Um Exemplo de Topologia Não Metrizável

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Autor: Tamyris Marconi Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Shiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone São Carlos, 15 de março de 2014.

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3 Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Autor: Tamyris Marconi Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Shiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 15 de março de Tamyris Marconi (aluna) Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile Moussa (orientadora)

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5 À minha família.

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7 Agradecimentos Agradeço primeiramente à Deus por ter me dado a chance de chegar até aqui e conseguir ndar este trabalho e aos meus familiares, especialmente meus pais, que sempre estiveram presentes durante toda a minha vida e me deram todo o suporte necessário para nalizar mais essa etapa. Agradeço ainda a todos os meus amigos do curso que sempre me ajudaram e estiveram presentes no decorrer desses últimos anos, compartilhando saberes e momentos. Ainda, a todos os professores que acrescentaram algo em minha formação, compartilhando seus conhecimentos comigo. Em especial à professora Cláudia Gentile pelo suporte e apoio no decorrer de todo este trabalho e também durante minha graduação. Também ao meu namorado Alan por todos os momentos vividos e por todo o apoio no decorrer desses anos.

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9 Resumo Neste trabalho estudamos os conceitos básicos dos espaços topológicos com particular interesse nas topologias em espaços produtos arbitrários e em suas propriedades. Denimos as Topologias Box e Topologia Produto a partir de bases para estas e demonstramos que Topologia de Convergência Simples no conjunto das funções reais não é metrizável. Palavras chave: Espaços Topológicos, Topologia Produto, Topologia Box, Espaço de Funções.

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11 ix Sumário Prefácio xiii 1 Espaços Métricos 1 2 Espaços Topológicos Espaços Topológicos Subespaços Topológicos Interior, Fronteira e Vizinhança Conjuntos Fechados Bases para uma Topologia Sequências em Espaços Topológicos Continuidade em Espaços Topológicos Espaços Conexos Espaços Compactos Topologias em Produtos Cartesianos A Topologia Produto em X Y Topologia Box e Topologia Produto Propriedades dos Produtos Cartesianos Conexidade em Produtos Cartesianos Compacidade em Produtos Cartesianos Topologia da Convergência Simples e Topologia da Convergência Uniforme 35

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13 xi Lista de Figuras 3.1 Produto X Y

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15 xiii Prefácio A denição de espaço topológico que conhecemos hoje demorou bastante tempo para ser formulada. Vários matemáticos, tais como Fréchet e Hausdor, propuseram diferentes denições durante as primeiras décadas do século XX antes dos matemáticos nalmente elegerem a denição atualmente conhecida. Na época, estes desejavam uma denição o mais ampla possível e que, ao mesmo tempo, englobasse os casos especiais de espaços muito úteis na matemática, tais como os espaços euclidianos e os espaços de funções. É válido observar o quão nova é tal denição, observando a história da matemática. Diante disso, este trabalho está pautado no estudo dos elementos de topologia geral, com ênfase em exemplos envolvendo espaços de funções. Nestes demonstramos que a topologia da convergência simples em um conjunto de funções reais não é metrizável. Para tal falamos dos principais conceitos e exemplos de um curso introdutório de topologia, indo desde as noções elementares de abertos e fechados, interior, fronteira e vizinhança, até as denições de continuidade, conexidade e compacidade. Além disso abordamos as topologias mais comuns nos produtos cartesianos arbitrários através de bases para estas, compararando topologias num mesmo conjunto e apontando as mais nas. Assim, este texto está organizado do seguinte modo: no primeiro capítulo denimos espaços métricos e relembramos brevemente algumas propriedades destes. No segundo capítulo discorremos sobre os espaços topológicos mais gerais, salientando suas propriedades básicas. Desse modo, abordamos o conceito de topologia, espaços e subespaços topológicos; interior, fronteira e vizinhança de um conjunto, além de denir conjuntos abertos e fechados nesses espaços. Ainda, denimos base para uma topologia, sequências em espaços topológicos, continuidade de funções e espaços conexos e compactos naqueles. Já no terceiro e último capítulo abordamos mais especicamente as topologias usuais nos produtos cartesianos arbitrários, dando grande ênfase aos espaços de funções. Desenvolvemos ainda alguns resultados importantes desses espaços, tal como o Teorema de Tychonov. Desse modo, concluímos o texto exibindo uma topologia no conjunto de todas as funções reais que não é metrizável, a Topologia da Convergência Simples. É válido ressaltar que durante todo o trabalho utilizamos os livros [2] e [3] como bibliograa básica.

