13 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos
|
|
- Kátia Fialho Madureira
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 3 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos (Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt) 3. Singularidades isoladas Para na prática podermos aplicar o teorema dos resíduos com eficiência, precisamos de conhecer técnicas de cálculo de resíduos. Com esse objectivo vamos enunciar algumas definições e proposições elementares que nos permitirão posteriormente introduzir as referidas técnicas de cálculo de resíduos. Definição 3. Seja f uma função complexa de variável complexa e z 0 C. Dizemosque f tem uma singularidade isolada em z 0 se não é analítica (ou não está definida) em z 0, mas existe ε>0 tal que f éanalíticaem{z C :0< z z 0 <ε}. Definição 3.2 Seja f uma função complexa de variável complexa e z 0 C. Se existe ε>0 e m Z tal que para qualquer z satisfazendo 0 < z z 0 <ε,setem = n=m a n (z z 0 ) n, com a m 6=0. Ou dito de outra forma, f admite um desenvolvimento em série de Laurent emtornodopontoz 0 e a sua parte singular é finita, sendo m a ordem da primeira potência do desenvolvimento. Então:. se m > 0 então z 0 éumzero de ordem m da função f. 2. se m > 0 e z 0 é uma singularidade isolada, então z 0 éumasingularidade removível da função f. 3. se m < 0 então z 0 éumpólo de ordem m da função f. Definição 3.3 Se f tem uma singularidade isolada em z 0 que não é nem uma singularidade removível, nem um pólo de certa ordem, então z 0 éumasingularidade essencial de f. Ou dito de outra forma f tem uma singularidade essencial em z 0 sse o seu desenvolvimento emsériedelaurentemtornodopontoz 0 tem uma parte singular infinita. Portanto as singularidades isoladas classificam-se (exclusivamente) em singularidades removíveis, pólos ou singularidades essenciais. Dizemos que uma série de Laurent = + P conjunto de inteiros {n N : a n 6=0} éinfinito. n= a n (z z 0 ) n tem uma parte singular infinita se o
2 3 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 2 Exemplo 3.. a) = z z3 3! + z5 5! simples) de.... ; z =0éumzerodeprimeiraordem(ouumzero b) z 3 = z 4 z6 3! + z8 5!... ; z =0éumzerode4a ordem de z a) = z2 z 3! + z4... ; z =0é uma singularidade removível de. z 5! 3 b) = z 2 z8 z 3! + z4... ; z =0é uma singularidade removível e um zero de 5! 2 a 3 ordem de z. 3. a) = z 2 z z 3! + z3 5!... ; z =0éumpólodea ordem (ou um pólo simples) de ;oresíduode em z =0é. (Res =) z 2 z 2 z=0 z 2 b) = z 6 z 5 3! z + 3 5! z 7! z + 9! z3... ; z =0éumpólode5 a ordem de ; z 6 oresíduode em z =0é.(Res = ) z 6 5! z=0 z 6 5! c) = z 7 z 6 3! z + 4 5! z 2 7! + 9! z2... ; z =0éumpólode6 a ordem de ;o z 7 resíduo de em z =0é 0. (Res =0) z 7 z=0 z 7 4. a) z 3 sen z = z2 3! + 5!z 2 7!z... ; z =0é uma singularidade essencial de 4 z3 sen ; z oresíduodez 3 sen em z =0é 0. (Res z z 3 sen z=0 z =0) b) z 5 sen z = 2 z3 3! z + 5! z... ; z =0é uma singularidade essencial de 5 7!z9 z 5 sen ;oresíduodez 5 sen em z =0é.(Res z 2 z 2 3! z 5 sen z=0 z = ) 2 3! Quando não é fácil (ou possível) determinar o desenvolvimento de Laurent em torno de um ponto, a seguinte proposição é de grande utilidade na classificação de singularidades isoladas. Proposição 3. Se f é analítica em {z C :0< z z 0 <ε} para certo ε>0, então. f tem um zero de ordem m em z 0 sse (z z 0 ) m C\{0}. 2. f tem uma singularidade removível em z 0 sse C. 3. f tem um pólo de ordem m em z 0 sse (z z 0 ) m C\{0}.
