Chapter Noções Preliminares

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1 Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências de números reais, os quais são mais simples, mais adiante, estudaremos os limites de derivadas, seqüências de funções e outros. Intuitivamente, podemos pensar numa seqüência (a, a 2,..., a n,...) de números reais como sendo uma seqüência de pontos da reta e o seu limite como sendo um ponto do qual os pontos a n tornam e permanecem arbitrariamente próximos, desde que se tome o índice n suficientemente grande. 2. Noções Preliminares Uma seqüência de números reais é uma função f : IN IR, definida no conjunto IN = {, 2, 3, 4,...} dos números naturais e tomando valores no conjunto IR dos números reais. O valor f(n) será representado por a n, para todo n IN, e chamado o termo 42

2 2. Noções Preliminares 43 geral, ou n-ésimo termo da seqüência. É comum usarmos as notações (a n ), (a n ) n IN, (a, a 2, a 3,...) ou simplesmente a n para reprensentar uma seqüência. Usaremos ainda a notação {a n } para indicar o conjunto de valores da seqüência. Essa distinção é importante, pois uma seqüência pode possuir infinitos elementos, mesmo que seu conjunto de valores seja finito. Exemplo 2. A seqüência é infinita, com,,,,,,... a n = ( ) n = ( ) n. Mas observe que seu conjunto de valores possui somente dois valores, + e -, ou seja, {a n } = {+, }. De acordo com a definição que demos anteriormente, o índice de uma seqüência (a n ) começa em n =, ou seja a é seu primeiro termo. Observe, o leitor, que a seqüência de termo geral a n = n 3 só faz sentido para n = 4, 5, 6,... de modo que seu primeiro termo é a 4. Não pense, o leitor, que isto seja um obstáculo, pois podemos, e faremos, uma translação de índices de forma que o primeiro termo da seqüência tenha índice n =. De fato, definindo a seqüência b n = a n+4 = a seqüência fica definida a partir de n =. n +

3 2. Noções Preliminares 44 Seja (a n ) uma seqüência. Dizemos que (a n ) é crescente se a < a 2 < a 3 <... < a n..., isto é, se a n < a n+ Agora se a > a 2 > a 3 >... > a n..., isto é, se a n > a n+ dizemos que a seqüência é decrescente. A seqüência (a n ) é não-crescente se a a 2 a 3... a n... e não-decrescente se a a 2 a 3... a n... Se uma seqüência satisfaz qualquer uma dessas propriedades ela é dita monótona. Uma seqüência a n é dita ser limitada superiormente se existir um número real β tal que, para todo número natural n, temos a n β. De maneira análoga dizemos que uma seqüência a n é limitada inferiormente se existir um número real α tal que, para todo número natural n, temos a n α. Se existirem reais α e β tais que, para todo número natural n, temos α a n β, dizemos que a n é uma seqüência limitada. Note que uma seqüência é limitada se, e somente se, ela é limitada superiormente e inferiormente. Em outra palavras, uma seqüência é limitada se todos os seus termos pertencem ao intervalo [α, β].

4 2. Noções Preliminares 45 Lema 2. A seqüência (a n ) de números reais é limitada se, e somente se, ( a n ) é limitada. Observe que todo intervalo [α, β] está contido num intervalo maior da forma [ c, c] com c > 0, basta o leitor fazer c = max{ α, β }. Uma vez que a n [ c, c] é o mesmo que a n c, a seqüência (a n ) é limitada se, e somente se, existe um número real c > 0 tal que a n c para todo n IN, e portanto (a n ) é limitada se, e somente se, ( a n ) é limitada. Dada uma seqüência f = (a n ) n IN de números reais, uma subseqüência de f é a restrição de f a um subconjunto infinito IN = {n < n 2 < n 3 <... < n i,...} de IN. Escrevemos f = (a n ) n IN ou (a n, a n2, a n3,..., a ni,...) ou (a ni ) i IN para representar uma subseqüência. Lema 2.2 Uma seqüência (a n ) n IN monótona é limitada se, e somente se, possui uma subseqüência limitada. Se a seqüência (a n ) n IN monótona é limitada, é fácil ver que toda subseqüência é limitada. Seja a n a n2 a n3... a nk... b uma subseqüência limitada da seqüência não-decrescente (a n ). Note que para qualquer n IN, existe um n k > n e, portanto, a n a nk b. Logo a n b para todo n. Conseqüentemente, (a n ) n IN é limitada.

