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1 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, INTRODUÇÃO A CRIPTOGRAFIA RSA Rafael Lima Oliveira¹, Prof. Dr. Fernando Pereira de Souza². ¹CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS,Brasil, ²CPTL/UFMS, Três Lagoas, MS, Brasil. RESUMO No trabalho foi estudado o conceito de Criptografia RSA, que é uma aplicação da teoria dos números muito usada em bancos, transações com cartão de crédito, compras online, mensagens de e mail e muito mais. Tal algoritmo ou método de criptografar oferece tanta segurança em quaisquer transações que é a mais usada em aplicações comerciais em todo o mundo. A descrição do por que tanta segurança e qualidade deste método serão enunciados neste trabalho, utilizando em seu desenvolvimento conceitos que serão empregados de maneira relativamente elementar, com o objetivo de fazer uma descrição simples e de boa compreensão de todos sobre a Criptografia RSA. Palavras chave: Criptografia RSA, Codificar, Mensagem, Segurança, Algoritmo. INTRODUÇÃO E OBJETIVO A Teoria dos números é uma área muito estudada e conhecida na Matemática por oferecer um leque enorme de resultados importantes utilizando números. Tais conceitos que a teoria dos números estuda em geral são propriedades dos números inteiros, e não de quaisquer números. Alguns exemplos são fatoração, máximo divisor comum, critérios de divisibilidade, números primos e aritmética modular. A criptografia estuda os métodos para codificar uma mensagem de modo que seu destinatário legítimo consiga interpretá la. Tal fato é expressamente necessário para que a mensagem em hipótese alguma, mesmo que seja condicionada por escutas, seja interpretada por quem está com má intenção. Criptografia do tipo RSA, leva este nome devido aos seus inventores R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman em O que será apresentado neste trabalho é o método de criptografar utilizando chave pública chamado RSA, e em seu desenvolvimento será apresentado alguns conceitos de teoria dos números bem como a metodologia para codificar e decodificar mensagens. METODOLOGIA No desenvolvimento deste trabalho foram realizados estudos dirigidos com o orientador e apresentação de seminários expositivos, bem como matéria bibliográfica especificada que possibilitou uma boa apreciação sobre o tema. Entre diversas discussões que o tema proporcionou dentre eles o estudo de máximo divisor comum, fatoração, critérios de divisibilidade, números

2 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, primos e aritmética modular o que se deve ater de todos estes itens é os resultados dos teoremas e proposições vistos em todo o estudo. RESULTADOS Para formalizar o método da criptografia consideram se alguns teoremas, proposições e definições importantes e necessárias oriundas do estudo da teoria dos números: Definições: Um número é dito primo se for divisível somente por 1 e por si próprio. Sejam e fixo. Diz se que é congruente a módulo se, e somente se,. Seja um inteiro. Chama se inverso de um inteiro tal que Algoritmo da Divisão: Sejam. Então, existem únicos tais que (Se resto da divisão de a por b). dizemos que b divide a (b a), q é chamado de quociente e r de Lema: Se, então o. Algoritmo de Euclides: Sejam dois inteiros cujo máximo divisor comum se deseja determinar. Aplicando sucessivamente o algoritmo da divisão temos: Como os restos são todos inteiros positivos tais que e existem apenas inteiros positivos menores que, necessariamente se chega a uma divisão cujo resto O ultimo resto que aparece nesta sequência de divisões é o máximo divisor comum procurado de a e b, isto é, o.

3 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Para melhor entender a criptografia RSA, utiliza se dois resultados, tais resultados podem ser encontrados em Teoria Elementar dos Números de Edgar de Alencar Filho página 183 e página 193. Teorema Chinês do Resto: Sejam inteiros positivos tais que o, sempre que. Então, o sistema de congruências Admite uma única solução módulo Pequeno teorema de Fermat: Seja um número primo. Se então As demonstrações não vão ser apresentadas para que seja possível apresentar mais detalhes do método RSA. Criptografia RSA: Consideram se três etapas para realizar a codificação e decodificação da mensagem. Primeira Etapa: Pré Codificação: Esta etapa se refere à escolha da mensagem para codificação. Considera se para simplificar que nesta mensagem não há números e todas as letras são maiúsculas. A título de exemplo, considera se a mensagem UNOESTE. Utiliza se para converter a mensagem a seguinte tabela A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Obs: O espaço entre duas palavras é definido pelo número 99 quando feita a conversão. Em número a mensagem fica escrita como É importante seguir a tabela de conversão para evitar problemas mais adiante. Define se alguns parâmetros antes de continuar: Seja dois primos distintos que denotaremos respectivamente por p e q tais que o resto na divisão por 6 tem de ser 5. Usa se este parâmetro com intuito de simplificar um pouco mais e também para utilizar um resultado de Coutinho (2008,p.99). Define se, nos quais para o exemplo tomam se dois primos, 17 e 23, logo implica que. A última fase do processo de pré codificação consiste

