Notas de Aula Álgebra Linear II IFA Prof. Paulo Goldfeld Versão

Transcrição

1 Notas de Aula Álgebra Linear II IFA Prof. Paulo Goldfeld Versão

2 2

3 Contents 2 Espaços Vetoriais Espaços e Subespaços Independência Linear Base e Dimensão Mapeamento em Coordenadas Definição Matriz de Mudança de Coordenadas Transformações Lineares Revisão de Funções domínio, contradomínio, imagem função injetora, sobrejetora, bijetora composição de funções definição, exemplos núcleo, imagem, posto matriz da transformação linear com relação a bases dadas núcleo e imagem de uma matriz teorema do posto (ou do núcleo e imagem) espaço vetorial das transformações/matrizes composição/produto de transformações/matrizes composição de funções produto de matrizes inversa de uma transformação/matriz função inversa cálculo da inversa

4 4 CONTENTS

5 Chapter 2 Espaços Vetoriais 2.1 Espaços e Subespaços 2.2 Independência Linear Definição 1 Diz-se que um conjunto finito de vetores {v 1, v 2,..., v p } é linearmente dependente (LD) se o vetor nulo pode ser escrito como combinação linear não-trivial destes vetores, isto é, se existem escalares c 1, c 2,..., c p, nem todos nulos, tais que p i=1 c iv i = 0. Caso contrário, diz-se que o conjunto é linearmente independente (LI). 27/03/2007 Exemplo 1 Em R 3, o conjunto {v 1, v 2, v 3 }, onde v 1 = (1, 2, 3). v 2 = (2, 3, 4) e v 3 = (3, 4, 5), é linearmente dependente, já que v 1 2v 2 + v 3 = 0. Exemplo 2 No espaço vetorial das funções de R em R, o conjunto {v 1, v 2, v 3 }, onde v 1 (x) = sin(x), v 2 (x) = sin(2x) e v 3 (x) = sin(x) cos(x), é linearmente dependente, já que v 2 2v 3 = 0, isto é, sin(2x) 2 sin(x) cos(x) = 0 x R. É muito comum a utilização da expressão vetores LI (ou LD) com o significado de conjunto LI (ou LD) de vetores. Note a impropriedade deste uso, já que cada vetor não é intrinsecamente LI ou LD, podendo um mesmo vetor estar simultaneamente em um conjunto LI e em outro LD (exercício: dê um exemplo assim). Feita esta ressalva, o autor fica à vontade para aderir ao uso popular do termo. Definição 2 Denomina-se relação de dependência linear entre os vetores {v 1, v 2,..., v p } a uma combinação linear não-trivial destes vetores resultando no vetor nulo, isto é, a uma identidade do tipo p i=1 c iv i = 0, onde os coeficientes c i não são todos nulos. 5

6 6 CHAPTER 2. ESPAÇOS VETORIAIS Exemplo 3 No espaço dos polinômios reais, o conjunto {1, t,..., t n } é linearmente independente. De fato, sabe-se que se a 0 +a 1 t+ +a n t n = 0 t R então a i = 0, i = 0, 1, 2,..., n. Observação 1 Segue trivialmente da definição de dependência linear que um conjunto que contém um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente. É imdediato então que um subconjunto qualquer de um conjunto linearmente independente é também linearmente independente (para evitar exceções nesta e em outras afirmações, é conveniente incluir, em nossa definição, o conjunto vazio entre os conjuntos linearmente independentes). Observação 2 É claro que o conjunto {0} é linearmente dependente, uma vez que 1.0 = 0 é relação de dependência linear. Segue da observação anterior que qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é linearmente dependente. Teorema 1 (Caracterização dos Conjuntos LD) Seja S = {v 1, v 2,..., v p } um subconjunto do espaço vetorial V. São afirmações equivalentes: 1. S é linearmente dependente; 2. existe j {1, 2,..., p} tal que v j é combinação linear dos vetores anteriores, isto é, v j = j 1 i=1 c iv i e 3. existe j {1, 2,..., p} tal que v j é combinação linear dos demais vetores, isto é, v j = c i v i p. i=1 i j Exemplo 4 Seja S = {a 1, a 2,..., a n } R m. Quando S é LI? 2.3 Base e Dimensão Definição 3 Diz-se que um subconjunto S de um espaço vetorial V gera V (ou é gerador de V) se span(s) = V. Observação 3 Se S é LD e span(s) = H, então existe um subconjunto próprio de S (isto é, S S, S S) tal que span(s ) = H. Tal S pode ser obtido, por exemplo, removendo-se de S o vetor v j referido no teorema da caracterização de conjuntos LD.