5 2. Noções Preliminares 46 Exemplo 2.2 Sendo (a n ) = para todo n IN, temos a seqüência constante (,,,,...), obviamente ela é limitada, não-decrescente e não-crescente. Exemplo 2.3 Sendo (a n ) = n para todo n IN, temos a seqüência (, 2, 3, 4,..., n,...), que é limitada inferiormente, ilimitada superiormente, monótona crescente. Exemplo 2.4 Se para n par temos a n = 0 e n ímpar temos a n =, obtemos uma seqüência limitada e não monótona que é (, 0,, 0,,...). Exemplo 2.5 Seja a n = n para todo n IN. Esta é a seqüência (, 2, 3, 4, 5,...) que é monótona decrescente e limitada. Exemplo 2.6 Consideremos a seqüência (a, a 2, a 3, a 4,..., a n,...) das potências de a, com a IR e n IN. (i) Se a = 0 ou a =, temos obviamente uma seqüência constante.

6 2. Noções Preliminares 47 (ii) Se 0 < a <, a seqüência é decrescente e limitada. Com efeito, multiplicando ambos os membros da desigualdade a < por a n obtemos a n+ < a n, e assim a seqüência é decrescente. Observe, o leitor, que todos os termos dessa seqüência são positivos e portanto 0 < a n < para todo n IN, em outra palavras esta seqüência é limitada. (iii) Se < a < 0, a seqüência (a n ) não é monótona, pois seus termos são alternadamente positivos e negativos, respectivamentnte se n é par ou ímpar, contudo, a seqüência é limitada. De fato, como a n = a n e 0 < a <, pelo item (ii) e Lema 2. conclui-se a afirmação. (iv) (v) Se a = temos a seqüência (,,,,...) cuja análise é trivial. Se a > obtemos uma seqüência crescente ilimitada. Com efeito, multiplicando ambos os membros da desigualdade a > por a n obtemos a n+ > a n, logo a seqüência é crescente. Quanto a ser ilimitada, observe que a = + h com h > 0 IR e fazendo uso da desigualdade de Bernoulli concluimos que a n > + nh. Note também que dado qualquer número real b, podemos achar n tal que a n > b, para isto, basta tomar Donde obtemos n > b h. + nh > b que por sua vez nos leva a a n > b. Portanto, a seqüência (a n ) e crescente ilimitada.

7 2.2 Limite de uma Seqüência 48 (vi) Se a < a seqüência (a n ) não é monótona, pois seus termos são alternadamente positivos e negativos, e é ilimitada superior e inferiormente. Com efeito, seus termos de ordem par, a 2n = (a 2 ) n, constituem, pelo item v, uma subseqüência crescente, ilimitada superiormente, de números positivos. Enquanto isso, seus termos de ordem ímpar, a 2n+ = a(a 2n ), constituem uma subseqüência decrescente, ilimitada inferiormente, pelo item v. 2.2 Limite de uma Seqüência Intuitivamente, dizer que o número real L é limite da seqüência (a n ) significa afirmar que, à medida que o índice n cresce, os termos a n tornam-se e se mantém tão próximo de L quanto se deseje. Dizer que a n vai-se tornando tão próximo de L quanto se deseje significa dizer que a n L torna-se inferior a qualquer número positivo ε, por menor que seja, desde que façamos o índice n suficentemente grande. Dizemos que o número real L é o limite da seqüência (a n ) de números reais, e escrevemos lim a n = L, lim a n = L ou a n L. n Quando lim a n = L, diz-se que a seqüência (a n ) converge para L, ou tende para L. Uma seqüência que possui limite chama-se convergente, caso contrário, divergente. Isto nos leva à seguinte definição: Definição 2. Diz-se que uma seqüência (a n ) converge para o número L, ou tem limite L se, dado qualquer número ε > 0, é sempre possível encontrar um número n o tal que n > n o a n L < ε.