3 3 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 3 Demonstração.. Se f tem um zero de ordem m em z 0,então = n=m X+ X+ a n (z z 0 ) n =(z z 0 ) m a n (z z 0 ) n m =(z z 0 ) m a n+m (z z 0 ) n, pelo que hipóteseafunçãodefinida por n=m (z z 0 ) m = a m 6=0. Reciprocamente se = (z z 0 ) m se 0 < z z 0 <ε, (z z 0 ) m se z = z 0 (z z 0 ) m C\{0}, então por é analítica em 0 < z z 0 <εecontínuaemz 0. Pelo Corolário 2.2 concluímos que é analítica em todo o círculo z z 0 <ε. Então pelo Teorema de Taylor = ã n (z z 0 ) n e g (z 0 )=ã 0 = (z z 0 ) m 6=0. Portanto, = P + ãn (z z 0 ) n+m temumzerodeordemm em z Se f tem uma singularidade removível em z 0,então = P + a n (z z 0 ) n, pelo que =a 0. Reciprocamente se C, então por hipótese a função definida por ( se 0 < z z0 <ε = se z = z, 0 é analítica em 0 < z z 0 <εecontínuaemz 0. Pelo Corolário 2.2 concluímos que P é analítica em todo o círculo z z 0 <ε. Então pelo Teorema de Taylor = = + a n (z z 0 ) n. 3. Se f tem um pólo de ordem m em z 0,então = n= m a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) m n= m a n (z z 0 ) n+m = (z z 0 ) m a n m (z z 0 ) n pelo que (z z 0 ) m =a m 6=0. Reciprocamente se (z z 0 ) m C\{0}, entãoporhipótese afunçãodefinida por ( (z z0 ) m se 0 < z z 0 <ε = (z z 0 ) m se z = z, 0 é analítica em 0 < z z 0 <εecontínuaemz 0. Pelo Corolário 2.2 concluímos que é analítica em todo o círculo z z 0 <ε. Então pelo Teorema de Taylor = ã n (z z 0 ) n e g (z 0 )=ã 0 = (z z 0 ) m 6= 0. Portanto, = P + ãn (z z 0 ) n m temumpólodeordemm em z 0.
4 3 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) Classificação de singularidades isoladas Por vezes, para obter enunciados mais sucintos para as propriedades de pólos e zeros de funções, são convenientes, de acordo com a proposição anterior, as seguintes convenções: Definição 3.4 Dado m Z, positivo, negativo ou nulo e uma função analítica na região definida por 0 < z z 0 <ε(i. e. numa vizinhança perfurada de z 0 ),. f tem um zero de ordem m sse 2. f tem um pólo de ordem m em z 0 sse (z z 0 ) m C\{0}. (z z 0 ) m C\{0}. Portanto, de acordo com esta definição, tem um zero de ordem m ssetemumpólode ordem m. Emparticularumafunçãotemumzerodeordem zero em z 0 (ouoqueéo mesmo, um pólo de ordem zero em z 0 ) sse é analítica numa vizinhança de z 0 enão se anula neste ponto (e portanto também não se anula numa vizinhança do ponto). Como resultado imediato, mas importante do ponto de vista prático, temos a seguinte: Proposição 3.2 Se tem um zero de ordem m em z 0 e um zero de ordem n no mesmo ponto, então. A função temumzerodeordemm + n em z = z A função tem2 : (a) um zero de ordem m n, sem > n. (b) uma singularidade removível, se m > n. (c) um pólo de ordem n m, sem < n. Exemplo 3.2 Considere-se a função sen2 z 9. Como z = π éumzerosimplesde (z π) (porque = ), concluímos, de acordo com a proposição anterior, que z π z π sen2 z tem sen 2 z um zero de segunda ordem e 9 um pólo de ordem 7 no mesmo ponto. (z π) 2 Se (é analítica e) tem um zero de ordem finita (i. e. não é identicamente nula) em z 0 então existe uma vizinhança de z 0 onde z 0 é o único zero de g. Pois neste caso g (z) = (z z 0 ) m éumafunção analítica que não se anula em z 0 ; por continuidade o mesmo acontece numa vizinhança deste ponto; então =(z z 0 ) m g (z) também não se anula numa vizinhança de z 0 (excluindo o ponto z 0 ).
