Números Complexos. Capítulo Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo"

Transcrição

1 Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade imaginária, denotada 1 por i, como sendo o número tal que i 2 = 1 Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo 12 Números complexos Um número complexo z é um número da forma z = x + iy (12) Em (12) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x é a parte real de z, e escrevemos Re(z) = x Por outro lado, y é a parte imaginária de z, e escrevemos Im(z) = y Exemplo 11 Dado o número complexo z = 3 + 2i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2 Ainda em (12), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado, se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real) 13 O Plano Complexo Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand 2 No plano complexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real) A Figura 11 ilustra tal representação 1Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j, uma vez que a letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas 2Jean Robert Argand ( ), Matemático francês Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em

2 eixo imaginário b z = a + bi a Figura 11: O plano complexo eixo real Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente 3 ao ponto (a, b) do plano complexo Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número complexo z = x + iy é através de um par ordenado (x, y), onde ca implícito que a primeira componente é a parte real real do número complexo e a segunda componente é sua parte imaginária Também é comum associarmos cada número complexo a um vetor do R 2 Exemplo 12 O número complexo z = 3 + 2i pode ser escrito como z = (3, 2) 14 Conjugado de um Número Complexo Dado z = x + iy, seu conjugado, denotado z, é dado por z = x iy Ou seja, conjuga-se um número complexo simplesmente mudando o sinal de sua parte imaginária No plano complexo um número e seu conjugado são simétricos em relação ao eixo real (Figura 12) eixo imaginário b z = a + bi a eixo real b z = a bi Figura 12: O conjugado de um número complexo 3A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado um único número complexo Lembre-se que em coordenadas polares tal associação não é biunívoca, uma vez que um dado ponto do plano possui innitas coordenadas polares 2

3 15 Operações com Números Complexos Considerando os números complexos z 1 = x 1 + iy 1 e = x 2 + iy 2, temos: Igualdade 4 : dizemos que z 1 = se suas respectivas partes real e imaginária são iguais, ou seja, se x 1 = x 2 e y 1 = y 2 Adição: a soma z 1 + é obtida pelas somas das respectivas partes real e imaginária, ou seja z 1 + = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Subtração: de modo análogo à adição, temos z 1 = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 ) Multiplicação: aplicamos a distributividade e agrupamos as partes real e imaginária (lembrar que i 2 = 1) z 1 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 1 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Divisão: a razão z1 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador 5, isto é z 1 = z 1 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = (x 1x 2 + y 1 y 2 ) + i(x 2 y 1 x 1 y 2 ) x y2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x y2 2 + i x 2y 1 x 1 y 2 x y2 2 (13) Evidentemente não é necessário memorizar a fórmula em (13); a razão deve ser obtida simplesmente multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e simplicando-se ao máximo o resultado Exemplo 13 Dados z 1 = 3 + 2i e = 4 i, temos (a) z 1 + = (3 + 2i) + (4 i) = 7 + i (b) z 1 = (3 + 2i) (4 i) = 1 + 3i (c) z 1 = (3 + 2i)(4 i) = 12 3i + 8i 2i 2 = i (d) z 1 = 3+2i 4 i = (3+2i)(4+i) (4 i)(4+i) = 12+3i+8i+2i2 16 i = i Atenção: para números complexos não se dene relações de ordem, ou seja, desigualdades do tipo z 1 < ou z 1 não possuem qualquer signicado 5A prova deste resultado será deixada a cargo do leitor 3

