1 Espaços Vetoriais. 1.1 Base e Dimensão. 1.2 Mudança de Base. 1 ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear. Álgebra Linear Prof.

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1 ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear Espaços Vetoriais Base e Dimensão Álgebra Linear Prof Ânderson Vieira Definição Um conjunto S = {u,,u n } V é uma base do espaço vetorial V se (I) S é LI; (II) S gera V Exemplo S = {(,),(,0)} é base de R - S é LI - Gera: (x,y) = a(,)+b(,0) Definição Seja V um espaço vetorial Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e denotamos dimv = n Se V nao possui base, dimv = 0 SeV temumabasecominfinitosvetores, entãoadimensãodev éinfinitaedenotamosdimv = Exemplo dimr = Mudança de Base Seja V um espaço vetorial de dimensão n e consideremos duas bases de N: B = {u,,u n } e C = {v,,v n } Então existe uma família de escalares α ij de maneira que ou simplesmente Note que A matriz quadrada de ordem n v = α u + +α n u n v n = α n u + +α nn u n v j = n i= α ij u i, j n v α α α n u v = α α α n u v n α n α n α nn u n α α α n α α α n P = α n α n α nn chama-se matriz de mudança de base B para a base C Exemplo 3 Qual é a matriz mudança de base B = {,+t} para a base C = {,t} no espaço P (R)?

2 3 Exercícios Álgebra Linear TRANSFORMAÇÃO LINEAR 3 Exercícios Achar o conjunto de geradores dos seguintes subespaços de R 4 : a) U = {(x,y,z,t) R 4 x y z +t = 0}; b) U = {(x,y,z,t) R 4 x y = z +t = 0} Consideremos no R 3 os seguintes subespaços vetoriais U = [(,0,0),(,,)] e V = [(0,,0),(0,0,)] Determinar um sistema de geradores de U V 3 Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores do espaço vetorial R 3 são linearmente independentes a) {(,,0),(,,5),(,6,5)} b) {(,,3),(,4,9),(,8,7)} c) {(,,),(,4,),(5,0,5)} 4 Determinar as coordenadas do vetor u = (,,4) do R 3 em relação às bases: a) Canônica b) {(,,),(,0,),(,0, )} 5 Determinar as coordenadas da matriz [ ] 0 de M (R) em relação à base {[ ] 0, 0 [ ] 0, 0 0 [ ] 0 0, 0 [ ]} Determinar as coordenadas do polinônimo +t t 3 P 3 (R) em relação à base (a) Canônica (b) {, t, t, t 3 } 7 Achar a matriz de mudança de base para a base canônica do R 3 B = {(,,0),(0,,0),(0,0,3)} Transformação Linear Conceito Definição Sejam U e V espaços vetoriais sobre R Uma aplicação F : U V é chamada transformação linear de U em V se, e somente se, (a) F(u +u ) = F(u )+F(u ), u,u V;

3 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Álgebra Linear Núcleo e Imagem (b) F(αu) = αf(u), α R e u U Quando U = V, uma transformação linear F : U V é chamada de operador linear Exemplo Seja F : R 3 R definida por f(x,y,z) = (x,x z), para todo (x,y,z) R 3 Mostre que F é uma transformação linear Exemplo Seja D : P n (R) P n (R) definida por D(f(t)) = f (t) para todo polinômio f(t) de P n (R) Mostre que D é um operador linear Proposição Se W é um subespaço de U, então a imagem de W por F é um subespaço de V Demonstração: Veja F(W) = {F(w) w W} é a imagem de W por F i) Como F(0) = 0, então 0 F(W) ii) Sejam u,u F(W), assim existem w,w W tais que u = F(w ) e u = F(w ) Então u +u = F(w )+F(w ) = F(w +w ) Como W é um subespaço de U, w +w W, portanto u +u F(W) iii) Seja α R e u F(W), logo existe w W tais que u = F(w) Assim αu = αf(w) = F(αu) F(W) Núcleo e Imagem Definição Sejam U e V espaços vetoriais sobre R e F : U V uma transformação linear Definimos Núcleo: ker(f) = {u U F(u) = 0}; Imagem: Im(R) = {F(u) V u U} Exemplo 3 Seja F : R R 3 a transformação linear dada po F(x,y) = (0,x+y,0) Achemos o núcleo de F Proposição Seja F : U V uma transformação linear Então: a) ker(f) é um subespaço vetorial de U; b) A transformação linear F é injetora se, e somente se, ker(f) = {0} Teorema (Teorema do Núcleo e da Imagem) Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita sobre R Dada um transformação linear F : U V, então 3 Isomorfismos e Automorfismos dimu = dimker(f)+dimim(f) Definição 3 Dizemos quem uma transformação linear F : U V, com U e V espaços vetoriais, é um isomorfismo se F é bijetora Um isomorfismo F : U U é um automorfismo de U Exemplo 4 F : R P (R) definida por F(x,y) = x+(x+y)t é um isomorfismo Teorema Dois espaços U e V de dimensão finita são isomorfos se, e somente se, dimu = dimv 3

