1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5.

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1 UFPB/PRAI/CCT/DME - CAMPUS II DISCIPLINA: Álgebra Linear ALUNO (A): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 a PARTE: QUESTÕES TIPO VERDADEIRO OU FALSO COM JUSTI- FICATIVA. 1. O conjunto dos polinômios de grau m com 2 m 5 acrescido do polinômio nulo é um subespaço do espaço P O conjunto S = {(x 2 x 3 ) /x IR} é um subespaço de IR Se v é um elemento de um espaço vetorial V e λ é um escalar tal que λv = O v então λ = 0 ou v = O v. 4. Sejam S um subespaço de um espaço vetorial V e v 1 v 2 elementos de V tais que v 1 e v 1 + v 2 estão em S. Então v 2 está necessariamente em S. 5. É possível que a interseção de dois subespaços W 1 e W 2 de IR 3 ambos com dimensão igual a 2 seja trivial. 6. Se v é um vetor não nulo de um espaço vetorial V e λ 1 e λ 2 são escalares tais que λ 1 v = λ 2 v então necessariamente λ 1 = λ Sejam W 1 e W 2 subespaços de um espaço vetorial V tais que W 1 W 2 = {O V }. Se β 1 e β 2 são subconjuntos L.I. de W 1 e W 2 respectivamente então β 1 β 2 é L.I. 8. Todo subconjunto que contiver uma base de um espaço vetorial V contém necessariamente o espaço V. 9. O conjunto S = {1 t t 2 t 3 } é uma base de IR O conjunto S = {1 t 2t t 2 4t 3 } é linearmente dependente no espaço P 3 dos polinômios de grau menor ou igual a 3. 1

2 11. As funções f (x) = sen x g (x) = cos x e h (x) = 1 são linearmente independentes no espaço F das funções de IR em IR. 12. O cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 contém os pontos (1 0 0) e (0 1 0) e neste caso é um subespaço de IR Se W é um subespaço não trivial de um espaço vetorial V então toda base de V contém uma base de W. 14. Se W é um subespaço não trivial de um espaço vetorial V então cada base de W está contida em alguma base de V. { x + 2y + z + t = O conjunto - solução do sistema linear 2x + 5y 3z + 2t = 0 é um subespaço de dimensão 1 de IR O espaço IR 2 é um subespaço de IR 3. 2 a PARTE: EXERCÍCIOS 1. Considere os espaços vetoriais IR 2 e IR 3. Defina a aplicação f : IR 2 IR 3 (x y) f (x y) = (x y x + y 2x + 2y) (a) a imagem de f é um subespaço de IR 3..Mostre que: (b) o conjunto S = {(x y) IR 2 / f (x y) = (0 0 0)} é um subespaaço de IR 2. (c) dada a base β = {(1 0) (0 1)} de IR 2 verifique se β = { f (1 0) f (0 1)} é uma base da imagem de f. 2. Considere em IR 3 operações de soma + e produto por escalar definidas por: (x y z) + (x 1 y 1 z 1 ) = (x + x 1 y + y z + z 1 + 2) λ (x y z) = (λx y z) para λ IR e (x y z) (x 1 y 1 z 1 ) IR 3. Verifique quais das 8 condições que definem espaço vetorial são satisfeitas por essas operações. IR 3 munido destas operações é um espaço vetorial? 2 e

3 {( a a 3. Dados os subespaços S = b b )/ } a b IR {( )/ } a b a T = a b IR do espaço M b a b 2 2 (IR) verifique se: {( ) ( )} (a) β = gera S {( ) ( )} (b) β = é base de S {( )} 0 0 (c) S T =. 0 0 (d) M 2 2 (IR) = S T. 4. Dado η = se: {( (a) η gera M 2 2 (IR). ) ( (b) η é linearmente independente. ) ( e ) ( (c) o subespaço [η] (gerado por η) tem dimensão iqual a Considere os subespaços V 1 = [( ) ( )] e V 2 = {(x y z t) IR/ x = z e y = t} de IR 4. Verifique que: )} verifeque (a) β 1 = {( ) ( )} é base de V 1 e β 2 = {( ) ( )} é base de V 2. (b) β 1 β 2 é base de V 1 + V 2. (c) dim (V 1 V 2 ) = Retire do subconjunto S = {(1 0 0) (0 1 0) (1 1 0) (2 1 0) (0 0 1)} uma base de IR Sejam F{ o espaço das funções de IR em IR e S = {f (x) g (x)} onde x se x 0 f (x) = x 3 e g (x) = x se x < S é um subconjunto L.I. de F? 3

4 8. Determine uma base para o subespaço W = [e x e 2x cos x sen x 3e x 2 cos x] de F. 9. O conjunto Ω = {(x y x w) IR/ 2x + 3y + 4x w = 0} é um subespaço de IR 4? Em caso afirmativo determine uma base β de Ω e uma base de IR 4 que contém β. Forneça um critério para que o vetor v = (β 1 β 2 β 3 β 4 ) de IR 4 esteja em Ω. 10. Sendo q 1 (x) = 1+x+x 3 q 2 (x) = 2+x 2 q 3 (x) = x 3 e q 4 (x) = 1+x+x 2 verifique que o conjunto γ = {q 1 (x) q 2 (x) q 3 (x) q 4 (x)} é uma base do espaço P 3 e determine as coordenada dos vetores q 1 (x) q 2 (x) e p (x) = 2 + 4x + 6x 3 em relação à base γ. 3 a PARTE: TESTES. 1. Sobre um espaço vetorial real V qualquer podemos afirmar que: (a) {λv/ λ IR e v V } = IR V. (b) V pode ser não possuir subespaço. (c) {u + v/ u v V } = V. (d) Existe em V um subespaço com apenas 3 elementos. 2. Sejam V um espaço vetorial e W um subespaço de V. Qual das seguintes alternativas é correta? (a) u + v W para quaisquer u v V. (b) Se λ IR e u W então (λ 3 + 1) u λ 2 u + u W. (c) Se u W e v V então u + v W. (d) O conjunto {λv/ λ IR e v V } é igual a W. 3. Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um subconjunto {v 1 v n } de V é linearmente independente se: (a) o conjnto [v 1 v n ] é igual a {O V }. (b) a 1 v 1 + a 2 v a n v n = O V todo i {1 n}. 4 só acontece quando a i = 0 para

5 (c) a 1 v 1 + a 2 v a n v n = O V com a 1 = a 2 = a n = 0. (d) existe i {1 n} tal que v i = a 1 v 1 a 2 v 2 a n v n com a 1 a 2 a n IR. 4. Seja V um espaço vetorial de dimensão n com n > 0. É correto afirmar que: (a) se k {1 n} então existe pelo menos um subespaço W de V com dim W = k. (b) se k {1 n} então exite exatamente um subespaço W de V com dim W = k. (c) todo conjunto gerador de V possui exatamente n elementos. (d) pode existir um conjunto gerador de V com menos de n elementos. 5. Se V é um espaço veorial e W é um subespaço de dimensão 5 de V podemos afirmar que: (a) toda base de V possui exatamente 5 elementos. (b) existe pelo menos uma base de V com exatamente 5 elementos. (c) todo subconjunto gerador de W é linearmente independente. (d) não exite conjunto gerador de W com menos de 5 elementos. 5