4 16 Propriedades Dados z 1, e z 3, temos comutatividade associatividade distributividade z 1 + = + z 1 (14) z 1 = z 1 (15) (z 1 + ) + z 3 = z 1 + ( + z 3 ) (16) (z 1 )z 3 = z 1 ( z 3 ) (17) z 1 ( + z 3 ) = z 1 + z 1 z 3 (18) Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações algébricas denidas anteriormente para os números complexos 17 Problemas Propostos (1) Sejam z 1 = 5 + 2i e = 1 + 3i Reduza cada expressão a seguir à forma a + ib (a) z 1 + (b) z 1 (c) z 1 (d) (2 4i)z 1 (e) z 1 (f) 1 (g) (z 1 + ) 2 (h) z 1 (i) ( z 1 ) 2 (10) Reduza cada expressão a seguir a forma a + ib (a) (1 + i) 2 (b) ( 1+i 1 i )2 (c) ( 1+i 1 i )2 ( 1 i 1+i )2 (4) Resolva as equações (a) + 9 = 0 (b) 2z + 2 = 0 (c) + 2z + 5 = 0 (d) + z + 9 = 0 (5) Prove que (a) o conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é (z 1 + ) = z 1 + (b) o conjugado da diferença é a diferença dos conjugados, isto é (z 1 ) = z 1 (c) o conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é (z 1 ) = z 1 (d) o conjugado da razão é a razão dos conjugados, isto é (z1 ) = z 1 (6) Represente os números z 1 = 2 + 4i, = 2 4i, z 1 = 2 + 4i e z 1 = 2 4i no plano complexo (7) Calcule (a) 1 i (b) i 3 (c) i 4 (d) i 5 (e) i 6 (f) i 7 (g) i 8 (h) i 9 4 (i) i 26 (j) i 31 (k) i 54 (l) i 87

5 (13) Seja z = x + iy Determine (a) Re( 1 z ) (b) Im( 1 z ) (c) Im(z 3 ) (d) Im( 1 ) (e) Re( + z) (f) Re( i ) (g) Im(4i 6z+ 8i) (h) Re( 1 z i ) (9) Prove o resultado em (13) Sugestão: faça z 1 = z, onde z = u+iv e resolva a equação resultante em termos de u e v 18 Valor Absoluto ou Módulo Dado o número complexo z = x + iy, seu valor absoluto (ou módulo), denotado z ou r, é dado por z = r = x 2 + y 2 (19) Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo (Aplique o Teorema de Pitágoras na Figura 13) É interessante observar que: o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado: z = z ; (110) o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu módulo: zz = z 2 (111) As provas destes resultados são imediatas e cam como exercício para o leitor 19 Forma Polar Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura 13), de modo que x = rcos(θ) o número z = x + iy pode ser reescrito como e y = rsen(θ), z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)] (112) chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo Em (112) o valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z Denota-se arg(z) = θ Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo real positivo e pelo segmento de reta que representa r, e pode ser obtido pela expressão ( y θ = arctg x ), x 0, y 0 (113) Evidentemente o argumento de um número complexo é denido a menos de múltiplos inteiros de 2π, no sentido que, se arg(z) = α, então arg(z) = α + 2kπ, k Z Se a parte real x ou a parte imaginária y de um número complexo z = x + iy for nula, a determinação de sua fase torna-se um pouco mais sutil Vejamos as possibilidades (a) Se x = 0 nosso número complexo é da forma z = 0 + iy = iy, ou seja é um número imaginário puro e o ponto que o representa está sobre o eixo imaginário O valor de sua fase depende do sinal da parte imaginária y: 5

6 eixo imaginário y z = x + iy = r [cos(θ) + isen(θ)] r θ x Figura 13: A forma polar eixo real (i) se y > 0, então arg(z) = θ = π 2 (veja o número z 1 na Figura 14); (ii) se y < 0, então arg(z) = θ = π 2 (veja o número na Figura 14) (b) Se y = 0 nosso número complexo é da forma z = x + i0 = x, ou seja é um número real puro e o ponto que o representa está sobre o eixo real O valor de sua fase depende do sinal da parte real x: (i) se x > 0, então arg(z) = θ = 0 (veja o número z 3 na Figura 14); (ii) se x < 0, então arg(z) = θ = π (veja o número z 4 na Figura 14) eixo imaginário z 4 = 7, θ = π z1 = i, θ = π 2 z 3 = 4, θ = 0 eixo real z2 = 2i, θ = π 2 Figura 14: Alguns números complexos e seus respectivos argumentos Agrupando estes resultados com a equação (113), a fase de um número complexo z = x + iy é dada por: arctg ( ) y x, se x 0 e y 0 π 2, se x = 0 e y > 0 θ = π 2, se x = 0 e y < 0 (114) 0, se y = 0 e x > 0 π, se y = 0 e x < 0 Exemplo 14 Dado z = 1 + i, temos z = 2 e arg(z) = arctg 1 1 = π 4 + 2kπ, onde k Z Assim ou simplesmente z = 1 + i = 2 [ cos ( ) ( )] π π 4 ± 2kπ + isen 4 + 2kπ, k Z, z = 1 + i = [ 2 cos ( π 4 6 ) + isen ( π 4 )]