5 3 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 5 Proposição 3.3 Se tem um zero de ordem m em z e um zero de ordem n > 0 no ponto z 0,entãof (z + ) temumzerodeordemmn em z = z 0. Demonstração. Uma vez que (z + ) = z,temos µ m f (z + ) f (z + ) (z z 0 ) mn = (z z 0 ) n (z + z ) m µ m = (z z 0 ) n z z (z z ) m C\{0} 3 Exemplo 3.3 Considere-se a função sen ( 2 ) 3. Como z =0éumzerosimplesde, concluímos, de acordo com a proposição anterior, que 3 temumzerodeterceiraordem e sen ³(sen 3 z 2 3 ) tem um zero de sexta ordem no mesmo ponto. Portanto sen ( 2 ) 3 tem um pólo de terceira ordem em z = Cálculo de ites Quer na classificação das singularidades isoladas quer na determinação do resíduos de pólos (como veremos mais à frente) é essencial calcular ites de funções analíticas, obtendo-se frequentemente indeterminações 0. É pois importante saber lidar com estas situações. A 0 próxima proposição dá-nos o resultado prático frequentemente usado na resolução de tais dificuldades. Pode ser visto como uma generalização da regra de Cauhy da análise real, contudo, embora agora se considerem funções de variável complexa, as condições impostas às funções são mais restrictivas: as funções têm de ser analíticas. As conclusões também são ligeiramente mais fortes: não é necessário, apriori, admitir a existência de um ite. Proposição 3.4 Sejam f e g não identicamente nulas e analíticas em z z 0 <εetais que f (z 0 )=g (z 0 )=0. Então (onde a não existência de um dos ites implica a não existência do outro 3 ) = f 0 (z) g 0 (z) e = µ µ 3 De facto, nestas condições, os ites em causa existem sempre em C { } (esfera de Riemann) verificando-se também a igualdade dos ites neste contexto generalizado, em que = significa por definição =0. 0 0
6 3 a AULA AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDO.COUTINHO@MATH.IST.UTL.PT) 6 Demonstração. Como f e g não são identicamente nulas e são analíticas numa vizinhança de z 0, estão bem definidas como números naturais as ordens dos zeros de f e g. Sejam então m aordemdozerodef e n a ordem do zero de g; por hipótese m e n são inteiros positivos. Então existem funções f e g analíticas em z z 0 <εtais =(z z 0 ) m f (z) e f (z 0 ) 6= 0, Portanto =(z z 0 ) n g (z) e g (z 0 ) 6= 0. f 0 (z) =m (z z 0 ) m f (z)+(z z 0 ) m f 0 (z). Daqui concluímos f 0 (z)(z z 0 ) m m (z z 0 ) m f (z)+(z z 0 ) m+ f 0 (z) = m (z z 0 ) m f (z) µ = + (z z 0) f 0 (z) mf (z) =. Então, utilizando este resultado para a função f e para a função g, e µ µ 0 = m f 0 (z)(z z 0 ) = n m f 0 (z) g 0 (z) 0 = = n m g 0 (z)(z z 0 ) n f 0 (z)(z z 0 ) m. g 0 (z)(z z 0 ) n nf 0 (z) mg 0 (z) n m = n m Basta agora verificar que no caso m>n, sem perca de generalidade 4,setem =0. De facto, para m>n, (z z 0 ) m f (z) = (z z 0 ) n g (z) = (z z 0 ) m n f (z) g (z) =(z 0 z 0 ) m n f (z 0 ) g (z 0 ) = 0. 4 Ocason>mreduz-se ao caso m>ntrocando os papeis de f e g. Isto é, se n>m,entãovem f(z) g(z) z z g(z) =, oquesignifica por definição 0 z z f(z) = f(z) =0. 0 g(z)
6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS
6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS Quando uma função f (z) não é diferenciável num complexo z 0 ; diremos que z 0 é uma singularidade de f (z) ; z 0 dir-se-á uma singularidade isolada de f (z) se, contudo, f
Leia maisNotas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos
Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo
Leia maisSingularidades de Funções de Variáveis Complexas
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas AULA 11 META: Introduzir o conceito de singularidades de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2015/2016
Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 205/206 ō Teste, versão A (Cursos: LEIC-A, MEAmbi, MEBiol, MEQ). Considere a função u : R 2 R dada por onde a e b são duas constantes reais. 09 de Abril
Leia maisPropriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade
Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução
Leia maisExercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações
Leia maisUma e.d.o. de segunda ordem é da forma
Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear
Leia maisEquações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +
Leia maisEduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina
Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/48 Sumário Arredondamentos Erros 2/48 Sumário Arredondamentos
Leia maisCurvas em coordenadas polares
1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.
Leia mais24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18
/Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis
Leia mais1 A Integral por Partes
Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,
Leia maisConstrução dos números racionais, Números fracionários e operações com frações
Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações O número racional pode ser definido a partir da aritmética fechamento da operação de divisão entre inteiros ou partir da geometria
Leia maisResolução de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)
Leia maisIntrodução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1
Introdução à Topologia Resoluções de exercícios Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.) Capítulo 1 É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s Q, d p (r, s) e que d p (r, s) = se e só se r
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo Prof. Susie C. Keller Núcleo de uma Definição: Chama-se núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto
Leia maisTruques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5
Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar
Leia maisx As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.
Å 6pULHV GH SRWrQFLDV As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Um eemplo típico é a série, O cálculo do valor
Leia maisMaterial Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas. Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Aplicações das Técnicas Desenvolvidas Exercícios e Tópicos Relacionados a Combinatória Segundo Ano do Ensino Médio Prof Cícero Thiago Bernardino Magalhães Prof Antonio Caminha Muniz
Leia maisV = 0,30. 0,20. 0,50 (m 3 ) = 0,030m 3. b) A pressão exercida pelo bloco sobre a superfície da mesa é dada por: P 75. 10 p = = (N/m 2 ) A 0,20.
11 FÍSICA Um bloco de granito com formato de um paralelepípedo retângulo, com altura de 30 cm e base de 20 cm de largura por 50 cm de comprimento, encontra-se em repouso sobre uma superfície plana horizontal.
Leia maisSOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM REDE NACIONAL PROFMAT GABARITO da 3 a Avaliação Nacional de Aritmética - MA14-21/12/2013 Questão 1. (pontuação: 2) (1,0) a) Enuncie e demonstre
Leia maispor séries de potências
Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio
Leia maisSistemas de Apoio à Decisão
Sistemas de Apoio à Decisão Processo de tomada de decisões baseia-se em informação toma em consideração objectivos toma em consideração conhecimento sobre o domínio. Modelar o processo de tomada de decisões
Leia maisAula 2 - Cálculo Numérico
Aula 2 - Cálculo Numérico Erros Prof. Phelipe Fabres Anhanguera Prof. Phelipe Fabres (Anhanguera) Aula 2 - Cálculo Numérico 1 / 41 Sumário Sumário 1 Sumário 2 Erros Modelagem Truncamento Representação
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisProcessos Estocásticos
Processos Estocásticos Terceira Lista de Exercícios 22 de julho de 20 Seja X uma VA contínua com função densidade de probabilidade f dada por Calcule P ( < X < 2. f(x = 2 e x x R. A fdp dada tem o seguinte
Leia maisINSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
Leia maisAV1 - MA 12-2012. (b) Se o comprador preferir efetuar o pagamento à vista, qual deverá ser o valor desse pagamento único? 1 1, 02 1 1 0, 788 1 0, 980
Questão 1. Uma venda imobiliária envolve o pagamento de 12 prestações mensais iguais a R$ 10.000,00, a primeira no ato da venda, acrescidas de uma parcela final de R$ 100.000,00, 12 meses após a venda.