4 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, em quebrar em blocos o número formado pela conversão da mensagem tal que, estes blocos sejam estritamente menores que. No caso do exemplo, a mensagem seguira da forma: Obs1: A maneira de escolher tais blocos não é única, mas precisam obedecer ao fato de não começarem com 0. Obs2: Os blocos não correspondem a nenhuma unidade lingüística. Segunda Etapa: Codificação: Para codificar é preciso apenas de que é o produto de primos. Diz que é a chave de codificação do sistema RSA e dita chave pública que pode ser enviada a qualquer pessoa. A definição de codificação é: NOTAÇÃO: C(b) é o bloco codificado definido por No exemplo temos que. Desta forma os blocos que foram quebrados seguem: A mensagem codificada será: Feito este processo finaliza se esta etapa. É importante citar que depois de feita a codificação destes blocos não se pode juntá los novamente, pois se acontece, não seria possível distingui los uns dos outros para a etapa seguinte. Terceira Etapa: Decodificação: Para decodificar usam se dois números: e o inverso Fato este porque foi considerado o parâmetro definido acima. Apropriando da definição de inverso (Definição 3) segue Define se o par de chave de decodificação. Esta é mantida em segredo. Notação: Se é o bloco codificado, denota por o processo de decodificação, em que Para calcular, utiliza do fato que foi considerado no parâmetro definido anteriormente, em que deixam resto 5 na divisão por 6. Segue que

5 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Assim, onde Como, ponto 3 em evidência assim, então. Logo, é o inverso de 3 módulo. Como é negativo, adequamos tal número de maneira a encontrar o resto módulo. Assim que é positivo para todo Logo é mesmo o resto de. Portanto podemos tomar. Como no exemplo considera se p=17 e q=23, de forma que que é igual:. Portanto Aplicando a receita dada, temos que, onde a é o bloco codificado. Desta forma o cálculo de tal potência seria complicado se não fosse o algoritmo chinês do resto e o Teorema de Fermat. Aplicando tais ferramentas para decodificar temos que como 391=17.23, faremos. Desta forma segue pelo teorema de Fermat: Daí Novamente pelo teorema de Fermat,, assim Obtém se portanto o sistema:

6 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, Usa para resolver o sistema o teorema chinês do resto. Como, substituindo na segunda congruência temos, somando 13 de ambos os lados da congruência temos. Mas o inverso de, logo como, usando o fato de 4 ser inverso de 17 módulo 23 segue que, sendo assim como, substituindo tem se Portando segue novamente o número correspondente ao bloco original que passou por estas etapas. Fazendo o mesmo processo com os outros blocos que foram codificados: Juntando novamente estes blocos a fim de formar um número novamente: Usando a tabela de conversão obtém se a mensagem UNOESTE, que era o que realmente se tinha anteriormente. DISCUSSÃO Considerando o exemplo dado anteriormente, observou que escolheu dois primos tal que obedecesse ao parâmetro informado e que foram números bem pequenos. Enfim, nas aplicações de RSA em empresas que realmente precisam de muita segurança a chave chega a ser formada por números com cerca de 2470 algarismos de acordo com Coutinho (2008,p.158). Considerando o tamanho deste número, era ainda preciso saber os primos que somente é possível através da fatoração de. Para se ter uma ideia do tempo para se conseguir fatorar considera se uma fatoração finalizada por F. Bahr no Escritório Federal de Segurança de Informação da Alemanha em que os cálculos foram em 80 computadores de 2.2GHz, mesmo assim foi necessário 5 meses para completar as contas que possibilitou fatorar uma chave de 193 algarismos. Pode ver que é possível fatorar, mas como as chaves públicas utilizadas por empresas possuem até 2470 algarismos, definitivamente é impossível que se obtenha novamente os primos. Mas suponha que se conseguiu encontrar os primos, como possui estes tantos algarismos o bloco em que a mensagem foi quebrada dependendo da mensagem já é muito grande, enfim, como a próxima etapa consiste em elevar este enorme número a potência de 3, ou seja, nesta altura a memória do computador já não tem mais espaço suficiente para tantos cálculos. Mesmo que na pior das

7 Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, hipóteses seja possível, na etapa de decodificação o número em que foi elevado na potência 3 precisa ser elevado ao inverso que é obtido pela congruência (*) que é uma potência enorme, sendo assim, definitivamente o número será gigantesco, logo sem nenhuma possibilidade de ser descoberta o bloco original. CONCLUSÕES Neste trabalho se fez uma breve introdução do método de criptografar chamado de RSA, de forma que, o tema foi condicionado de maneira introdutória a fim de deixar o trabalho com leitura e entendimento para diferentes públicos. Além disso, foi possível reafirmar que o processo de criptografar usando o método RSA é totalmente seguro e livre de qualquer perigo da mensagem ser descoberta desde que os primos escolhidos sejam bem grandes. REFERÊNCIAS Alencar Filho, Edgard de. Teoria Elementar dos números, NOBEL, São Paulo, Hefez, Abramo, Elementos de aritmética, SBM, Rio de Janeiro, COUTINHO, S.C., Criptografia, Programa de Iniciação Científica, Rio de Janeiro, 2008.

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