Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto

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1 Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação Tutorial mariangelica. petmat@ yahoo. com. br Vinícius Vieira Fávaro Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Professor Adjunto I favaro@ famat. ufu. br Resumo: Neste trabalho construímos um exemplo de uma função contínua f : R R que não é diferenciável em nenhum ponto. Para a construção de tal exemplo, introduzimos alguns conceitos e resultados básicos da Análise Matemática, e aplicamos esses resultados na construção de tal exemplo. Além disso, fizemos um breve apanhado histórico do surgimento do problema de encontrar funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto. 1 Introdução Com o surgimento do Cálculo Diferencial, mais precisamente, o conceito de continuidade e diferenciabilidade de funções reais a valores reais, vários problemas naturais aparecem. Para motivar o propósito deste trabalho, vamos estudar alguns problemas: Toda função contínua é diferenciável? Não, por exemplo a função f(x) = x, x R, não é derivável em p = 0, entretanto, esta função é contínua em p = 0, o que nos mostra que uma função pode ser contínua em um ponto sem ser derivável neste ponto. Desse modo, continuidade não implica em diferenciabilidade. Note que tal função não é diferenciável em 0, pois os limites laterais abaixo são diferentes: f(x) f(0) x 0 lim = x 0 + x 0 x 0 = 1 f(x) f(0) x 0 lim = x 0 x 0 x 0 = 1 Na figura 1.1 temos o gráfico da função f(x) = x. Note que o gráfico de f não possui reta tangente no ponto (0, 0).

2 4 FAMAT em Revista Figura 1.1: Exemplo de uma função contínua mas não diferenciável Existe alguma função que não é diferenciável em nenhum ponto? Sim, a função de Dirichlet é um exemplo de função que não é diferenciável em nenhum ponto. A mesma é dada por f(x) = { 1, se x Q 0, se x (R Q) Vamos mostrar que f não é contínua em nenhum ponto a R. Primeiramente, seja a R Q. Tome ε = 1 2 > 0. Então para cada δ > 0, como Q é denso em R, existe x δ Q, tal que x δ a < δ, mas f(x δ ) f(a) = 1 0 = 1 > 1 2 = ε. Portanto, f não é contínua em a. O caso a Q, decorre de maneira análoga usando a densidade de R Q em R. Portanto f não é contínua em nenhum ponto de R. Como toda função contínua é diferenciável, segue que f não é diferenciável em nenhum ponto de R. Note que, nesse exemplo, a função não é diferenciável em nenhum ponto, pois não é contínua em nenhum ponto. Isso motiva a próxima pergunta: Existe alguma função contínua f que não seja diferenciável em infinitos pontos? Sim, basta estender por periodicidade a função f(x) = x a toda reta, conforme figura 1.2 Agora, trataremos do problema central deste trabalho: Existe uma função f contínua que não seja diferenciável em todos os pontos de R? É fácil percebermos que continuidade não implica em diferenciabilidade; que existem funções que não são diferenciáveis em nenhum ponto; e funções contínuas f que não são diferenciáveis em infinitos pontos; mas nossa intuição pode falhar quando nos perguntamos se existe alguma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto de seu domínio. Introdução Universidade Federal de Uberlândia

3 Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto 5 Figura 1.2: Exemplo de uma função não diferenciável em infinitos pontos De fato, no início do século XIX, muitos matemáticos acreditavam que as funções contínuas tinham derivadas num número significativo de pontos e alguns matemáticos tentaram dar justificativas teóricas deste fato, como por exemplo A. M. Àmpere em um trabalho publicado em Mas até o início do século XIX os principais conceitos do Cálculo ainda não tinham uma fundamentação lógica adequada e o trabalho de Àmpere falhava nisso, dadas as limitações das definições de seu tempo. Em 1872, K. Weierstrass publicou um trabalho que chocou a comunidade matemática provando que esta conjectura era falsa. Mais precisamente, ele construiu um exemplo de uma função contínua que não era diferenciável em nenhum ponto. A função em questão, foi definida por w(x) = a k cos(b k πx), onde 0 < a < 1 e b é um número ímpar tal que ab > 1 + 3π 2. Este não foi o primeiro exemplo de uma função com tais propriedades; com o tempo, foram encontrados exemplos datados de antes do exemplo de Weierstrass, como os do matemático tcheco B. Bolzano, em torno de 1830 e do matemático suíço C. Cellérier, em torno de Após o exemplo de Weierstrass, vários outros matemáticos deram suas contribuições construindo exemplos de funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto. Neste trabalho apresentaremos o exemplo devido a van der Waerden, mas para isso precisaremos de alguns resultados básicos da Análise Matemática. 2 Definições e resultados preparatórios Definição 2.1. Seja X R. Uma sequência de funções f n : X R é uma correspondência que associa a cada número natural n uma função definida de X em R. Dizemos que a sequência de funções converge simplesmente (ou pontualmente) para a função f : X R se para cada x R, a sequência de números (f n (x)) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x),...) converge para o número f(x). Em outras palavras, (f n ) converge para f simplesmente se dado x X e ε > 0, n 0 N tal que n n 0 f n (x) f(x) < ε. Notação: f n f simplesmente. Definição 2.2. Dizemos que a sequência de funções f n : X R converge uniformemente para uma função f : X R, se dado ε > 0, n 0 N tal que Faculdade de Matemática Definições e resultados preparatórios