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos
Leia maisAnálise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Análise de regressão linear simples Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Introdução A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada a variável dependente
Leia maisEA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado
Aula 28 EA616 - Análise Linear de Sistemas Aula 28 - Estabilidade do Estado Prof. Ricardo C.L.F. Oliveira Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas 2 o Semestre
Leia mais[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar
Leia mais29/Abril/2015 Aula 17
4/Abril/015 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda
Leia maisAula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I
Aula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I Sistema de malha fechada G(s) G(s) G(s) Sistema de malha fechada K O Root Locus é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada,
Leia maisAnálise de Regressão Linear Simples e Múltipla
Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Carla Henriques Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Carla Henriques (DepMAT ESTV) Análise de Regres. Linear Simples e Múltipla
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema
Leia maisAula 29. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
A integral de Riemann - Mais aplicações Aula 29 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 20 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Leia maisProva de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007
Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 A Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está
Leia maisDistribuição de probabilidades
Luiz Carlos Terra Para que você possa compreender a parte da estatística que trata de estimação de valores, é necessário que tenha uma boa noção sobre o conceito de distribuição de probabilidades e curva
Leia maisFACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação
Leia maisAnálise de Arredondamento em Ponto Flutuante
Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto
Leia maisUnidade II - Sistemas de Equações Lineares
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro
Leia maisUm estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto
Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação
Leia maisCAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são
Leia maisUniversidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008
Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado
Leia maisCálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5
Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias Trajectórias Planas Índice Trajectórias. exercícios............................................... 2 2 Velocidade, pontos regulares e singulares 2 2. exercícios...............................................
Leia maisBacharelado Engenharia Civil
Bacharelado Engenharia Civil Disciplina: Física Geral e Experimental I Força e Movimento- Leis de Newton Prof.a: Msd. Érica Muniz Forças são as causas das modificações no movimento. Seu conhecimento permite
Leia maisCálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU
Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) II Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. Objetivos:
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:
Leia maisINE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/59 2 - FUNDAMENTOS 2.1) Teoria dos Conjuntos 2.2) Números
Leia maisNotas Para um Curso de Cálculo. Daniel V. Tausk
Notas Para um Curso de Cálculo Avançado Daniel V. Tausk Sumário Capítulo 1. Diferenciação... 1 1.1. Notação em Cálculo Diferencial... 1 1.2. Funções Diferenciáveis... 8 Exercícios para o Capítulo 1...