4 4 Autovalores e Autovetores Álgebra Linear TRANSFORMAÇÃO LINEAR 4 Autovalores e Autovetores Definição 4 Seja T : V V um operador linear Se existirem v V, v 0, e λ R tais que Tv = λv, λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T associado a λ Teorema 3 Dada uma transformação T : V V e um autovetor v associado a um autovalor λ, qualquer vetor w = αv(α 0) também é autovetor de T associado a λ 5 Autovalores e Autovetores de uma Matriz Dada uma matriz quadrada, A, de ordem n, estaremos entendendo por autovalor e autovetor de A autovalor e autovetor da transformação linear T A : R n R n, associada à matriz A em relação à base canônica, isto é, T A (v) = A v Assim, um autovalor λ R e um autovetor v R n, são soluções da equação A v = λv, v 0 5 Determinação dos autovalores e autovetores Para determinar os autovalores basta resolver a equação det(a λi) = 0 () Aequação()édenominadaequação característicadatransformaçãot A Odeterminante det(a λi) é um polinômio em λ denominado polinômio característico Ao substituir o autovalor λ na equação A v = λv, encontraremos o autovetor associado a λ Exemplo 5 Determinar os autovalores e autovetores do operador linear T : R 3 R 3 dado por T(x,y,z) = (3x y +z, x+5y z,x y +3z) Autovalores: λ =, λ =, λ 3 = 3 Autovetores: v = (,0, ), v = (,,), v 3 = (,,) Exemplo 6 Os autovalores de um operador linear T : R R são λ = e λ = 3, sendo v = (, ) 3 v = (,0) os respectivos vetores associados Determinar T(x,y) Escrever na base {(, ),(,0)} (x,y) = a(, )+b(,0) a = y e b = x y T(x,y) = yt(, )+( x y)t(,0) = ( 3x 5y,y) Definição 5 Uma transformação linear F : U V, dimu = dimv = n chama-se ortogonal quando sua matriz M é ortogonal(m M = M M = I n ) 6 Exercícios Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares? a) F (x,y,z) = (x y,x+y,0); b) F (x,y,z) = (x y +z,0,0); c) F 3 (x,y,z) = (x,x,x); d) F 4 (x,y,z) = (x +3y,x,z) Existe um operador linear F : R 3 R 3 tal que F(,,) = (,,3), F(,,3) = (,4,9) e F(,3,4) = (,8,7)? Justifique a resposta 3 Seja o operador linear do R tal que F(,0) = (,) e F(0,) = (,4) a) Determinar F(, 4) 4

5 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Álgebra Linear 6 Exercícios b) Determinar (x,y) R tal que F(x,y) = (,3) 4 Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem: (a) F : R 3 R dada por F(x,y,z) = x+y z (b) F : R R dada por F(x,y) = (x,x+y) (c) F : R 3 R 4 definida por F(x,y,z) = (x y z,x+y +z,x y +z, y) (d) F : P (R) P (R) dada por F(f(t)) = t f (t) 5 Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares: (a) T : R R, T(x,y) = (x+y, x+4y) (b) T : R R, T(x,y) = (x+y,x+3y) (c) T : R R, T(x,y) = (5x y,x+3y) (d) T : R 3 R 3, T(x,y,z) = (x+y +z,y +z,y +3z) (e) T : R 3 R 3, T(x,y,z) = (x, x y,x+y +z) (f) T : R 3 R 3, T(x,y,z) = (x+y,y,z) 6 Os vetores v = (,) e v = (, ) são autovetores do operador linear T : R R, associados a λ = 5 e λ =, respectivamente Determinar a imagem do vetor v = (4,) por esse operador 5

6 6 Exercícios Álgebra Linear TRANSFORMAÇÃO LINEAR Respostas Seção a) {(,,0,0),(,0,,0),(,0,0,)} b) {(,,0,0),(0,0,, )} U V = [(0,,)] 3 a) LD b) LI c) LD 4 a) 4 b) 5 6 a) 7 b) Seção a) Sim; b) Sim; c) Sim; d) Não Não 3 a) F(,4) = (8,8) b) (x,y) = ( 5 7, 4 7) 4 (a) Base núcleo: {(,0,),(0,,)}; base da imagem: {} (b) kerf = {(0,0)}; base da imagem: {(,),(0,)} (c) kerf = {(0,0,0)}; base da imagem: {(,,,0),(,,, ),(,,,0)} (d) Base núcleo: {,t}; Im F={0} 5 (a) λ = 3, λ =, v = (,) e v = (,); (b) λ = 4, λ =, v = (,) e v = (,); (c) λ = 4, λ = 4, v = (,) e v = (0,0); (d) λ = 4, λ =, λ 3 = v = (,,), v = (0,,) e v 3 = (,0,0); (e) λ =, λ =, λ 3 = v = (0,0,), v = (0, 3,) e v 3 = (,,); (f) λ =, λ =, λ 3 = v = (0,0,), v = (,0,0) e v 3 = (0,0,0); 6 T(4,) = (8,9) 6