4 6 FAMAT em Revista Notação: f n u f n n 0 f n (x) f(x) < ε, x X. Definição 2.3. Uma série de funções é uma série do tipo f n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) +. n=1 Dizemos que tal série converge pontualmente se para cada x X a série numérica f n (x) converge (ou a sequência das somas parciais (s n (x)) n=1, onde s n(x) = f 1 (x) + + f n (x), é convergente). Definição 2.4. Dizemos que a convergência é uniforme, ou que a série de funções converge uniformemente se a sequência das somas parciais (s n ), onde s n (x) = f 1 (x)+ +f n (x), converge uniformemente. Ou seja, n=1 f n(x) converge uniformemente em X para a soma f(x), se dado ε > 0, n 0 N tal que n n 0 f(x) n f n (x) = j=1 j=n+1 f j (x) < ε, x X. Teorema 2.1 (Critério de Cauchy para séries numéricas). Uma condição necessária e suficiente para que uma série a n seja convergente é que dado qualquer ε > 0, exista n 0 N tal que, para todo inteiro positivo p, n n 0 a n+1 + a n a n+p < ε Demonstração: Primeiramente, suponha a n = S, com soma parcial S n = n j=1 a j. Daí S n converge para S, donde segue que (S n ) é uma sequência de Cauchy. Assim, seja ε > 0 e p N. Como (S n ) é de Cauchy, existe n 0 N, tal que m, n n 0 S n S m < ε. Tome m = n + p, então n n 0 m = n + p > n n 0 a n a n+p = S n+p S n < ε Contrariamente, considere a sequência das somas parciais S n = n j=1 a j. Assim, segue da hipótese que ε > 0, n 0 N tal que, p N n n 0 S n S n+p < ε m, n n 0, m n S n S m < ε Logo, (S n ) é uma sequência de Cauchy, o que implica que (S n ) é convergente. Potanto, a n é convergente. Apresentaremos agora dois resultados que serão usados na construção de nosso exemplo: Teorema 2.2. Se uma série de funções contínuas f n (x) converge uniformemente em um intervalo para f(x), então f também é contínua. Teorema 2.3 (Teste de Weierstrass). Seja f n : X R uma sequência de funções e suponha que existam constantes positivas M n, n N, tais que f n (x) M n, x X e n N. Se M n é convergente, então a série f n (x) converge absolutamente e uniformemente em X. Definições e resultados preparatórios Universidade Federal de Uberlândia