Leia maisEletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios I CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios I CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Carga Elétrica e Lei de Coulomb 1. Consideremos o ponto P no centro de um quadrado
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Transformações Lineares 1 Definição e Exemplos 2 Núcleo e Imagem
Leia maisExemplos de Testes de Hipóteses para Médias Populacionais
Exemplos de Testes de Hipóteses para Médias Populacionais Vamos considerar exemplos de testes de hipóteses para a média de uma população para os dois casos mais importantes na prática: O tamanho da amostra
Leia maisGráficos de funções em calculadoras e com lápis e papel (*)
Rafael Domingos G Luís Universidade da Madeira/Escola Básica /3 São Roque Departamento de Matemática Gráficos de funções em calculadoras e com lápis e papel (*) A difusão de calculadoras gráficas tem levado
Leia maisResoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-2010 - APO
Resoluções comentadas de Raciocínio Lógico e Estatística - SEPLAG-010 - APO 11. O Dia do Trabalho, dia 1º de maio, é o 11º dia do ano quando o ano não é bissexto. No ano de 1958, ano em que o Brasil ganhou,
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Exercícios de exames e testes intermédios 1. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = + i19 cis θ Determine os valores de θ pertencentes
Leia maisA importância da certificação para os laboratórios de meio ambiente A importância da certificação para os laboratórios de meio ambiente
A importância da certificação para os laboratórios de meio ambiente Prof. Quilici A importância A da importância certificação para da certificação os laboratórios para de meio ambiente os laboratórios
Leia maisFaculdade de Computação
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Faculdade de Computação Disciplina : Teoria da Computação Professora : Sandra Aparecida de Amo Lista de Exercícios n o 2 Exercícios sobre Modelos de Máquinas de Turing
Leia maisRoot Locus (Método do Lugar das Raízes)
Root Locus (Método do Lugar das Raízes) Ambos a estabilidade e o comportamento da resposta transitória em um sistema de controle em malha fechada estão diretamente relacionadas com a localização das raízes
Leia maisCampos Vetoriais e Integrais de Linha
Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Campos Vetoriais e Integrais de Linha Um segundo objeto de interesse do Cálculo Vetorial são os campos de vetores, que surgem principalmente
Leia maisÉ usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A
4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los
Leia maisMD Sequências e Indução Matemática 1
Sequências Indução Matemática Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Sequências e Indução Matemática 1 Introdução Uma das tarefas mais importantes
Leia maisCap. 7 - Fontes de Campo Magnético
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.
Leia maisAritmética de Ponto Flutuante
Aritmética de Ponto Flutuante Entre 1970 e 1980 um grupo formado por cientistas e engenheiros de diferentes empresas de computação realizou um trabalho intenso na tentativa de encontrar um padrão de representação
Leia maiso conjunto das coberturas de dominós de uma superfície quadriculada S. Um caminho v 0 v 1...v n
efinições Preliminares Na introdução foi apresentado o conceito de superfície quadriculada bicolorida e balanceada. Os discos com buracos estão mergulhados em R, mas não necessariamente estão no plano
Leia maisProg A B C A e B A e C B e C A,B e C Nenhum Pref 100 150 200 20 30 40 10 130
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 2 Lógica II Quando lemos um problema de matemática imediatamente podemos ver que ele está dividido em duas partes:
Leia maisMonopólio. Microeconomia II LGE108. Características do Monopólio:
Monopólio Introdução Características do Monopólio: Existe uma única empresa do lado da oferta; Existem muitos compradores de pequena dimensão; Não existem substitutos próximos; Existe informação perfeita
Leia maisInstruções para a Prova de MATEMÁTICA APLICADA:
Instruções para a Prova de : Confira se seu nome e RG estão corretos. Não se esqueça de assinar a capa deste caderno, no local indicado, com caneta azul ou preta. A duração total do Módulo Discursivo é
Leia maisINSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina
Leia maisRicardo Bento Afonso Nº51571 Rubén Ruiz Holgado Nº64643
Ricardo Bento Afonso Nº51571 Rubén Ruiz Holgado Nº64643 Programação não linear para que serve? A programação linear tem a função objectivo e os constrangimentos lineares. O que nem sempre acontece na realidade,
Leia maisCapítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisTeorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4
Teorema de Taylor Prof. Doherty Andrade Sumário 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 1 2 Exemplos 2 3 Exercícios 3 4 A Fórmula de Taylor 4 5 Observação 5 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
Leia maisECONOMIA MÓDULO 17. AS ELASTICIDADES DA DEMANDA (continuação)
ECONOMIA MÓDULO 17 AS ELASTICIDADES DA DEMANDA (continuação) Índice 1. As Elasticidades da Demanda (continuação)...3 1.1. Elasticidade-preço cruzada da demanda... 3 1.2. Elasticidade-renda da demanda...
