Monografia sobre R ser um Domínio de Fatoração Única implicar que R[x] é um Domínio de Fatoração Única.
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1 Universidade Estadual de Campinas Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Departamento de Matemática Monografia sobre R ser um Domínio de Fatoração Única implicar que R[x] é um Domínio de Fatoração Única. ALEX SANDRO FARIA MANUEL - RA HENRIQUE COSTA DOS REIS - RA PAULA MACEDO LINS DE ARAUJO - RA YURI SANTOS REGO - RA MM Anéis e Corpos Professor: Dr. Fernando Torres Dezembro de 2013 Campinas - SP
2 Sumário 1 O anel R Definições e Observações O anel R[x] Definições e Observações Referências Bibliográficas 10 1
3 Capítulo 1 O anel R Nesta monografia admitimos que o leitor esteja familiarizado com a noção de anéis, ideais e homomorfismos de anéis, além de algumas de suas propriedades. No capítulo 1 revisaremos alguns conceitos importantes que serão usados neste trabalho. 1.1 Definições e Observações Definição 1.1. Um anel R comutativo, com unidade é chamado de Domínio de Integridade se a, b R, ab = 0 a = 0 ou b = 0. Definição 1.2. Um anel R é chamado de Anel de Divisão se todos os seus elementos são invetíveis, isto é a R b R : ab = ba = 1. Este elemento será denotado por a 1. Definição 1.3. Um anel R é chamado Corpo se ele é um anel de divisão comutativo. Observação 1.1. Todo corpo é um domínio de integridade. Demonstração. Com efeito, sejam a, b R com ab = 0, suponha que a 0, logo a 1 R. Portanto: a 1 (ab) = a 1 0 (a 1 a)b = 0 1b = 0 b = 0. Definição 1.4. Um anel R comutativo e associativo é chamado de Anel Euclideano se satizfaz as seguintes propriedades: 1. R é munido de uma função : R N tal que a, b R q, r R : a = bq + r 2
4 onde r = 0 ou r b, e R = R {0}; 2. a ab, a, b R. Observação 1.2. A igualdade a = bq + r onde r = 0 ou r b, e R = R {0} de 1. da definição acima é conhecida por Algoritmo da Divisão. Definição 1.5. Um anel euclideano R é chamado de Domínio Euclideano (DE) se R é também um domínio de integridade. Definição 1.6. Dados a 1, a 2,..., a n em um anel R, o ideal gerado por estes elementos é o conjunto I = {x 1 a x n a n ; x i R} que será denotado por [a 1, a 2,..., a n ]. Definição 1.7. Um anel R é chamado de Anel de Ideal Principal se para todo ideal I de R existe um elemento a R tal que I = [a]. Observação 1.3. Todo anel euclideano é anel de ideal principal. Demonstração. Seja I um ideal de R: i) se I = {0} então I = [0]. ii) se I {0}, considere o conjunto L = { i : i I {0}} [0, + ). Seja i 0 I tal que i 0 = minl. Tome i I {0} q, r R : i = i 0 q + r onde r = 0 ou r i 0. Então r = i i 0 I, pois I é um ideal. Absurdo, pois i 0 é o mínimo de L. Logo I = [i 0 ]. Observação 1.4. Se R é um anel euclideano então 1 R. Demonstração. Seja I ideal de R. Como R é um ideal de R R = cr para algum c R. Logo x R tal que c = cc. Afirmamos que x = 1, de fato, seja a R a = ca ac = (ca )c = c(a c ) = c(c a ) = (cc )a = ca = a e c a = c (ca ) = (c c)a = (cc )a = ca = a. Definição 1.8. Um anel de ideais principais R que também é um domínio de integridade é chamado de Domínio de Ideais Principais (DIP). Definição 1.9. Se a, b R então d R é chamado de Máximo Divisor Comum (MDC) de a e b se: 1. d a e d b; e 3
5 2. Sempre que c a e c b então c d. Nós usaremos a notação d = mdc(a, b). Lema 1.1. Seja R um anel euclideano. Então quaisquer dois elementos a, b R tem um MDC d. Mais ainda, d = xa + yb para alguns x, y R. Demonstração. Seja A o conjunto de todos os elementos ra + sb onde r, s correm sobre R. Afirmamos que A é um ideal de R. Com efeito, suponha que u, v A logo u = r 1 a + s 1 b e v = r 2 a + s 2 b logo u ± v = (r 1 ± r 2 )a + (s 1 ± s 2 )b A. Análogo para p R logo pv = p(r 2 a + s 2 b) = (pr 2 )a + (ps 2 )b A. Como A é um ideal de R, existe um elemento d A tal que A = [d]. Como 1 R pois ele é um DE, temos que a = 1a + 0b A e b = 0a + 1b A. Estando em A eles são ambos múltiplos de d, portanto: d a e d b. Finalmente, suponha que c a e c b então c xa e c yb portanto c xa + yb = d. Logo d = mdc(a, b). Definição Um elemento a R é chamado de Elemento Irredutível se a = bc b U(R) ou c U(R), onde U(R) = {a A / a 1 : aa 1 = a 1 a = 1} é o Conjunto das Unidades de R. Um elemento que não é irredutível é chamado de Redutível. Definição Seja R um anel comutativo com 1. Dois elementos a e b são chamados Associados se b = ua para alguma unidade u R. Definição Dizemos que a divide b se existe x R : b = ax. Nesse caso, indicaremos este fato pela notação a c. Definição Um elemento a R é chamado de Elemento Primo se a bc a b ou a c. Observação 1.5. Seja R um anel euclideano. Todo elemento irredutível de R também é um elemento primo de R. Demonstração. Seja p R um elemento irredutível e suponha que p ab mas p não divide a. Logo, como p é irredutível temos que mdc(p, a) = 1. Sabemos que o mdc(p, a) = xp+ya para 4