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17 1 Capítulo 1 Espaços Métricos Em qualquer conjunto não vazio podemos introduzir a ideia de medir a distância entre seus pontos através de uma métrica. É disso que este capítulo trata. Introduziremos, assim, rapidamente o conceito de espaço métrico, exibindo sua denição e alguns exemplos. Denição 1.1. Uma métrica num conjunto M é uma função d : M M R que associa a cada par de pontos x, y M um número real d(x, y), chamado a distância do ponto x ao ponto y, de tal modo que: 1) d(x, x) = 0, d(x, y) > 0 se x y; 2) d(x, y) = d(y, x), quaisquer que sejam x e y M; 3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z); quaisquer que sejam x, y e z M (desigualdade triangular). Denição 1.2. Um espaço métrico é um par (M, d) formado por um conjunto M e uma métrica d em M. Exemplo 1.3. O conjunto R dos números reais munido da métrica usual, também conhecida por Métrica Euclidiana, d(x, y) = x y é um espaço métrico. De fato, d(x, x) = 0 = 0; d(x, y) = x y > 0 se x y e d(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = d(x, y) + d(y, z), x, y e z R. Exemplo 1.4. (Métrica 0 - a) Seja M um conjunto não vazio e seja a > 0 um real arbitrário. Denimos d : M M R da seguinte maneira: d(x, y) = { a se x y 0 se x = y Dessa forma, (M, d) é um espaço métrico. De fato, decorre diretamente da denição de d que d(x, y) > 0 se x y e d(x, y) = 0 se x = y. Além disso, se d(x, z) = 0, 0 d(x, y) + d(y, z), y M. Por outro lado, se d(x, z) = a, dado y M, d(x, y) = a ou d(y, z) = a, caso contrário teríamos x = y = z x = z, o que é um absurdo. Portanto, d(x, z) d(x, y) + d(y, z), x, y M.

18 2 1. Espaços Métricos Exemplo 1.5. Seja M um espaço métrico com com uma métrica d. Temos que d : M M R denida por d(x, y) = min{d(x, y), 1} é uma métrica. Com efeito, d(x, y) 0 para todo x, y M e d(x, y) = 0 se, e somente se, d(x, y) = 0, e como d é métrica temos que x = y. Ainda, d(x, y) = min{d(x, y), 1} = min{d(y, x), 1} = d(y, x). Por último temos que d(x, z) d(x, y) + d(y, z) porque se d(x, y) 1 ou d(y, z) 1 segue que o lado direito da desigualdade é pelo menos igual a 1, uma vez que o lado esquerdo é (por denição) no máximo 1, e a inequação é válida. Agora, se d(x, y) < 1 e d(y, z) < 1 temos d(x, z) d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(y, z). Como d(x, z) d(x, z) por denição, a desigualdade triangular é válida para d. Denição 1.6. Seja (M, d) um espaço métrico. Dizemos que um conjunto A M é aberto de M se, para todo p A existe r > 0 tal que a bola aberta B(p, r) de centro em p e raio r está inteiramente contida em A. Exemplo 1.7. Seja M com a métrica 0 a, onde a = 1. Neste espaço métrico todo A M é aberto em M pois, dado x A, para todo A M, a bola aberta B(x, 1/2) = {x} A.