Leia maisPedro Ribeiro 2014/2015
Programação Dinâmica Pedro Ribeiro DCC/FCUP 2014/2015 Pedro Ribeiro (DCC/FCUP) Programação Dinâmica 2014/2015 1 / 56 Números de Fibonacci Sequência de números muito famosa definida por Leonardo Fibonacci
Leia maisLista de Exercícios 03
Lista de Exercícios 03 Aplicações das relações e funções no cotidiano Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados
Leia maisFICHA DE TRABALHO 6 - RESOLUÇÃO
ecção de Álgebra e Análise, Departamento de Matemática, Instituto uperior Técnico Análise Matemática III A - 1 o semestre de 23/4 FIHA DE TRABALHO 6 - REOLUÇÃO 1) Indique se as formas diferenciais seguintes
Leia mais36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase
36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e
Leia maisCapítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/
Leia maisNIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase
NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração....
Leia maisTestes (Não) Paramétricos
Armando B. Mendes, DM, UAç 09--006 ANOVA: Objectivos Verificar as condições de aplicabilidade de testes de comparação de médias; Utilizar ANOVA a um factor, a dois factores e mais de dois factores e interpretar
Leia maisProbabilidades e Estatística
Departamento de Matemática Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEEC, MEMec o semestre 011/01 1 o Teste B 1/04/01 11:00 Duração: 1 hora e 30 minutos Justifique
Leia maisFrações. Números Racionais
Frações Números Racionais Consideremos a operação 4:5 =? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há
Leia maisCálculoDiferencialem R n Limites
ROSÁRIO LAUREANO 1 CálculoDiferencialem R n Limites [Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13] Esteficheirocontém: 1. Tópicosdeteoria-ites(p. 1) 2. Exercícios resolvidos(p. 5) 1 Tópicosdeteoria-ites DistânciaEuclidiana
Leia maisCAPÍTULO III TERMOQUÍMICA
CAPÍTULO III - Termoquímica 40 CAPÍTULO III TERMOQUÍMICA Podemos designar a termoquímica como o estudo do calor envolvido nas transformações físicas e químicas. Vamos considerar um sistema constituído
Leia maisCapítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante
Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante 7.1 Números em ponto fixo Observação inicial: os termos ponto fixo e ponto flutuante são traduções diretas dos termos ingleses fixed point e floating
Leia maisKarine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta
Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia
Leia maisDireitos do Consumidor. Série Matemática na Escola
Direitos do Consumidor Série Matemática na Escola Objetivos 1. Introduzir o conceito de função afim; 2. Aplicar o conceito de função afim na resolução de um problema simples. Direitos do consumidor Série
Leia maisProjecto de Programação por Objectos 2007/08 Escalonamento em Multi-processador por Programação Evolutiva MEBiom/MEEC 1 Problema
Projecto de Programação por Objectos 2007/08 Escalonamento em Multi-processador por Programação Evolutiva MEBiom/MEEC 1 Problema Considere-se um sistema com um conjunto finito de processadores P = {p1,...,
Leia maisProblemas sobre Sistemas Não Lineares
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST P. (Construção do
Leia maisValores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal
Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3
Leia maisControlabilidade e Observabilidade
IA536 - Teoria de Sistemas Lineares - FEEC/UNICAMP contr 1/18 Controlabilidade e Observabilidade Sfrag replacements R 1 R 2 + u C 1 C 2 R 3 y A tensão no capacitor C 2 não pode ser controlada pela entrada
Leia maisCálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU
Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) III Resolução de sistemas lineares por métodos numéricos. Objetivos: Veremos
Leia maisExercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Exercício 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo
Leia maisCaracterísticas de um fluido
FLUIDOS - Propriedades Características de um fluido Gases e liquídos podem ambos ser considerados fluidos. Há certas características partilhadas por todos os fluidos que podem usar-se para distinguir liquidos
Leia mais