7 2.3. BASE E DIMENSÃO 7 Definição 4 Diz-se que um subconjunto S de um espaço vetorial V é uma base de V se S é LI e S gera V. Teorema 2 Seja V espaço vetorial e S = {s 1,..., s n } e T = {t 1,..., t m } subconjuntos de V. Se S é LI e T é gerador de V, então m n. Prova 1 Como T é gerador, cada vetor de V (e, em particular, cada vetor de S) pode ser escrito (não necessariamente de forma única) como combinação linear dos vetores de T. Desta forma, existem mn escalares a ij, com i = 1,..., m e j = 1,..., n, tais que s j = m a ij t i. (2.1) i=1 Argumentando por contradição, assuma m < n. Neste caso, o sistema Ax = 0 tem mais incógnitas do que pivots e portanto admite soluções não-triviais. Seja x = (c 1, c 2,..., c n ) uma destas soluções. Temos então que n c j a ij = 0, i =,..., m. j=1 Multiplicando por t i e somando em i, temos ( m n ) c j a ij t i = 0. i=1 j=1 Manipulando esta equação, obtemos ( n m ) c j a ij t i = 0. j=1 Substituindo a equação (2.1) na equação acima, chegamos a i=1 n c j s j = 0, j=1 o que contraria a hipótese de que S é LI.

8 8 CHAPTER 2. ESPAÇOS VETORIAIS Corolário 1 Se um espaço vetorial V admite uma base com n vetores, toda base de V tem exatamente n vetores. 29/03/2007 Definição 5 A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer uma de suas bases. 1 Observação 4 Todo conjunto gerador pode ser reduzido a uma base e todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Observação 5 Se H e K são subespaços de V e H K então dim(h) dim(k). Teorema 3 Seja V espaço vetorial de dimensão n e seja β = {b 1,..., b n } um conjunto de n vetores. São equivalentes as afirmações: 1. β é base; 2. β é gerador e 3. β é LI. 2.4 Mapeamento em Coordenadas Definição Teorema 4 Se β = {b 1,..., b n } é uma base de V, então todo vetor v V possui exatamente uma representação na forma v = n i=1 α iv i. Reciprocamente, se todo vetor v V possui uma e só uma representação como combinação linear dos b i s, então β = {b 1,..., b n } é uma base de V. Definição 6 (Mapeamento em Coordenadas) Exemplo 5 Polinômio interpolador por n pontos, base β = {1, (t t 1 ), (t t 1 )(t t 2 ),..., (t t 1 )(t t 2 ) (t t n 1 )} Matriz de Mudança de Coordenadas 1 Aqui foi assumido tacitamente, para justificar o uso do corolário, que o espaço vetorial em questão admite alguma base finita. Quando este não é o caso, diz-se que o espaço vetorial é de dimensão infinita.

9 9

10 10 CHAPTER 3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES Chapter 3 Transformações Lineares 3.1 Revisão de Funções domínio, contradomínio, imagem função injetora, sobrejetora, bijetora composição de funções 3.2 definição, exemplos 03/04/ núcleo, imagem, posto 3.4 matriz da transformação linear com relação a bases dadas 3.5 núcleo e imagem de uma matriz teorema do posto (ou do núcleo e imagem) 3.6 espaço vetorial das transformações/matrizes 3.7 composição/produto de transformações/matrizes composição de funções produto de matrizes matrizes em bloco

11 3.8. INVERSA DE UMA TRANSFORMAÇÃO/MATRIZ inversa de uma transformação/matriz função inversa cálculo da inversa a inversa aplicada em um vetor