6 alguns x, y R. Logo xp+ya = 1 e multiplicando esta relação por b obtemos: xpb+yab = b. Mas p xpb e p yab logo p xpb + yab = b. Definição Um anel R é chamado de Domínio de Fatoção Única (DFU), se ele é um domínio de integridade tal que: 1. Todo elemento não nulo que não é uma unidade de R pode ser decomposto em um produto de irredutíveis. 2. A decomposição da parte 1 é única além da ordem e multiplicação por unidades. Teorema 1.1. Se R é um DE então R é um DFU. Demonstração. Sejam a = p 1 p n = q 1 q m onde os p i e os q j são irredutíveis de R. Logo p 1 q 1 q m. Portanto p 1 divide algum q j, como os dois são irredutíveis de R temos que eles são associados e q j = u 1 p 1 onde u 1 R é uma unidade. Logo após ao cancelamento de p 1 obtemos a = p 2 p n = u 1 q 2 q m. Repetindo este procedimento n vezes o lado esquerdo se torna 1 e o direito vira um produto de uma certa quantidade de q (o excesso de m sobre n), logo n m. Análogamente obtemos que m n logo n = m. No processo acima mostramos que todo p i tem algum q j como um associado e vice-versa. Definição Vamos denotar por F o Corpo de Frações do domínio R, isto é, o conjunto de todos os elementos da forma a b, onde a R e b R, que satisfaz as seguintes propriedades: 1. a b = c d ad = bc. 2. a b + c d = ad+cb bd 3. a b c d = ac bd. e F definido desta forma é um corpo e podemos pensar que R F via o mergulho r r 1, r R. Exemplo 1.1. Se R = Z temos que F = Q. 5
7 Capítulo 2 O anel R[x] Neste capítulo definiremos o conjunto R[x] e veremos quais propriedades este conjunto herda de R. E no final provaremos o tema desta monografia. 2.1 Definições e Observações Definição 2.1. Chamamos de um polinômio sobre R em uma inderteminada x a uma expressão formal p(x) = a a n x n +, onde a i R para todo i N e n N tal que a j = 0 j n. Definição 2.2. Se p(x) = a a n x n + é tal que a n 0 e a j = 0 para todo j > n dizemos que n é o Grau do polinômio p(x), e nesse caso indicamos p(x) = a a n x n e o grau de p(x) por p(x) = n. Se a n = 1 diremos que p(x) é um polinômio Mônico. Definição 2.3. Vamos denotar por R[x] o Conjunto de todos os polinômios sobre R sobre a inderteminada x. Sejam p(x) = a a n x n + e q(x) = b b m x m + elementos de R[x]. Definimos: 1. p(x) = q(x) a i = b i em R, i N. 2. p(x) + q(x) = c c k x k +, onde c i = (a i + b i ) R. 3. p(x) q(x) = c c k x k +, onde c i = a 0 b i + a 1 b i a i 1 b 1 + a i b 0, i N. 6
8 Podemos pensar que R R[x], como o conjunto dos polinômios constantes (de grau zero). Observação 2.1. Podemos pensar que R[x] F [x] via o mergulho r 0 + r 1 x + + r n x n r 01 + r 1 1 x + + rn 1 xn, r i R. Teorema 2.1. Se K é um corpo então K[x] é um DE. Demonstração. Basta utilizar o algoritmo da divisão e fazer o grau do polinômio como a função requerida. Observação 2.2. Do teorema acima, temos que se K é um corpo então K[x] é DIP. Definição 2.4. Um polinômio f R[x] é Primitivo se a f para algum a R apenas se a é uma unidade de R. Exemplo 2.1. Em Z[x], o polinômio 4x 2 2 não é primitivo, pois é divisível por 2, mas 5x 2 3 é primitivo. Lema 2.1. Seja f K[x] primitivo. Então f é irredutível se somente se f não é fatorado como um produto de polinômios com grau positivo. Demonstração. ( ) Segue da definição de polinômio irredutível. ( ) Se f = gh, onde g não tem grau positivo, então g = 0, logo g R, portanto, como f é primitivo, g é uma unidade. Então, se as únicas fatorações de f tem um termo com grau 0, então f é irredutível. O seguinte lema produz polinômios primitivos por uma fatoração: Lema 2.2. Sejam R um DFU e f R[x] não constante, isto é, f > 0. Então existe um a R e um polinômio primitivo g R[x] tal que f = ag. Demonstração. Seja f = a a n x n, e a = mdc(a 0,..., a n ). Então cada a i = ab i, e se tomarmos g = b b n x n então f = ag. Mais ainda, g é primitivo, pois se p R divide b 0,, b n então p divide a 0,, a n, portanto portanto pela definição de mdc é uma unidade. 7
