Máximos, mínimos e pontos de sela Multiplicadores de Lagrange

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1 Máximos, mínimos e pontos de sela Multiplicadores de Lagrange Anderson Luiz B. de Souza Livro texto - Capítulo 14 - Seção 14.7 Encontrando extremos absolutos Determine o máximo e mínimo absolutos das funções sobre o dado domínio. 35. T (x, y) = x + xy + y 6x + na região retangular 0 x 5, 3 y 0. Resolução: Os pontos críticos de T (x, y), candidatos a máximo e mínimo absolutos/globais, satisfazem simultanemante T x (x, y) = 0 e T y (x, y) = 0. Então, { Tx (x, y) = x + y 6 = 0 (x, y) = (4, ). T y (x, y) = x + y = 0 Note que o ponto (4, ) pertence ao domínio retangular de T, D T = {(x, y) R 0 x 5, 3 y 0}. Para classificarmos o ponto crítico, devemos construir a matriz hessiana: H(x, y) = [ Txx (x, y) T xy (x, y) T yx (x, y) T yy (x, y) ] = [ 1 1 Se det(h(4, )) = 0, o método seria inconclusivo. Caso det(h(4, )) < 0, teríamos um ponto de sela. Mas, como det(h(4, )) = 3 > 0 e T xx (4, ) = > 0, trata-se de um ponto de mínimo local. Porém, o exercício não está terminado: o domínio da função T é limitado, então temos que avaliar a função no bordo do domínio, ou seja, as arestas do retângulo. Definimos f 1 (x) = T (x, 3) = x 9x + 11, para 0 x 5. Daí, f 1(x) = x 9 = 0 (9/, 3) é um ponto de mínimo local na aresta 1, pois f 1 (9/) = > 0. Novamente, o domínio de f 1 é limitado. Logo, o bordo do seu domínio - os vértices (0, 3) e (5, 3) - deve ser analisado separadamente. De modo análogo, f (x) = T (x, 0) = x 6x +, para 0 x 5. Com isso, f (x) = x 6 = 0 (3, 0) é um mínimo local na aresta, pois f (3) = > 0. ]. 1

2 Mais uma vez, g 1 (y) = T (0, y) = y +, para 3 y 0. g 1(y) = y = 0 (0, 0) é um ponto de mínimo local na aresta 3. E finalmente, g (y) = T (5, y) = y + 5y 3, para 3 y 0. g (y) = y + 5 = 0 (5, 5/) é um mínimo local na aresta 4. Então Daí, Não se esquecendo dos vértices: (0, 3), (5, 3), (0, 0), (5, 0). Candidatos a máximo e mínimo absolutos: T ( 9/, 3) = 37/4; T (3, 0) = 7; T (0, 0) = ; T (5, 5/) = 37/4; T (4, ) = 10; T (0, 3) = 11; T (5, 3) = 9; T (0, 0) = ; T (5, 0) = 3. Portanto, mínimo absoluto: T (4, ) = 10; máximo absoluto: T (0, 3) = Figura 1 - Gráfico de T (x, y) na região retangular D T. 41. Uma chapa circular tem o formato da região x + y 1. A chapa, incluindo a fronteira x + y = 1, é aquecida de modo que a temperatura no ponto (x, y) é dada por T (x, y) = x + y x. Encontre a temperatura mais quente e mais fria na chapa. Resolução: Cálculo dos pontos críticos { Tx (x, y) = x 1 = 0 (x, y) = (1/, 0). T y (x, y) = 4y = 0 10

3 A partir da matriz hessiana H, H(x, y) = [ ] concluímos que det(h(1/, 0)) = 8 > 0 e T xx (1/, 0) = > 0, trata-se de um ponto de mínimo local. A análise do bordo neste exercício é bem mais simples, pois este admite a parametrização regular: γ(t) = (cos t, sin t), para 0 t < π. Definimos f(t) = T (γ(t)). Daí, pela Regra da Cadeia na derivação da função composta, f (t) = T (γ(t)) γ (t) = (x 1, 4y) γ ( sin t, cos t). Ou substituindo diretamente, f(t) = T (γ(t)) = cos t + sin t cos t = sin t cos t + 1 f (t) = sin t cos t + sin t = sin t( cos t + 1) = 0 sin t = 0 ou cos t = 1/. Usamos a relação fundamental cos t + sin t = 1. Então, os pontos críticos na fronteira ocorrem em t = 0, t = π, t = π/3, ou t = 4π/3. O domínio de f também é limitado, porém já estamos analisando os extremos, t = 0 e t = π; pois γ(0) = γ(π) e t = 0 é um ponto crítico. Candidatos a máximo e mínimo absolutos: T (1/, 0) = 1/4; T (γ(0)) = T (1, 0) = 0; T (γ(π)) = T ( 1, 0) = ; T (γ(π/3)) = T ( 1/, 3/) = 9/4; T (γ(4π/3)) = T ( 1/, 3/) = 9/4. Portanto, menor temperatura: T (1/, 0) = 1/4; maior temperatura: T ( 1/, 3/) = T ( 1/, 3/) = 9/4. 3

