Introdução à Teoria de Grupos Grupos cíclicos Grupos de permutações Isomorfismos Teorema de Lagrange Subgrupos normais e grupos quociente

Transcrição

1 Classes laterais Sejam G um grupo, H um subconjunto de G e a um elemento de G. Usamos as seguintes notações: ah = {ah h H} e Ha = {ha h H}. Definição (Classe lateral de H em G) Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto ah diz-se a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G contendo a. O elemento a diz-se um representante da classe lateral ah (ou Ha). Exemplo Sejam G = S 3 e H = {(), (1 2 3), (1 3 2)}. As classes laterais esquerdas de H em G são (1)H = H = (1 2 3)H = (1 3 2)H; (1 2)H = {(1 2), (1 2)(1 2 3), (1 2)(1 3 2)} = {(1 2), (2 3), (1 3)} = (1 3)H = (2 3)H. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

2 O GAP permite trabalhar com classes laterais direitas. (Como gh consiste dos inversos dos elementos de Hg 1, não é difícil usar também o GAP para trabalhar com classes laterais esquerdas.) Exemplo gap> s3 := SymmetricGroup(3); Sym( [ ] ) gap> Elements(last); [ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ] gap> h := Subgroup(s3,[ (), (1,2,3), (1,3,2) ]); Group([ (), (1,2,3), (1,3,2) ]) gap> RightCoset(h,(1,3)); RightCoset(Group( [ (), (1,2,3), (1,3,2) ] ),(1,3)) gap> Elements(last); [ (2,3), (1,2), (1,3) ] Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

3 Exemplo Sejam G = Z 9 e H = {0, 3, 6}. Como a operação que estamos a considerar é a adição, usamos a notação a + H em vez de ah. As classes laterais (esquerdas) de H em Z 9 são 0 + H = {0, 3, 6} = 3 + H = 6 + H = H; 1 + H = {1, 4, 7} = 4 + H = 7 + H; 2 + H = {2, 5, 8} = 5 + H = 8 + H. Exercício Sejam G = S 3 e H = {(1), (1 2)}. Determine as classes laterais (1 3)H e H(1 3). Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

4 Teorema de Lagrange Os exemplos e exercício anteriores levantam questões como: Quando é que ah = bh? Quando é que ah = Ha? Quantos elementos têm em comum ah e Hb? O lema seguinte ajuda a esclarecer. Lema Sejam G um grupo, H G e a, b G. Então 1. a ah; 2. ah = H se e só se a H; 3. ah = bh ou ah bh = ; 4. ah = bh se e só se a 1 b H; 5. ah = bh ; 6. ah = Ha se e só se H = aha 1 ; 7. ah é um subgrupo de G se e só se a H. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

5 Demonstração. 1. Basta notar que a = ae ah; 2. Suponhamos que ah = H. Então a = ae ah = H. Reciprocamente, se a H, então ah H, por H ser fechado para a multiplicação. Também H ah, pois, para qualquer h H, tem-se a 1 h H, logo h = eh = (aa 1 )h = a(a 1 h) ah. 3. Suponhamos que ah bh e seja x ah bh. Tem-se x = ah 1 e x = ah 2, para alguns h 1, h 2 H. Então a = xh 1 1 = bh 2h 1 1 e ah = (bh 2h 1 1 )H = b(h 2h 1 1 H) = bh. 4. Resulta de ah = bh H = a 1 bh e de Basta observar que ah bh é uma bijecção de ah em bh. 6. ah = Ha se e só se aha 1 = Haa 1 = H. 7. Se ah é um subgrupo, então e ah. Logo ah eh e, por 3, ah = eh = H. Por 2, a H. Reciprocamente, novamente por 2, ah = H. Claro que vale um resultado análogo considerando classes laterais direitas em vez de esquerdas. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

6 Teorema (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então ord(h) divide ord(g). Além disso, o número de classes laterais esquerdas (ou direitas) distintas é ord(g)/ ord(h). Demonstração. Sejam a 1 H, a 2 H,..., a r H as classes laterais esquerdas distintas de H em G. Como cada elemento de G pertence a alguma classe lateral esquerda de H (por 1 do lema anterior), tem-se G = a 1 H a 2 H a r H. Como esta união é disjunta (3 do lema anterior), tem-se G = a 1 H + a 2 H + + a r H. Usando agora 5 do lema, tem-se a i H = H, para qualquer i, logo ord(g) = r ord(h). O Teorema de Lagrange tem diversas consequências, algumas das quais, imediatas. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

7 Atendendo a que a ordem de um elemento de um grupo finito é a ordem do subgrupo por ele gerado, tem-se: Corolário (ord(a) divide ord(g)) A ordem de um elemento de um grupo finito divide a ordem do grupo. Corolário Todo o grupo de ordem prima é cíclico. Demonstração. Basta notar que um elemento diferente do elemento neutro tem como ordem a ordem do grupo. Corolário (a G = e) Sejam G um grupo finito e a G. Então a ord(g) = e. Demonstração. Tem-se ord(g) = k ord(a), para algum inteiro positivo k. Então a ord(g) = a ord(a) k = e k = e. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

8 Corolário (Pequeno Teorema de Fermat) Sejam p um primo e a um inteiro. Tem-se a p a (mod p). Demonstração. Tem-se, pelo algoritmo da divisão, a = pm + r, com 0 r < p. Logo a r (mod p), bastando então provar que r p r (mod p). Como para r = 0 o resultado é trivial, podemos supor que r U(p) (que não é mais que {1, 2,..., p 1} com a multiplicação módulo p). Então r p 1 1 (mod p) e, portanto, r p r (mod p). O número de classes laterais esquerdas (ou direitas) de um subgrupo H no grupo G designa-se por índice de H em G e denota-se por (G : H). Corolário Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então (G : H) = ord(g)/ ord(h). Nota Existem exemplos que mostram que o recíproco do Teorema de Lagrange falso. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173

9 Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/ / 173