8 2.2 Limite de uma Seqüência 49 Em linguagem simbólica lim a n = L ε > 0 n o IN : n > n o a n L < ε. Observe que se lim a n = L então qualquer intervalo (L ε, L+ε), de centro L e raio ε > 0, contém os termos a n da seqüência, com exceção no máximo de um número finito de índices n. Com efeito, dado o intervalo (L ε, L + ε), com lim a n = L, obtemos n o IN : n > n o a n L < ε. Ou seja, n > n o a n (L ε, L + ε). Assim, fora do intervalo (L ε, L + ε) só poderão estar, no máximo, os termos a, a 2, a 3,..., a no. Reciprocamente, se qualquer intervalo de centro L contém todos os a n, salvo talvez para um número finito de índices n, então lim a n = L. Com efeito, dado qualquer ε > 0, o intervalo (L ε, L + ε) conterá todos os a n exceto para um número finito de índices n. Seja n o o maior índice n tal que a n (L ε, L + ε). Então n > n o a n (L ε, L + ε), ou seja a n L < ε. Isto prova que lim a n = L. Exemplo 2.7 Prove, segundo a definição, que a seqüência n (a n ) = ( n + ) = ( 2, 2 3, 3 4,... n n +,...) converge para o número.

9 2.2 Limite de uma Seqüência 50 Solução: Note que, dado qualquer ε > 0, n a n = n + = n + < ε n > ε Logo, dado qualquer ε > 0 existe n o = tal que ε n n > n o n + < ε, o que vem de encontro com a definição 2., como queriamos. Exemplo 2.8 Calcule o ponto de convergencia da seqüência, abaixo Solução: a n = 3n n + sen(2n). Antes de calcularmos o pedido, observemos que: (i) Dividindo o numerador e denominador por n e lembrando que [sen(2n)]/n 0, vemos que o ponto procurado é 3; (ii) Assim, é fácl, também, ver que n + sen(2n) n sen(2n) n. a n 3 = 3 sen(2n) n + sen(2n) 3 n + sen(2n) 3 n sen(2n) 3 n. Portanto, dado qualquer ε > 0, temos que a n 3 3 n < ε n > + ε.

10 2.2 Limite de uma Seqüência 5 Consequentemente o ponto de convergencia da seqüência é 3, pois ε > 0 n o = + ε : n > n o a n 3 < ε. Demonstraremos, agora, que uma seqüência não pode possuir dois limites distintos, ou seja, se o limite existe ele é único. Teorema 2. Se lim a n = L e lim a n = L então L = L. Suponhamos que L L e tomemos ε < L L. 2 Se lim a n = L, então, para um certo n temos n > n a n L < ε. Da mesma forma se, lim a n = L, então, para um certo n 2 temos n > n 2 a n L < ε. Seja n o = max{n, n 2 }, de forma que n > n o nos leva simultaneamente a n > n e n > n 2. Assim, n > n o implica que L L = (L a n ) + (a n L ) L a n + L a n < 2ε < L L, o que é aburdo. Logo, L = L.

11 2.2 Limite de uma Seqüência 52 Este teorema nos dá a Unicidade do limite. Se insistirmos em calcular limites pela definição, isto pode tornar-se um trabalho muito complicado. Porém com esta definição podemos estabelecer propriedades que torna este trabalho um pouco menos complicado, como veremos daqui por diante. Teorema 2.2 Se lim a n = L então toda subseqüência de (a n ) converge para o limite L. Seja (a n, a n2, a n3,..., a ni,..) uma subseqüência de (a n ). Dado ε > 0, existe n o IN tal que n > n o a n L < ε. Como os índices da subseqüência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um n io > n o. Então n i > n io n i > n o a ni L < ε. Logo lim a ni = L. Corolário 2. Se lim n a n = L então, para todo k IN, lim n a n+k = L. Com efeito, (a +k, a 2+k, a 3+k, a 4+k,..., a n+k,...) é uma subseqüência de (a n ) e pelo teorema anterior seu limite é L.

12 2.2 Limite de uma Seqüência 53 NOTA 2. Este último corolário nos diz que o limite de uma seqüência não se altera quando dela retiramos um número finito de termos. Mas geral, é o teorema anterior a este corolário, que diz que podemos retirar um número infinito de termos de uma seqüência, desde que se conserve uma infinidade de índices, de modo a restar uma subseqüência, que o limite, ainda, se mantém. Teorema 2.3 Toda seqüência convergente é limitada. Seja (a n ) uma seqüência que converge par L. Então dado qualquer ε > 0, exite n o IN tal que n > n o L ε < a n < L + ε. Isto quer dizer que a partir do índice n = n o +, a seqüência é certamente limitada: à direta por L + ε e à esquerda por L ε. Falta, então, acrescentarmos os termos restantes da seqüência, para isto, basta considerarmos, dentre todos os números a, a 2,..., a n, L ε, L + ε, aquele que é o menor de todos, digamos A, e aquele que é o maior de todos, digamos B e então será verdade, para todo n, que A a n B, como queriamos demonstrar.

