Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

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1 Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior jc Aula 02 ATIVIDADE 01 Para poupar esforço de digitação, você pode usar o tradicional sistema de copiar e colar (CTRL-C e CTRL-V) para aproveitar um comando digitado anteriormente em outro lugar. Já para copiar e colar o resultado de um comando, você deve proceder como se segue: suponha que você queira copiar o resultado do comando da linha 1 para uma determinada posição no campo de entrada da linha 2. Clique primeiro na posição desejada no campo de entrada da linha 2 e, então, clique no resultado (em azul) apresentado na linha 1. Pronto! Você também pode usar os números das linhas da Janela CAS do GeoGebra para poupar esforço de digitação. Vamos ver um exemplo: suponha que você digite o número / no campo de entrada da linha 1 e o número / no campo de entrada da linha 2: Se, no campo de entrada da linha 3, você digitar $1 $2, o GeoGebra calculará o número / / : Se você usar #1 e #2 ao invés de $1 e $2, o GeoGebra irá substituir #1 e #2 no campo de entrada da linha em questão pelos resultados calculados nas linhas 1 e 2, respectivamente. 1

2 Por exemplo, se na linha 4 você digitar: e, então, pressionar a tecla ENTER, a linha 4 ficará assim: A tabela seguinte descreve o sistema de referência para comandos e resultados. Uma outra maneira de se poupar esforço de digitação é utilizar variáveis para representar expressões. Por exemplo, se você vai usar muito a expressão (a 2) (a 3), é conveniente criar uma variável para representá-la. Isso é feito com o operador de atribuição (:=): b := (a 2) (a 3) Após digitar esse comando, onde o símbolo b aparecer, ele será substituído pela expressão (a 2) (a 3). Vamos acompanhar um exemplo. 2

3 Primeiro, reinicie o GeoGebra: Menu Principal Arquivo Novo. Vamos fazer com que a variável b represente um sinônimo para a expressão (a 2)(a 3). Vamos calcular ((a 2) (a 3)) 2 (a 2) (a 3). Para isto, ao invés de digitar toda a expressão, basta digitar b 2 b no lugar. Você pode calcular o valor de (a 2) (a 3) em um determinado valor de a com o comando Substituir[...]. Por exemplo, para calcular o valor de (a 2) (a 3) para a = 0, basta digitar o comando Para limpar o conteúdo da variável b (isto é, para que b volte ser apenas b) basta usar o comando Apagar[...]. 3

4 O comando b := (a 2)(a 3) não define uma função. Com esse comando estamos apenas dizendo que b é um sinônimo para (a 2)(a 3). O exemplo a seguir mostra como podemos definir funções no GeoGebra e usar a notação funcional a que estamos acostumados. Vamos definir a função f(a) = (a 2)(a 3) que depende da variável a. Vamos calcular o valor de f no ponto a = 0, isto é, vamos calcular f(0). Uma das vantagens em se definir funções com o comando := é que podemos usar a mesma notação que usamos quando escrevemos textos em matemática. 4

5 Uma vez que f é uma função, podemos facilmente efetuar composições. Por exemplo, vamos calcular f(u + v). IMPORTANTE! IMPORTANTE! IMPORTANTE! Se você definir uma função que depende de x, então ela será registrada na Janela de Álgebra e o seu gráfico será exibido na Janela de Visualização do GeoGebra. O mesmo vale para variáveis que recebem valores numéricos. Por exemplo, se você digitar a := 1/3, o número a será criado na Janela de Álgebra. Note contudo que, ao contrário da Janela CAS, o valor de a na Janela de Álgebra é aproximado (como em uma calculadora usual.) Para configurar o número de casas decimais no GeoGebra, acesse: Menu Principal Opções Arredondamento. (a) Qual é a diferença (se é que existe) entre (x 2) (x 3)/(x 4) (x 5) e (x 2) (x 3)/((x 4) (x 5))? (b) No GeoGebra, defina f(x) := 3x 6 e g(x) := x/ Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). Conclua que f e g são funções inversas uma da outra! (c) No GeoGebra, defina f(x) := sqrt(x) (raiz quadrada de x) e g(x) := x 2. Calcule as expressões f(g(x)) e g(f(x)). As funções f e g são inversas uma da outra? Justifique a sua resposta! (d) Uma função afim é uma função do tipo f(x) = a x + b, com a e b constantes reais. Encontre todas as funções afins que satisfazem a propriedade f(f(x)) = x para todo x R, isto é encontre todas as funções afins cuja inversa é a própria função! Dica: defina f(x) := ax + b e, em seguida, compare f(f(x)) com x. ATIVIDADE 02 Certamente você já deve ter visto os produtos notáveis (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 e (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. Use o GeoGebra para ver os produtos notáveis para (a + b) 4, (a + b) 5 e (a + b) 10. 5