19 3 Capítulo 2 Espaços Topológicos A partir da noção de distância, denem-se os espaços métricos, nos quais estão bem denidos conceitos tais como conjuntos abertos, vizinhança, interior, fronteira de um conjunto, conjunto fechado, fecho de um conjunto e continuidade de funções. Entretanto, várias dessas ideias podem ser introduzidas em outros espaços mais gerais, sem a necessidade de se medir a distância entre dois pontos. Desse modo, temos que denir tais conceitos utilizando uma outra abordagem, a qual denominamos topologia. Aos conjuntos munidos de uma topologia nós denominamos espaços topológicos. Este assunto será tratado neste capítulo, o qual abordará os principais conceitos e características desses espaços. Neste, além da bibliograa básica, utilizaremos o livro [4]. 2.1 Espaços Topológicos Denição 2.1. Uma topologia em um conjunto X é uma coleção τ de subconjuntos de X com as seguintes propriedades: 1. e X estão em τ; 2. A união dos elementos de qualquer subcoleção de τ está em τ; 3. A intersecção de elementos de qualquer subcoleção nita de τ está em τ. Denição 2.2. Um par ordenado (X, τ), onde X é um conjunto e τ é uma topologia em X, é chamado espaço topológico. Neste trabalho, utilizaremos a nomenclatura o espaço topológico X, mencionando τ somente quando houver ambiguidade. Denição 2.3. Dizemos que um subconjunto U de um espaço topológico X é um conjunto aberto de X se U pertence à coleção τ. Assim, podemos dizer que um espaço topológico é um conjunto X juntamente com uma coleção de subconjuntos de X, os chamados conjuntos abertos, de tal modo que e X são abertos e uniões arbitrárias e intersecções nitas de abertos são abertos.

20 4 2. Espaços Topológicos Exemplo 2.4. Seja X um conjunto qualquer. Considerando todos os subconjuntos de X como abertos de X temos que a coleção de todos esses subconjuntos forma uma topologia em X, chamada Topologia Discreta. De fato, e X são subconjuntos de X, união arbitrária de subconjuntos de X resulta em um subconjunto de X e intersecção nita de subconjuntos de X resulta em um subconjunto de X. Exemplo 2.5. A coleção que consiste apenas dos subconjuntos e X também constitui uma topologia τ em X, denominada Topologia Caótica. De fato, pela própria denição da topologia caótica, e X pertencem a τ, união arbitrária de e X resulta em ou X e intersecção nita de e X resulta em um dos dois. Exemplo 2.6. Seja X = {a, b}, com a b um conjunto contendo dois elementos. Existem, assim, quatro diferentes possibilidades de topologias em X, a saber: 1) A possibilidade mais simples é a Topologia Caótica, ou seja, τ = {, X}. 2) Uma possibilidade intermediária consiste em τ = {, {a}, X}. 3) Uma segunda possibilidade intermediária é τ = {, {b}, X}. 4) A última possibilidade é a topologia discreta τ = {, {a}, {b}, X}. Exemplo 2.7. Seja X = {a, b, c} sendo a, b, c elementos distintos entre si. A coleção {, {a}, {b}, X} não constitui uma topologia em X pois {a} {b} = {a, b} e {a, b} / {, {a}, {b}, X}. Exemplo 2.8. Dado um conjunto qualquer X, denindo como abertos os conjuntos e qualquer subconjunto de X que contém um ponto particular P X temos uma topologia τ em X. De fato, τ por denição, X τ pois P X; união arbitrária de subconjuntos de X que contém P também contém P, portanto pertence a τ. E nalmente intersecção nita de subconjuntos que contém P também contém P, portanto também pertence a τ. Exemplo 2.9. Seja X um conjunto qualquer. Considere como abertos de X o próprio X juntamente com todos os seus subconjuntos que não contém um dado P X. Desse modo, analogamente ao Exemplo 2.8, a coleção τ desses abertos constitue uma topologia em X, denominada Topologia do Ponto Excluído. De fato, P / e X τ por denição. União arbitária de conjuntos que não contém P não contém P e intersecção nita de conjuntos que não contém P também não contém P. É válido ressaltar que todo espaço métrico M pode ser considerado como um espaço topológico quando se toma em M a coleção de abertos denidos a partir da métrica de M. Desse modo, todo espaço métrico é um espaço topológico. Denição Um espaço topológico X é metrizável quando é possível denir uma métrica d em X tal que os abertos determinados por d coincidam com os abertos denidos pela topologia τ em X. Nesse caso, podemos dizer que a topologia τ é induzida pela métrica d.