13 2.2 Limite de uma Seqüência 54 Quando uma seqüência não é limitada, seus elementos podem se espalhar por toda a reta, distanciando-se uns dos outros, como acontece com a n = n, a n = n ou a n = ( ) n (2n + ). Se a seqüência for limitada, estando seus elementos confinados a um intervalo [A, B], eles são forçados a se acumularem em um ou mais lugares desse intervalo. Isto é o que nos diz o Teorema de Bolzano-Weierstrass, enuciado a seguir, cuja demonstração está baseada na propriedade do supremo. Para mais detalhes, vinde [], pg. 36. Teorema 2.4 de Bolzano-Weierstrass Toda seqüência limitada (a n ) possui uma subseqüência convergente. Como a seqüência é limitada, existe um número positivo M tal que, para todos os índices n, M < a n < M. Seja X o conjunto dos números x tais que existe uma infinidade de elementos da seqüência à direita de x, isto é, x < a n para uma infinidade de índices n. É claro que M X e M é uma cota superior de X. Tratando-se, pois, de um conjunto não vazio e limitado superiormente, X possui supremo, que designamos por A. Vamos provar que existe uma subseqüência convergindo para A. Começamos provando que, qualquer que seja ε > 0, existem infinitos índices n tais que A ε < a n e somente um número finito satisfazendo A + ε < a n. De fato, sendo A o supremo de X, existe x X à direita de A ε e infinitos a n à direita desse x, portanto à direita de A ε; ao mesmo tempo, só pode existir um número finito de elementos a n > A + ε; do contrário, qualquer número entre A e A + ε estaria em X. Seja ε = e a n um elemento da seqüência no intervalo (A, A + ). Em seguida, seja a n2, com n 2 > n, um elemento da seqüência no intervalo (A, A + ). Em 2 2

14 2.2 Limite de uma Seqüência 55 seguida, seja a n3, com n 3 > n 2, um elemento da seqüência no intervalo (A 3, A + 3 ). Continuando com esse raciocinio, construimos uma subseqüência (x j ) = (a nj ), que certamente converge para A, pois x j A <. E assim a demonstração esta completa. j Além de sua importância, tanto teórico como prática, o teorema abaixo teve papel histórico relevante. Foi tentando prová-lo de maneira puramente aritmética que Dedekind(858) verificou a imposibilidade de fazê-lo sem antes possuir uma teoria matemática satisfatória dos números reais. Teorema 2.5 Toda seqüência monótona limitada é convergente. Consideremos, para fixar as idéias, a seqüência (a a 2... a n...) nãodecrescente limitada. A hipótese de ser limitada significa que ela é limitada superiormente, ou seja, seu conjunto de valores possui supremo S. Afirmamos que lim a n = S. Com efeito, dado qualquer ε > 0, como S ε < S, o número S ε não é cota superior do conjunto dos a n. Logo existe algum n o IN tal que S ε < a no. Como a seqüência é monótona, n > n o a no a n e, portanto, S ε < a n. Como a n S para todo n, vemos que n > n o S ε < a n < S + ε.

15 2.3 Operações com limites 56 Assim completamos nossa demonstração. Corolário 2.2 Se uma seqüência monótona (a n ) possui uma subseqüência convergente, então (a n ) é convergente. Com efeito, pelo Lema 2.2, a seqüência monótona (a n ) é limitada e consequentemente pelo teorema anterior esta demonstrado o corolário. 2.3 Operações com limites Mostraremos agora algumas operações, soma, multiplicação e divisão, dos limites de seqüências. Teorema 2.6 Se lim a n = 0 e (b n ) é uma seqüência limitada, lim a n.b n = 0. Iste resultado é válido, ainda, que lim b n não exista.