4 Figura - Gra fico de T (x, y) na regia o circular x + y 1. Livro texto - Capı tulo 14 - Sec a o 14.8 Multiplicadores de Lagrange Duas varia veis independentes com uma condic a o. 10. Cilindro inscrito na esfera: Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto e aberto (sem tampas) de maior a rea superficial que pode ser inscrito em uma esfera de raio a. Qual e a maior a rea superficial? Resoluc a o. A a rea superficial S do cilindro de raio r e altura h e igual a a rea do reta ngulo, cujo lado coincide com o perı metro da base circular e a altura e a mesma do cilindro; S = πrh. A restric a o do problema na o e dada explicitamente, todavia ela esta relacionada com a fato do cilindro estar inscrito na esfera. Inicialmente, perceba que o cilindro que maximiza a a rea tem as suas bases circulares interceptando a esfera. Daı, a condic a o adve m do Teorema de Pita goras: desenhe o tria ngulo reta ngulo tal que um cateto e a altura do cilindro, o outro cateto e o dia metro da base e a hipotenusa e o dia metro da esfera. Com isso, (a) = (r) + h 4a = 4r + h. Queremos otimizar a func a o a rea superficial f (r, h) = πrh com a restric a o g(r, h) = 4a 4r h = 0. Pelo me todo dos Multiplicadores de Lagrange: f = λ g (πh, πr) = λ( 8r, h) g(r, h) = 0 4a 4r h = 0 4

5 πh = 4λr πr = λh 4a 4r h = 0. Note que r = 0, h = 0 ou λ = 0 são soluções que minimizam a área, f(r, h) = 0. Como queremos maximizar, considere r 0, h 0 e λ 0. Além disso, não precisamos determinar λ, pois esta é apenas uma variável auxiliar. Logo, uma boa ideia é dividir a primeira equação pela segunda: h r = 4r h h = 4r h = r. E adicionando a condição, { h = r 4a 4r h = 0 { r = a / h = a. Portanto, a área superficial máxima é S = f(a /, a ) = πa. Há outra variação do problema: determinar as dimensões do cilindro que otimizam o volume. Verifique, não são as mesmas calculadas anteriormente. Exercícios teóricos e exemplos 41. A condição f = λ g não é suficiente: Embora f = λ g seja uma condição necessária para a ocorrência de valores extremos de f(x, y) sujeita à restrição g(x, y) = 0, somente esta não garante a existência de máximo e mínimo globais. Considere o exemplo: tente, usando o método de Multiplicadores de Lagrange, encontrar o valor máximo de f(x, y) = x + y sujeita à condição g(x, y) = xy 16 = 0. Resolução. Pelo método, { { f = λ g (1, 1) = λ(y, x) g(x, y) = 0 xy 16 = 0 { x = y xy 16 = 0 (x, y) = (4, 4) ou (x, y) = ( 4, 4). Computando f(4, 4) = 8 e f( 4, 4) = 8, esperamos que (4, 4) seja o ponto de máximo e ( 4, 4) o ponto de mínimo absolutos. Entretanto, reescrevendo a condição: g(x, y) = xy 16 = 0 y = 16 x, x 0. 5

6 Então, podemos definir a equivalência h(x) = f(x, y(x)) = f(x, 16/x) = x + 16 x, x 0. Determinar os extremos de f(x, y) com a restrição g(x, y) = 0 é análogo ao cálculo dos extremos de h(x). Desse modo percebemos que o domínio de h, D h = {x R x 0}, é ilimitado e disjunto, e h é descontínua na origem. De maneira nenhuma h satisfaz as condições do Teorema de Weierstrass: Seja ϕ : [a, b] R uma função contínua no intervalo fechado [a, b]; logo ϕ atinge máximo e mínimo absolutos, i.e., c, d [a, b] tais que ϕ(c) ϕ(x) ϕ(d), x [a, b]. Portanto, h não terá valores extremos obrigatoriamente, de fato não tem e isso fica evidente em seu gráfico Figura 3 - Gráfico de h(x) no intervalo [ 10, 10]. Note que x = 4 é um mínimo local e x = 4 é um máximo local de h. Finalmente, mesmo que f = λ g tenha solução, f(x, y) sujeita à g(x, y) = 0 não admite extremos absolutos. Todas essas contradições surgem por causa da curva de restrição: o traço (desenho, gráfico) da hipérbole xy = 16 não é uma região limitada. Em domínios limitados - círculos, elipses, retângulos, segmentos de curvas, esferas, elipsoides, segmentos de superfícies - o método é eficiente. Moral do exercício: fique atento à condição, verifique se a função g(x, y) é contínua e possui traço finito; pois senão, o exercício pode não ter solução! 6

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