21 2.1. Espaços Topológicos 5 Exemplo O espaço topológico X com a Topologia Discreta é um espaço metrizável. É só considerar X com a topologia induzida da métrica d abaixo d(x, y) = { 1 se x y 0 se x = y porque tomando-se um conjunto A X em X com a topologia induzida temos que A = x A {x} = x A B(x, r), r < 1. e como bolas abertas são sempre conjuntos abertos em espaços métricos, segue que A é aberto segundo a topologia induzida. Portanto, X munido da topologia induzida é igual a X com a Topologia Discreta. Vimos até então vários espaços topológicos, mas sem dúvidas os espaços topológicos mais interessantes são aqueles que satisfazem a condição de separar pontos distintos por abertos disjuntos. Nestes são preservadas várias propriedades já conhecidas em espaços métricos e que nem sempre são válidas em espaços topológicos mais gerais. Denição Um espaço topológico X é um espaço de Hausdor quando, dados dois pontos arbitrários x y em X, existem abertos A, B X tais que x A, y B e A B =. Observação Dados dois pontos distintos a, b num espaço métrico M, existem em M duas bolas abertas disjuntas com centros em a e b, respectivamente. De fato, seja r um número real tal que r = d(a, b)/2. Temos que B(a, r) B(b, r) =. De fato, se existisse x M tal que x B(a, r) e x B(b, r) teríamos d(x, a) < r e d(x, b) < r e portanto, d(a, b) d(x, a) + d(x, b) < 2r = d(a, b), o que é uma contradição. Isto implica que todo espaço metrizável é um espaço de Hausdor. Assim, uma condição necessária para que um espaço topológico seja metrizável é que ele seja um espaço de Hausdor. Ainda, a partir dos exemplos, podemos perceber que em um mesmo conjunto X, podem ser denidas topologias que contém mais abertos do que outras. Por exemplo, dado X = {a, b}, temos que os abertos de X na Topologia Caótica são os conjuntos e X = {a, b}, diferentemente da Topologia Discreta que é formada pelos conjuntos, X = {a, b}, {a} e {b}. A seguinte denição nos dá uma ferramenta para comparar topologias diferentes em um mesmo conjunto. Denição Sejam τ e τ duas topologias no mesmo conjunto X. Dizemos que τ é mais na do que τ quando τ τ, ou seja, quando cada U X que é aberto em (X, τ ) é também aberto em (X, τ). Analogamente, dizemos que τ é menos na do que τ quando τ τ, ou seja, quando U τ implicar em U τ.

22 6 2. Espaços Topológicos Denição O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto X é chamado conjunto das partes de X. Este conjunto será denotado por (X). Lema Dado um conjunto qualquer X temos que a Topologia Caótica é menos na do que qualquer outra topologia em X e a Topologia Discreta é mais na do que qualquer outra topologia em X. Demonstração. Para qualquer topologia τ em X, segue que: {, X} τ (X). 2.2 Subespaços Topológicos Seja X um espaço topológico. Dado Y X, podemos determinar uma topologia em Y oriunda da topologia em X, denindo assim um subespaço topológico. Neste tópico abordaremos este assunto, salientando as principais características desses subespaços. Denição Seja (X, τ) um espaço topológico. Se Y é um subconjunto de X, a coleção τ Y = {Y U U τ} é uma topologia em Y, denominada topologia do subespaço. Ainda, Y juntamente com a topologia τ Y é denominado subespaço de X, e seus abertos são o resultado de todas as intersecções de conjuntos abertos de X com Y. É fácil ver que τ Y é topologia em Y. De fato, i) τ Y pois = Y ; ii) Y τ Y pois Y = Y X; iii) intersecção nita de abertos de Y é aberta em Y pois se U 1, U 2,..., U n são abertos de X, (U 1 Y ) (U 2 Y ) (U 3 Y )... (U n Y ) = (U 1... U n ) Y e U 1... U n é aberto de X; iv) união de uma família qualquer de abertos de Y é aberta em Y pois se {U α } α J é uma família de abertos de X, e U α é aberto em X. α J ( ) (U α Y ) = U α Y α J α J