16 2.3 Operações com limites 57 Sendo (b n ) limitada, existe c > 0 tal que b n < c prar todo n IN. Dado ε > 0, como lim a n = 0, podemos encontrar n o IN tal que Logo, Isto nos montra que a n.b n 0. n > n o a n < ε c. n > n o a n.b n = a n. b n < ε.c = ε. c Exemplo 2.9 Qualquer que seja x IR, temos Solução: sen(nx) lim n n = 0. Como De fato, sen(nx) n = sen(nx). n. em outras palavras, é limitado e sen(nx), n 0, pelo teorema anterior, temos o resultado desejado. Lema 2.3 Sendo lim b n = y, com y 0, então, salvo um númro finito de índices n, tem-se b n 0.

17 2.3 Operações com limites 58 Com efeito, sendo y 0, podemos tomar um intervalo (y ε, y + ε) de centro y, tal que 0 (y ε, y + ε). Para isto, tome ε = y. Então existe n o IN tal que n > n o b n (y ε, y + ε) isto é n > n o b n 0. Teorema 2.7 Seja lim a n = x e lim b n = y, então: (a) lim(a n + b n ) = x + y e lim(a n b n ) = x y; (b) (c) lim(a n.b n ) = x.y; lim( an b n ) = x y se y 0. (a) Sendo lim a n = x e lim b n = y temos, respectivamente que, existem n e n 2 em IN tais que: n > n a n x < ε 2 e n > n 2 b n y < ε 2.

18 2.3 Operações com limites 59 Seja n o = max{n, n 2 }. Então n > n o, nos leva a n > n e n > n 2. Logo n > n o implica: (a n + b n ) (x + y) = (a n x) + (b n y) a n x + b n y < ε 2 + ε 2 < ε. Com isto provamos que lim(a n + b n ) = x + y. De maneira análoga se prova a diferença. (b) Observe que a n b n xy = a n b n a n y + a n y xy = a n (b n y) + (a n x)y. Pelo teorema 2.3, (a n ) é uma seqüência limitada e pelo item (a) lim(b n y) = 0. Logo pelo teorema 2.5, lim[a n (b n y)] = 0. De maneira análoga temos, lim[(a n x)b] = 0. Dessa forma temos, pelo item (a) lim(a n b n xy) = lim[a n (b n y)] + lim[(a n x)b] = 0, donde obtemos Para que a seqüência an b n lim(a n.b n ) = x.y. tenha sentido, ou seja, para que ela seja formada, limitamonos aos índices n suficientemente grandes de modo que b n 0. (c) Note, pelo item anterior, que b n y y 2, ou seja, existe n o IN tal que n > n o b n y > y2 2.

19 2.3 Operações com limites 60 Para ver isto, basta tomar ε = y2 2 e achar o n o correspondente. Daí, para todo n > n o, b ny Como 2 é um número positivo inferior a. Logo, a seqüência ( y 2 b ny ) é limitada. Veja bem, a n x b n y = ya n xb n b n y = (ya n xb n ) b n y. lim (ya n xb n ) = xy xy = 0, n segue do teorema 2.5 que e portanto lim( a n b n x y ) = 0, lim( a n b n ) = x y. Exemplo 2.0 Calcule o limite da seqüência de números reais a n = n x = x n, onde x > 0. Solução: Note que esta seqüência é decrescente se x >, crescente se x < e limitada em qualquer um dos casos. Portanto, existe lim x n n = L. Sem sombra de dúvida temos L > 0. De fato,

20 2.3 Operações com limites 6 (i) Se 0 < x <, então L = sup{x n ; n IN} x. (ii) Se x > então x n >, para todo n, logo L = inf{x n ; n IN} Podemos afirmar com toda certeza que lim n x n =. Com efeito, consideremos a subseqüência (x n(n+) ) = (x 2, x 6, x 2,...). Pelo teorema 2.2 e pelo item (c) do teorema 2.6 obtemos L = lim x n(n+) = lim x n n+ = lim x n x n+ = lim x n lim x n+ = L L =. Exemplo 2. Calcule lim n n n = lim n n. Solução: Primeiramente, vamos verificar se este limite existe. Para tanto, basta provar que a seqüência é monótona. A seqüência em questão é uma seqüência de números reais positivos, portanto limitada inferiormente. Vejamos se é monótona: Para que seja n n > n+ n + é necessário e suficiente que n n+ > (n + ) n,