5 Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto 7 Demonstração: pois Pelo teste da comparação, para cada x X, temos que f n (x) converge, f n (x) M n, x X, n N e M n é convergente. Portanto, f n (x) converge absolutamente, x X. Seja ε > 0. Como M n é convergente, segue do Teorema 2.1 que existe n 0 N tal que Assim, x X e m > n n 0 temos m > n n 0 m j=n+1 M j < ε. f n+1 (x) + + f m (x) f n+1 (x) + f n+2 (x) + + f m (x) m M n+1 + M n M n = M j < ε. j=n+1 Portanto, segue do Critério de Cauchy para séries de funções que f n (x) converge uniformemente. Agora estamos aptos a construir uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. 3 A função de van der Waerden Consideremos inicialmente a função f 0 : R R, dada por f 0 (x) = {x}, onde {x} denota a distância de x ao inteiro mais próximo. Por exemplo, f 0 (9, 2) = 0, 2; f 0 ( 8) = 0; f 0 (1, 83) = 0, 17. Agora considere a função f 1 (x) = f 0 (10x), x R. Por exemplo f 1 (5, 64) = a distância de 56, 4 a 56 que é 0, 4. Da mesma forma definimos f 2 (x) como sendo a distância de 100x ao inteiro mais próximo, ou seja, f 2 (x) = f 0 (100x). Generalizando, temos f k (x) = f 0 (10 k x), x R e k = 0, 1, 2,... As figuras 3.1, 3.2 e 3 representam os gráficos das funções f 0, f 1 e f 2, respectivamente. Note que já não é uma tarefa simples desenhar uma reta tangente ao gráfico de f 2. A partir do gráfico de f 0, vemos que ela é periódica de período 1 (ou melhor, f 0 (x+1) = f 0 (x), x R ), é contínua e além disso f 0 (x) 1, x R. 2 Definamos agora a seguinte função Como, F (x) = f k (x) 10 k f k (x), x R. (3.1) 10k k = 1 2 e 1 1 é uma série convergente, segue do Teste de Weierstrass que a série (3.1) é uniformemente 2 10k convergente em R. Em particular, temos que F está bem definida. Nosso objetivo é mostrar que F é contínua, mas não é derivável em nenhum ponto de R. Como cada f k é contínua e f k (x) converge uniformemente para F (x) em R, segue do Teorema 10 k 1 10 k Faculdade de Matemática A função de van der Waerden

6 8 FAMAT em Revista Figura 3.1: gráfico de f 0 Figura 3.2: gráfico de f 1 Figura 3.3: gráfico de f 2 A função de van der Waerden Universidade Federal de Uberlândia

7 Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto que F é contínua em R. Portanto, nos resta mostrar que F não é diferenciável em nenhum ponto de R. Para isto, contruiremos uma sequência (x n ) n=1 tal que lim x n = a, mas não exista o limite n lim n F (x n ) F (a). x n a Para isto, suponha a = a 0, a 1 a 2... a n..., com n N e considere x n = a 0, a 1 a 2... a n 1 b n a n+1... onde b n = a n + 1 se a n 4 ou 9 e b n = a n 1 se a n = 4 ou a n = 9. Assim, x n a = ±10 n. Por exemplo, se a = 0, 27451, temos Para esses exemplos, temos Generalizando, temos que para n N Assim, F (xn) F (a) F (x n ) F (a) x n a x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, f 0 (x 3 ) f 0 (a) = 0, 001 f 1 (x 3 ) f 1 (a) = +0, 01 f 2 (x 3 ) f 2 (a) = 0, 1 f 3 (x 3 ) f 3 (a) = 0 f k (x 3 ) f k (a) = 0, k 3 f k (x n ) f k (a) = ±10 k n, k = 0, 1,..., n 1 f k (x n ) f k (a) = 0, k n = f k (x n ) f k (a) 10 k (x n a) = n 1 ±10 k n n 1 10 k (±10 n ) = Logo, x n a é um inteiro par, se n for par, ou é um inteiro ímpar se n for ímpar. Portanto, temos que F (x n ) F (a) lim n x n a não existe. Então, F não é derivável em a, para todo a R, como queríamos demonstrar. As figuras 3 e 3, representam os gráficos das somas parciais de F para n = 6, nos intervalos [0, 1] e [0.49, 0.51], respectivamente. Esses gráficos dão uma noção de como o gráfico de F se comporta, apesar de não ser possível construir o gráfico de tal função. Para somas parciais de F cada vez maiores, fica cada vez mais difícil encontrar retas tangentes ao gráfico de F. ±1. 4 Considerações finais O estudo de funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto é importante não só por ser um problema clássico do Cálculo, mas também por estar conectado com vários outros ramos da matemática; como por exemplo na teoria de fractais e na teoria do caos. Além disso, vários outros resultados interessantes foram obtidos para tais funções, utilizando teoremas clássicos de Topologia. Faculdade de Matemática Considerações finais

8 10 FAMAT em Revista Um exemplo surpreendente (que estudaremos posteriormente) sobre tais funções é obtido usando o Teorema de Baire. Utilizando este resultado, S. Banach provou que existem muito mais funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto (no sentido de categoria de Baire) do que funções contínuas que são diferenciáveis. Referências Bibliográficas [1] G. Ávila, Introdução à Análise Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, [2] R. Goldberg, Methods of Real Analysis, John Wiley e Sons, New York, [3] E. L. Lima, Curso de Análise, vol.1, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, Considerações finais Universidade Federal de Uberlândia