23 2.3. Interior, Fronteira e Vizinhança 7 Exemplo Seja Y o subconjunto [0, 1) {2} de R. Temos que, na topologia do subespaço em Y, o conjunto {2} é aberto uma vez que é o resultado da intersecção do conjunto aberto (3/2, 5/2) de R com Y. Observação Se X é um espaço topológico de Hausdor e Y é um subespaço de X com a topologia de subespaço, então Y é um espaço topológico de Hausdor. Demonstração. De fato, se X é de Hausdor e Y X, dados x, y Y com x y, existem abertos U e V em X tais que x U, y V e U V =. Assim, U 1 = U Y e V 1 = V Y são abertos de Y com x U 1, y V 1 e U 1 V 1 =. Portanto, Y é de Hausdor. Lema Seja Y um subespaço de um espaço topológico X. Se U é aberto em Y e Y é aberto em X, então U é aberto em X. Demonstração. Com efeito, se U é aberto em Y, então U = V Y, onde V é aberto em X. Assim, como Y é aberto em X resulta que U é aberto em X. 2.3 Interior, Fronteira e Vizinhança Denição Seja S um subconjunto de um espaço topológico X. Dizemos que um ponto x S é ponto interior de S quando existe um aberto A de X tal que x A S. O conjunto de todos os pontos interiores de S é chamado interior de S e é denotado por S. Teorema O interior de um conjunto S em um espaço topológico X é a união de todos os subconjuntos abertos de X que estão contidos em S. Em particular, S é o maior aberto em X contido em S. Demonstração. Seja τ a topologia de X e seja A a união de todos os abertos A S de X. Então A é aberto em X (por ser uma união arbitrária de abertos) e A S, logo x A implica x S. Desse modo, A S. Reciprocamente, x S signica que existe aberto A em X tal que x A S. Logo, A A. Desse modo, x A o que implica S A. Corolário S é aberto se, e somente se, S = S. Demonstração. Se S é aberto então a união de todos os abertos de X contidos em S é o próprio S. Assim, pelo Teorema 2.22, S = S. Reciprocamente, se S = S temos que S é a união de todos os abertos de X contidos em S o que resulta em S ser aberto. Exemplo Se X tem uma Topologia Discreta, Å = A para todo A X pois, como todo A X é aberto em X segue do Corolário 2.23 que Å = A. Além disso, se X tem Topologia Caótica, para todo A X, com A, Å = pois o único conjunto aberto em X contido em A é o.

24 8 2. Espaços Topológicos Exemplo Em R (com a métrica usual da reta) temos que Q = pois dado qualquer ponto q Q e ε > 0, (q ε, q + ε) contém pontos de R Q. Ou seja, não existe intervalo aberto (a, b) em R com q (a, b) e (a, b) Q. Analogamente, (R Q) =. Denição Em um espaço topológico X, um conjunto V é uma vizinhança de um ponto x X quando x V. Isto signica que V contém um aberto de X que contém x. Teorema Um conjunto A é aberto num espaço topológico X se, e somente se, é uma vizinhança de cada um de seus pontos. Demonstração. Se A é aberto em X, então Å = A. Desse modo, x Å para todo x A. Portanto, A é uma vizinhança de x para todo x A. Reciprocamente, se A é uma vizinhança de cada um de seus pontos temos que x Å para todo x A. Logo, A = Å e portanto, A é aberto. Denição Um sistema fundamental de vizinhanças de um ponto x num espaço topológico X é uma coleção β(x) de vizinhanças de x com a seguinte propriedade: dada qualquer vizinhança U de x no espaço X, existe uma vizinhança V β(x) tal que V U. Quando a coleção β(x) é enumerável, dizemos que x possui um sistema fundamental enumerável de vizinhanças. O exemplo a seguir nos dá outra condição necessária para um espaço topológico ser metrizável a partir da análise dos sistemas fundamentais de vizinhanças. Exemplo Num espaço métrico M todo ponto x possui um sistema fundamental enumerável de vizinhanças. Com efeito, basta considerar como a coleção β(x) todas as bolas abertas B(x, 1/n) de centro x e raio 1/n com n N pois, dada qualquer vizinhança U de x existe ɛ > 0 tal que a bola aberta B(x, ɛ) de centro x e raio ɛ está inteiramente contida em U e para n > 1/ɛ temos que B(x, 1/n) está inteiramente contida em B(x, ɛ). Denição Seja X um espaço topológico e A X. Dizemos que x é ponto de fronteira de A se para todo V X aberto em X tal que x V, temos V A e V (X A). O conjunto dos pontos de fronteira de A é chamado de fronteira de A e é denotado por fr(a). De outro modo, para que x pertença à fronteira de A é necessário e suciente que x não pertença nem ao interior de A e nem ao interior de X A. Teorema A está contido em sua fronteira se, e somente se, Å é vazio. Isto equivale a dizer que todo ponto de A que não pertence a Å pertence a fr(a). Demonstração. De fato, se Å =, dado x A temos que x / Å e x / X A. Logo, como (X A) X A, x / (X A) e portanto, pela Denição 2.30, x f r(a). Reciprocamente, se A fr(a), então x A, x / Å. Portanto, como Å A, Å =.