21 2.4 Critério de Convergência de Cauchy 62 isto é, que n > ( + n )n. Isto de fato ocorre para todo n 3, pois sabemos que ( + n )n < 3 (verifique!!!) seja qual for n. Assim concluímos que a seqüência dada por n n é decrescente a partir do seu terceiro termo. Note que < 2 < 3 3, logo ela cresce em seus três primeiros passos, só então começando a decrescer. Assim ( n n) é limitada e monótona decrescente a partir do seu terceiro termo. Portanto seu limite existe. Seja lim n n = L. Como a seqüência é monótona decrescente temos que L = inf{n n ; n IN}. Uma vez que n n particular, L > 0. Considerando a subseqüência (2n) 2n, temos > para todo n IN, temos L. Em L 2 = lim[(2n) 2n ] 2 = lim[(2n) n ] = lim[2 n.n n ] = lim 2 n. lim n n = L. Como L 0, de L 2 = L obtemos L =. Portanto, lim n n n =. 2.4 Critério de Convergência de Cauchy Um critério de convergência já foi dado antes, Teorema 2.4 ( Toda seqüência monótona limitada é convergente ), ou seja, um teorema que nos permite saber, em certos casos, se uma dada seqüência é convergente, mesmo sem conhecermos o valor desse limite. Mas é claro que muitas seqüências convergentes não são monótonas, de modo que aquele

22 2.4 Critério de Convergência de Cauchy 63 critério de convergência não é o mais geral possível. Em contraste, o teorema seguinte é de caráter geral, é um critério de convergência, que nos dará uma condição, não somente suficiente mas também necessária, para a convergência de qualquer seqüência de números reais. Este critério é conhecido como Critério de Convergência de Cauchy. Definição 2.2 Uma seqüência de números reais (a n ) é dita ser uma uma seqüência de Cauchy se ela satisfaz a seguinte condição: dado arbitrariamente um número real ε > 0, pode-se obter n o IN tal que m > n o e n > n o implicam a m a n < ε. Note, o leitor, que comparando esta definição com a definição de limite observamos que, na definição de limite, exige-se que os termos a n se aproximem arbitrariamente de um número real L, dado a priori. Enquanto que, para (a n ) ser uma seqüência de Cauchy, exige-se que seus termos a m e a n, para valores suficientemente grandes dos índices m e n, se aproximem arbitrariamente uns dos outros, ou seja, impõe-se, apenas, uma condição sobre os termos da própria seqüência. Lema 2.4 Toda seqüência de Cauchy é limitada. Seja (a n ) uma seqüência de Cauchy. Tomando ε =, obtemos n o IN tal que m, n > n o a m a n <. Em particular, n n o a no a n <,

23 2.4 Critério de Convergência de Cauchy 64 ou seja, n n o a n (a no, a no + ). Sejam α o menor e β o maior elemento do conjunto {a, a 2,..., a no, a no + }. Então a n [α, β] para cada n IN, logo (a n ) é limitada. Lema 2.5 Se uma seqüência de Cauchy (a n ) possui uma subseqüência convergindo para L IR então lim a n = L. Sendo (a n ) uma seqüência de Cauchy temos que dado ε > 0, existe n o IN tal que m, n > n o a m a n < ε 2. Seja (a ni ) uma subseqüência de (a n ) convergindo para L. Então existe n > n o tal que a n L < ε 2. Portanto, n > n o a n L a n a n + a n L < ε 2 + ε 2 = ε. Com isso mostramos que lim a n = L.

24 2.5 Limites Infinitos 65 Teorema 2.8 Critério de Convergência de Cauchy Uma seqüência de números reais é convergente se, e somente se, é Cauchy. Seja (a n ) uma seqüência tal que lim a n = L. Dado arbitrariamente ε > 0, existe n o IN tal que m > n o a m L < ε 2 e Logo, n > n o a n L < ε 2. m, n > n o a m a n a m L + a n L < ε 2 + ε 2 = ε. Portanto (a n ) é uma seqüência de Cauchy. Reciprocamemte, seja (a n ) uma seqüência de Cauchy. Pelo Lema 2.4, ela é limitada. Consequentemente, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, ela possui uma subseqüência convergente. Finalmente do Lema 2.5 temos que (a n ) converge. Isto completa a demonstração do teorema. 2.5 Limites Infinitos Certas seqüências, embora não convergentes, apresentam um comportamento tanto quanto regular, a saber, aquelas cujos valores se tornam e se mantêm arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos com o crescer do índice. Seqüências com estas propriedades, dizemos que diverge para mais infinito ou para menos infinito respectivamente.