6 ATIVIDADE 03 Use o GeoGebra para expandir os seguintes produtos (x 1)(1 + x) (x 1)(1 + x + x 2 ) (x 1)(1 + x + x 2 + x 3 ) (x 1)(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) Quais devem ser as duas próximas equações nesta sequência? Qual é a regra geral? Faça uma conjectura e demonstre-a! Use o GeoGebra para mostrar que ATIVIDADE 04 (ad bc)(ps rq) = (ap + br)(cq + ds) (aq + bs)(cp + dr) para todo a, b, c, d, p, q, r, s R. Dica: para mostrar que dois números são iguais, é suficiente mostrar que a diferença entre eles é zero. Cuidado: não esqueça de indicar explicitamente as multiplicações com o sinal ou com um espaço em branco. ATIVIDADE 05 Use o GeoGebra para mostrar que se x = t 2 1 e y = t 3 t, então y 2 = x 3 + x 2. Dica: para poupar tempo de digitação, use o comando de atribuição :=. ATIVIDADE 06 Diga como escrever cada uma das expressões abaixo usando os comandos (a sintaxe) do Geo- Gebra. Por exemplo, para calcular a expressão matemática x y 2 a + 3 c d + 4 b no GeoGebra, é preciso digitar os comandos: x y/(2/a + 3/(c d) + 4/b) (note o espaço em branco entre c e d). (a) a b c d (e) abc d e (b) a bc (f) a b + c/d (c) a b+c (d) a b c d, (g) a b/c (h) a + b ATIVIDADE ELETRÔNICA 03 Qual é o coeficiente de a 255 b 2 na expansão de (a + b) 257? E o coeficiente de a 256 b? Estes coeficientes são números conhecidos? Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-03: binômio de Newton como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os enviados até o dia 24/05/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. 6

7 ATIVIDADE ELETRÔNICA 04 Considere o polinômio f(x) = 72x 5 36x x x x Ele possui cinco raízes reais diferentes de zero: α 1, α 2, α 3, α 4 e α Encontre um polinômio de grau 5 cujas raízes sejam 2α 1, 2α 2, 2α 3, 2α 4 e 2α Encontre um polinômio de grau 5 cujas raízes sejam α 1, α 2, α 3, α 4 e α Encontre um polinômio de grau 5 cujas raízes sejam 1/α 1, 1/α 2, 1/α 3, 1/α 4 e 1/α 5. Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-04: raízes de polinômios como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os enviados até o dia 24/05/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. ATIVIDADE ELETRÔNICA 05 Escolha um dos exercícios apresentados nessa lista e, então, responda às perguntas descritas a seguir: (1) Quais são os principais conceitos matemáticos envolvidos? (2) Quais são, em sua opinião os objetivos da questão? (3) Qual o papel do software para o desenvolvimento da questão? (4) Que vantagens e desvantagens essa questão, com o uso do software, pode trazer para a abordagem dos conceitos matemáticos enfocados em relação às abordagens com recursos convencionais (isto é, sem o uso do computador)? Envie a sua resposta para o seguinte trabalhoinformatica.matematica@gmail.com (note o ponto entre as palavras). Use AE-05: Análise como assunto (subject) deste . Só serão aceitos os enviados até o dia 24/05/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar o seu nome. 7