25 2.4. Conjuntos Fechados 9 Teorema Um conjunto A é aberto se, e somente se, tem intersecção vazia com sua fronteira. Demonstração. De fato, se x fr(a) então x / Å. Como A é aberto, Å = A e portanto x / A. Reciprocamente, se A fr(a) =, dado x A, x / (X A) e x / fr(a). Assim temos que x Å e, portanto, A = Å, ou seja, A é aberto. 2.4 Conjuntos Fechados Denição Um subconjunto F de um espaço topológico X é fechado se seu complementar X F é aberto. Teorema F é um subconjunto fechado de um espaço topológico X se, e somente se, para cada ponto x X F existir um aberto U x, com x U x X F, ou seja, x U x e U x F = Demonstração. De fato, X F = x X F Logo, X F é uma união de abertos e assim, X F é um conjunto aberto pois união de abertos é aberta. Portanto, F é fechado. Reciprocamente, seja F fechado. Assim, X F é aberto. Temos então que x X F, existe U x aberto em X F tal que x U x e U x X F, ou seja, x U x e U x F =. U x. Exemplo O subconjunto [a, b] de R é fechado pois seu complementar R\[a, b] = (, a) (b, + ) é aberto já que é uma união de intervalos abertos. Exemplo Seja X = [ 1, 1] e considere como abertos os subconjuntos de X que ou não contém {0} ou contém ( 1, 1). Temos, assim, que a coleção τ desses abertos constitui uma topologia em X pois claramente e [ 1, 1] são abertos e união arbitrária e intersecção nita de abertos resulta em abertos. Os conjuntos {1}, { 1}, { 1, 1} e qualquer outro que contém {0} são exemplos de conjuntos fechados. Com efeito, como todos os subconjuntos que não contém {0} são abertos segue que seus complementares são fechados, ou seja, todos os conjuntos que contém {0} são fechados, inclusive ( 1, 1) (portanto este é aberto e fechado). Como ( 1, 1) é aberto por denição, segue que seu complementar { 1, 1} é fechado. Ainda, como o conjunto [ 1, 1) ( 1, 1) segue que este é aberto e portanto seu complementar {1} é fechado. Analogamente os conjuntos [ 1, 1], ( 1, 1] são abertos e portanto os conjuntos e { 1} são fechados. Em qualquer espaço topológico X, e X são simultaneamente conjuntos abertos e fechados pois um é complementar do outro e ambos são abertos pelo ítem 1 da Denição 2.1. Desse modo, podemos perceber que os conceitos de aberto" e fechado" não são

26 10 2. Espaços Topológicos excludentes em topologia. tempo, aberto e fechado. Em espaços topológicos, um conjunto pode ser, ao mesmo Uma outra situação que exemplica o mesmo fato é o caso extremo de um espaço topológico discreto X, onde todo subconjunto de X é aberto e fechado simultaneamente. Exemplo Seja A = R {P } onde P R é um ponto arbitrário de R. Então A = (, P ) (P, + ) é um subespaço de R, onde cada um desses intervalos é aberto em A e também fechado, uma vez que ambos são abertos em R e um é o complementar do outro em A. O teorema abaixo mostra que podemos caracterizar uma topologia por meio dos seus abertos. Teorema Seja X um espaço topológico. Desse modo, as seguintes condições são válidas: 1) e X são fechados. 2) Intersecção arbitrária de fechados é fechada. 3) União nita de fechados é fechada. Demonstração. 1) e X são ambos abertos e ambos complementares um do outro em X. Portanto, ambos são fechados. 2) Dada uma coleção de conjuntos fechados {A α } α J, temos que X A α = A α ). α J α J(X Como X A α é aberto para cada α J segue da Denição 2.33 que (X A α ) também α J o é. Portando, A α é fechada. α J 3) Analogamente, se A i for fechado para i = 1, 2,..., n, considerando a igualdade n n X A i = (X A i ). i=1 i=1 Como X A i é aberto para i = 1, 2,..., n (novamente pela Denição 2.33) e temos que intersecção nita de abertos é aberta segue que A i é fechada. i=1 Vale ressaltar que num espaço topológico X, uma união innita de conjuntos fechados não é necessariamente um conjunto fechado de X. Isto ocorre pois uma interseção de uma família innita de abertos pode não ser um aberto. Desse modo, o complementar de tal união innita pode não ser aberta, ou seja, tal união pode não ser fechada.

