v 1 ) + a 2 T(v 2 ) a n T(v n ) = 0 T(a 1 v 1 + a 2 v a n v n ) = 0

27 Teorema da Dimensão Como T é injetora a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0 Sendo B uma base, B é LI e, portanto a 1 = a 2 =... = a n = 0 Logo, T(B) é uma base de W.

28 Isomorfismo Chama-se isomorfismo do espaço vetorial V no espaço vetorial W a uma transformação T:V W, que é bijetora. Nesse caso, os espaços vetoriais V e W são ditos isomorfos. Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se tiverem a mesma dimensão. A todo isomorfismo T:V W corresponde um isomorfismo inverso T -1 :W V, que também é linear.

29 Isomorfismo Exemplos: 1. O operador linear T:IR 2 IR 2, T(x,y) = (2x+y, 3x+2y) é um isomorfismo no IR 2. Como dim V = dim W, basta mostrar que T é injetora. De fato: N(T) = {(0,0)} o que implica T ser injetora. 2. A transformação linear T:P 2 IR 3, T(at 2 + bt + c) = (a, a + b, b - c) é também isomorfismo.

30 Isomorfismo 3. O espaço vetorial IR 2 é isomorfo ao subespaço W = {(x, y, z) IR 3 / z = 0} do IR 3 (W é o plano xy do IR 3 ). De fato: A aplicação linear T:IR 2 W, tal que T(x,y) = (x,y,0), é bijetora: a cada vetor (x, y) do IR 2 corresponde um só vetor (x, y, 0) de W e, reciprocamente. Logo, IR 2 e W são isomorfos.

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