9 Corolário 2.1. Seja R um DFU. Então qualquer polinômio não nulo que não é uma unidade de R[x] é um produto de elementos irredutíveis. Cada elemento irredutível é ou um irredutível de R ou um polinômio primitivo que não se fatora em dois polinômios de graus positivos. Demonstração. Provaremos isto por indução no grau de f. i) f = 0. Neste caso, f R e como R é DFU está OK. ii) Se f > 0 então o lema anterior dá que f = ag, para a R e g primitivo, pois R é DFU, enquanto que o lema 2.1. diz que g é ou irredutível ou é fatorado em dois polinômios g 0 g 1 de graus positivos menores. Por indução, g 0 e g 1 são fatorados pela forma desejada, portanto g também é e, como consequência, ag = f também. O corolário acima nos mostra que a fatoração existe em R[x] e nos descreve a forma que esta fatoração tem. Falta apenas mostrar que ela é única. Lema 2.3. Sejam R um DFU e f, g R[x], onde f é um polinômio primitivo, e F é o corpo de frações de R. Se f g em F [x] então f g em R[x]. Demonstração. Se f divide g em F [x] então g = fh F, para algum h F F [x]. Como h F F [x], seu coeficiente de x i tem a forma a i b i. seja b = b i. Então, depois de cancelar, bh F tem 1 no denominador de cada coeficiente, portanto bh F R[x] e bg = fbh F, então este f divide bg em R[x]. Seja c o elemento de R com o número mínimo de primos na sua fatoração única tal que f divide cg em R[x], isto é, tal que cg = fh para algum h R[x]. Pelo argumento acima, tal c existe. Se c é uma unidade, então a demonstração está completa. Mostraremos que se c não for uma unidade, então teremos uma contradição. Suponha que c não é uma unidade então para algum irredutível p em R divide c. Portanto, p cg = fg, e então p divide ou f ou h. Mas como f é primitivo, p não divide f. E se p divide h, então h p R, portanto c p g = f h p e f divide c g. Isto contradiz a escolha de c como tendo um número mínimo de primos na sua p fatoração única. Lema 2.4 (Lema de Gauss). Sejam R um DFU e F é o corpo de frações de R. Suponha que 0 f R[x] é fatorado em R[x] como f = g F h F. Então f = gh para g, h R[x], onde g = cg F para algum c F. Portanto g = g F e h = h F. 8
10 Demonstração. Seja g F = a 0 b 0 o Lema xxx, que diz que bg F + + an b n x n e seja b = b i, tal que bg F R[x]. aplicando = ag para algum a R e o polinômio primitivo g R[x]. seja c = b a e observe que g = cg F. Então f = g 1 c h F, isto é, g divide f em F [x]. Como g é primitivo, o lema anterior diz que ele também divide f em R[x], como desejado. Agora estamos prontos para demonstrar nosso objetivo principal: Teorema 2.2. Se R é um DFU, então R[x] é um DFU. Demonstração. O corolário 2.1. fatora f em R[x] em primos em R e em polinômios primitivos irredutíveis de grau positivo, satisfazendo a parte 1 da definição de DFU. Precisamos mostrar que a fatoração é única. É suficiente mostrar que ela é única para polinômios primitivos. Suponha que f é primitivo e é fatorado em irredutíveis como f 1 f k. Então cada f i é primitivo, pois se c R divide f i, então c divide f, portanto c é uma unidade pois f é primitivo. Então o lema de Gauss nos diz que cada f i é irredutível em F [x], onde F é o corpo de frações de R. Como F [x] é uma DFU, a fatoração f = f 1 f k é única em F [x], portanto única no domínio menor R[x]. Exemplo 2.2. Como Z é um DFU, então Z[x] é um DFU. Corolário 2.2. Seja R é um DFU, então R[x 1,..., x n ] é um DFU. Demonstração. provaremos isto por indução em n. n = 0 é R que segue pela hipótese. Mas R[x 1,..., x n ] = R[x 1,..., x n 1 ][x n ] por definção, e portanto como R[x 1,..., x n 1 ] é um DFU por indução, o teorema acima dá o resultado. 9
11 Referências Bibliográficas [1] Herstein, I. N.; Topics in Algebra, John Wiley and Sons, 2 ạ edição, (1975). [2] Gonçalves, A.; Introdução à Álgebra, IMPA, Projeto Euclides, 5 ạ edição, Rio de Janeiro (2005). [3] Garcia, A. e Lequain, Y.; Elementos de Álgebra, IMPA, Projeto Euclides, 5 ạ edição, Rio de Janeiro (2008). [4] Lambek, J.; Lectures on Rings and Modules, AMS Chelsea Publishing, 1 ạ edição, (1966). 10
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