27 2.4. Conjuntos Fechados 11 Teorema Seja Y um subespaço de X. Então um conjunto A é fechado em Y se, e somente se, é igual a intersecção de um conjunto fechado de X com Y. Demonstração. Com efeito, seja A um conjunto fechado em Y. Temos então que o conjunto Y A é aberto em Y e pela Denição 2.17 existe um conjunto aberto U de X tal que Y A = U Y. Assim, o conjunto X U é fechado em X e como A = (X U) Y segue que A é uma intersecção de um conjunto fechado de X com Y. Reciprocamente, seja A = F Y, onde F é um conjunto fechado em X. Assim, X F é aberto em X e então (X F ) Y é aberto em Y novamente pela Denição Como (X F ) Y = Y A, segue que Y A é aberto em Y e portanto A é fechado em Y. Dado um subespaço Y de um espaço topológico X, nada nos garante que conjuntos fechados em Y são também fechados em X. Abaixo segue um critério para que os conjuntos fechados em Y sejam também fechados em X. Teorema Seja Y um subespaço de um espaço topológico X. Se A é fechado em Y e Y é fechado em X então A é fechado em X. Demonstração. De fato, seja A um conjunto fechado em Y. Segue do Teorema 2.39 que A = B Y, onde B é fechado em X. Como Y é, por hipótese, fechado em X, e temos que intersecção arbitrária de fechados é fechada, segue que A é fechado em X. Denição Dado um subconjunto A de um espaço topológico X, denimos o fecho de A, denotado por A, como sendo a intersecção de todos os conjuntos fechados de X contendo A. Observação O fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado pois intersecção arbitrária de conjuntos fechados resulta em um conjunto fechado. Corolário Um subconjunto F de um espaço topológico X é fechado se, e somente se, F = F. Demonstração. De fato, se F é fechado, então F pertence à família de subconjuntos fechados de X que contém F, portanto a intersecção dessa família é o próprio F. Reciprocamente, pela observação 2.42, F é fechado e portanto F também o é. Podemos nos perguntar, a partir da denição de fecho, se dado um conjunto S em um espaço topológico X, S em X seria o mesmo conjunto que S em um subespaço Y contendo S. Esta pergunta é respondida no teorema a seguir. Teorema Seja Y um subespaço topológico de X e seja A um subconjunto de Y. Seja ainda A o fecho de A em X. Então o fecho de A em Y é igual a A Y.

28 12 2. Espaços Topológicos Demonstração. Seja A Y o fecho de A em Y. Como o conjunto A é fechado em X, temos que A Y é fechado em Y pelo Teorema Ainda, como A A e A Y segue que A Y contém A, e por denição de fecho, como A Y conjuntos fechados de Y contendo A, segue que A Y (A Y ). é igual a intersecção de todos os Do mesmo modo, como A Y é fechado em Y pela Observação 2.42, segue pelo Teorema 2.39 que A Y = F Y para algum conjunto fechado F de X. Assim, F é um conjunto fechado de X contendo A e como A é a intersecção de todos os conjuntos fechados de X contendo A segue que A F. Portanto, (A Y ) (F Y ) = A Y. Teorema Seja A um subespaço de um espaço topológico X. Então x A se, e somente se, cada conjunto aberto U contendo x intersecta A. Demonstração. Equivalentemente, basta mostrarmos que x / A se, e somente se, existe um conjunto aberto U contendo x que não intersecta A. De fato, se x / A, o conjunto U = X A é aberto, contém x e não intersecta A. Reciprocamente, se existe um conjunto aberto U contendo x que não intersecta A, então X U é um conjunto fechado contendo A. Pela denição do fecho A, o conjunto X U deve conter A. Portanto, x / A. 2.5 Bases para uma Topologia Até então, sempre que falamos sobre uma topologia em algum conjunto X, tivemos que especicar todos os abertos dessa topologia, sem possuir nenhuma ferramenta capaz de nos dizer quem eram seus abertos a não ser especicando-os, algo que na maioria das vezes é bem difícil de se fazer. Nesta seção, será mostrada uma maneira de denir uma topologia τ em um conjunto X a partir de uma dada coleção de subconjuntos de X relativamente menor que a coleção τ. Denição Seja X um conjunto, uma base para uma topologia τ em X é uma coleção B de subconjuntos de X, os quais são chamados de elementos básicos, de tal modo que: 1) Para cada x X, existe pelo menos um elemento básico B em B contendo x. 2) Se x pertence à intersecção de dois elementos básicos B 1 e B 2 então existe um elemento básico B 3 contendo x de tal modo que B 3 B 1 B 2. Denição Dada uma base B para uma topologia τ em X, nós denimos a topologia τ gerada por B declarando como abertos de X os subconjuntos de X que gozam da seguinte propriedade: U X e para cada x U, existe um elemento básico B B de tal modo que x B e B U. Observação Segue diretamente da Denição 2.47 que cada elemento B B pertence a τ.

