8 8 (mod 17) e 3 34 = (3 17 ) 2 9 (mod 17). Daí que (mod 17), o que significa que é múltiplo de 17.

Transcrição

1 Prova Teoria de Números 23/04/203 Nome: RA: Escolha 5 questões.. Mostre que é múltiplo de 7. Solução: Pelo teorema de Fermat 2 6 (mod 7 e (mod 7. Portanto, 2 67 = = ( (mod 7 e 3 34 = ( (mod 7. Daí que (mod 7, o que significa que é múltiplo de Mostre que a 7 a (mod 2 para todo inteiro a. Solução: Em primeiro lugar pelo teorema de Fermat a 7 a (mod 7, o que significa que 7/a 7 a. Tomando congruência módulo 3, suponha em primeiro lugar que (a, 3 =. Então, a 2 (mod 3 e daí que a 7 = a 6 a a (mod 3. Por outro lado, se (a, 3 então a 0 (mod 3 o que implica que a 7 0 a (mod 3. Em ambos os casos 3/a 7 a. Como (3, 7 =, segue que o produto 2 = 3 7 é divisor de a 7 a, isto é, a 7 a (mod Encontre todos os números x Z tais que i 3x (mod 5; ii 8x 2 (mod 7 e iii 23x 2 (mod. Solução: Trata-se de uma aplicação direta do teorema chinês dos restos. O teorema se aplica pois 5, 7 e são primos entre si. As congruências do enunciado são equivalentes, respectivamente a x 2 (mod 5 x 2 (mod 7 x 2 (mod pois 2 é a inversa de 3 (mod 5, 8 (mod 7 e iii 23 (mod. Valem as seguintes afirmações: (a A inversa de 77 = 7 2 módulo 5 é 3. (b A inversa de 55 = 5 6 módulo 7 é 6. (c A inversa de 35 = módulo é 6.

2 Portanto, pelo teorema chinês dos restos, o conjunto das soluções é a classe de congruência módulo 385 = 5 7 do número x = = = 542. Como (mod 385 as soluções são dadas por 385 n + 2 n Z. 4. Encontre todos os números x, y, z Z que satisfazem as seguintes congruências x + 3y 2 (mod 2 y + 4z (mod 2 x + 3y + 3z 3 (mod 2 Solução: Como 3 (mod 2 e 4 2 (mod 2 o sistema é equivalente a x + y 2 (mod 2 y + 2z (mod 2 x + 3y + z 3 (mod 2 A matriz dos coeficientes desse sistema é 0 A = cujo determinante é 5 7 (mod 2. Esse determinante tem inversa módulo 2, portanto, pelo teorema de Cramer, a matriz tem inversa módulo 2. Essa inversa é dada por A = 7Cof (A T pois 7 é a sua inversa módulo 2. No entanto, 7 2 Cof (A = Portanto, a solução é dada por x 7 2 y z 2 Isto é, (mod 2.

3 (a x 7 ( (mod 2, (b y 7 ( (mod 2 e (c z 7 ( (mod Use o teorema de Wilson para encontrar o resto da divisão de por 7. Solução: Valem as seguintes congruências módulo 7: 3 4, 5 2, 7 0, 9 8, 6, 3 4, 5 2. Como a 2 = a ( a, se obtém as seguintes congruências módulo 7: , , , , 2 6, , Daí que é congruente módulo 7 a ( 7 5! = 5!. Pelo teorema de Wilson 6! (mod 7. Mas, 6 (mod 7, portanto 5! (mod 7. Daí que 5! (mod 7 portanto o número do enunciado é congruente a (mod 7. O resto de sua divisão por 7 é Seja φ a função de Euler. Escreva a fórmula para φ (n em termos da decomposição primária de n. Mostre que se φ (n é divisor de n então n não é multiplo de 5. Solução: Se n = p m p ms s então φ (n = φ (p m φ (p ms s = ( ( p m p m p m s s p ms = n ( p ( ps. Suponha agora que φ (n /n. Se n = 2 então n não é multiplo de 5. Se n 3 então φ (n é par e a hipótese φ (n /n implica que n também é par. Isto é, n = 2 k m com k e m ímpar. Nesse caso, φ (n = φ ( 2 k φ (m = 2 k φ (m. Suponha por absurdo que 5/n. Então, 5/m e a decomposição primária de m é da forma m = 5 l p m p ms s com p i primos ímpares. Portanto, φ (m = φ ( 5 l φ (p m p ms s. Mas, φ ( 5 l = 5 l 4. Daí que o expoente de 2 na decomposição primária de φ (n é pelo menos k +2 = k+ (k proveniente de φ ( 2 k e 2 proveniente de φ ( 5 l. Isto é, 2 k+ /φ (n. Mas, isso é absurdo pois φ (n /n e a maior potência de 2 que é divisor de n é 2 k. 3

4 7. Dado os inteiros positivos a, b e c, mostre que se a b (mod c então (a, c = (b, c. Use isso para mostrar que não existem x, y inteiros tais que x + y = 00 e (x, y = 3. Solução: Sejam d = (a, c e e = (b, c. Se a b (mod c então existe um inteiro n tal que b = a + nc. Dessa igualdade segue que d/b pois d/a e d/n. Portanto, d/b e d/n o que implica que d/e. Pelo mesmo argumento se conclui que e/d. 8. Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo. (a Se x é um número inteiro positivo tal que 4x 2 (mod 5 então x não é quadrado perfeito. (b Se m e n são inteiros tais que m 2 n 2 (mod 8 então m ±n (mod 8. (c Existe um inteiro positivo n tal que φ (n = 27. (φ é a função de Euler. (d 7 44 (mod 36. Solução: (a Verdadeira. Um número y é congruente a 0,, 2, 3, 4 módulo 5. Portanto, y 2 é congruente a 0,, 4 módulo 5, isto é, se um número é quadrado perfeito então ele é congruente a 0,, 4 módulo 5. Por outro lado, se 4x 2 (mod 5 então x 8 3 (mod 5, pois 4 é a sua inversa módulo 5. Daí que x não pode ser quadrado perfeito. (b Falsa (mod 8 e, no entanto, não vale 3 (mod 8 nem 3 7 (mod 8. (c Falsa. A função φ de Euler só assume valores pares. (d Verdadeira. φ (36 = φ ( = φ (2 2 φ (3 2 = 2. Como (7, 36 =, o teorema de Euler garante que 7 2 (mod 36. Daí que 7 44 = (7 2 2 ( 2 (mod Sejam m e n números inteiros com (m, n = tal que (m 3 + 7mn + n 2 /m 3 n 3. Mostre que não existe um número primo p tal que p/ (m 3 + 7mn + n 2 e, portanto, m 3 + 7mn + n 2 = ±. Solução: Suponha por absurdo que o primo p seja divisor de m 3 + 7mn + n 2. Então, p/m 3 n 3 e portanto p/m 3 ou p/n 3, pois p é primo. Suponha, por exemplo que p/m 3. Novamente, como p é primo, segue que p/m. Daí que p/m 3 e p/7mn e como por hipótese p/m 3 + 7mn + n 2 segue que p/n 2 e, portanto, p/n. O que é um absurdo pois (m, n =. 4

5 Como nenhum primo é divisor de m 3 + 7mn + n 2 a única possibilidade é que m 3 + 7mn + n 2 = ±. 5