29 2.5. Bases para uma Topologia 13 Agora, vamos checar que a coleção τ gerada por B é de fato uma topologia em X. Se U é um conjunto vazio, a condição para um conjunto ser aberto é satisfeita por vacuidade. Desse modo, o conjunto τ. Além disso, X também pertence a τ pois, para todo x X existe elemento básico B em B contendo x e contido em X pelo item 1) da Denição Desse modo, a condição 1. da Denição 2.1 é satisfeita. Ainda, considerando uma família indexada {U α } α J de elementos de τ, U = U α α J pertence a τ. De fato, dado x U, existe um índice α tal que x U α. Como U α é aberto em X segue que existe um elemento básico B em B de tal modo que x B U α. Assim, x B U α U, e portanto, pela Denição 2.47, U pertence a τ, ou seja, a condição 2. da Denição 2.1 é satisfeita. Agora, considerando os elementos U 1 e U 2 pertencentes a τ, temos que U 1 U 2 pertence a τ. De fato, dado x U 1 U 2 temos que, como U 1 é aberto em X, existe B 1 em B tal que x B 1 U 1 e como U 2 também é aberto em X, existe B 2 em B tal que x B 2 U 2. Como x B 1 B 2 segue do item 2) da Denição 2.46 que existe B 3 em B com x B 3. Desse modo, x B 3 B 1 B 2 U 1 U 2. Portanto, U 1 U 2 é aberto em X. Finalmente, mostremos por indução que dados os abertos U 1, U 2,..., U n, U 1 U 2... U n também é aberto em X. De fato, vale para n = 1, pois U 1 τ por hipótese. Vamos então supor que vale para n 1 e mostrar que vale para n. Como (U 1 U 2... U n ) = (U 1 U 2... U n 1 ) U n e temos por hipótese que (U 1 U 2... U n 1 ) é aberto, pelo resultado provado anteriormente temos que (U 1 U 2... U n ) é aberto pois é uma intersecção de dois abertos. Assim, a condição 3. da Denição 2.1 é satisfeita. Portanto, está checado que de fato a coleção τ em X gerada pela base B é de fato uma topologia em X. Exemplo Seja R o conjunto dos números reais e seja B = {(a, b) a, b Q, a < b}. Temos que a coleção B é uma base para uma topologia em R. De fato, para todo x R existem a, b Q tais que a < x < b, uma vez que Q é denso em R; portanto, a primeira condição da Denição 2.46 é satisfeita. Ainda, dados elementos quaisquer (a, b) e (c, d) em B, com a < c e b < d, sem perda de generalidade, se x (a, b) (c, d) então x (c, b) B, ou seja, a segunda condição da Denição 2.46 também é satisfeita. Portanto, B é base para uma topologia em X. Lema Seja X um conjunto e B uma base para uma topologia τ em X. Então τ é igual a coleção de todas as uniões de elementos de B. Demonstração. De fato, dada uma coleção de elementos de B, estes também pertencem a τ pela Observação Desse modo, como τ é uma topologia, segue que as uniões dessa coleção de elementos de B também pertencem a τ, ou seja, a coleção de todas as uniões de elementos de B está contida em τ. Reciprocamente, dado U τ, pela Denição 2.47 temos que para cada x U, existe B x de B de tal modo que x B x U. Assim,

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