7 Multiplicação e divisão A forma polar é particularmente útil para a multiplicação e divisão dos números complexos Consideremos os números [ z 1 = x 1 + iy 1 = r 1 cos(θ1 ) + isen(θ 1 ) ] e = x 2 + 2) [ iy 2 = r 2 cos(θ2 ) + isen(θ 2 ) ] ) z 1 = r 1cos(θ 1) + isen(θ 1)r 2cos(θ 2) + isen(θ 2) = r 1 r 2cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )cos(θ 2 ) + isen(θ 2 = r 1r 2cos(θ 1)cos(θ 2) + icos(θ 1)sen(θ 2) + isen(θ 1)cos(θ 2) sen(θ 1)sen(θ O produto z 1 ca = r 1 r 2cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sen(θ 1 )sen(θ 2 )+icos(θ 1 )sen(θ 2 ) + sen(θ 1 )cos(θ 2 ), e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas obtemos cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sen(θ 1 )sen(θ 2 ) sen(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )sen(θ 2 ) + sen(θ 1 )cos(θ 2 ), z 1 = r 1 r 2 [ cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 ) ] (115) A partir de (115), observamos que o módulo do produto é o produto dos módulos, ou seja, z 1 = r 1 r 2 = z 1, e que o argumento do produto é a soma dos argumentos, ou seja, A razão z 1 arg(z 1 ) = θ 1 + θ 2 = arg(z 1 ) + arg( ) ca ) cos(θ r2 2 1 ) + isen(θ 1 )cos(θ 2 ) isen(θ 2 2) = r 1 1)cos(θ 2) icos(θ 1)sen(θ 2) + isen(θ 1)cos(θ 2) + sen(θ 1)sen(θ r 2cos(θ z 1 = r 1r 2 = r 1 r 2cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 )+isen(θ 1 )cos(θ 2 ) cos(θ 1 )sen(θ 2 ), e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas cos(θ 1 θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 ) sen(θ 1 θ 2 ) = sen(θ 1 )cos(θ 2 ) cos(θ 1 )sen(θ 2 ), obtemos z 1 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + isen(θ 1 θ 2 ) (116) A partir de (116), observamos que o módulo da razão é a razão dos módulos, ou seja, z 1 = z 1, e que o argumento da razão é a diferença dos argumentos, ou seja, arg( z 1 ) = arg(z 1 ) arg( ) 7

8 Potências Utilizando (115) e indução matemática, observamos que z n = r n [cos(nθ) + isen(nθ)], (117) expressão válida para todo n Z A partir de (117) podemos escrever { r[cos(θ) + isen(θ)] } n = r n [cos(nθ) + isen(nθ)] da qual, fazendo r = 1, obtemos a fórmula de de Moivre 6 [cos(θ) + isen(θ)] n = cos(nθ) + isen(nθ) (118) 110 Problemas Propostos (1) Prove as equações 110 e 111 (2) Escreva os seguintes números complexos na forma polar (a) 2 2i (b) i (c) 3 + 4i (d) 5 + 5i (e) 5 + 5i (f) 5 5i (7) Dados os números z 1 = 1 + i, = 1 i e z 3 = 2i, efetue as operações a seguir e represente os resultados no plano complexo (a) z 1 z 3 (b) z8 1 z 4 2 (c) z 3 z 1+z 3 (4) Mostre que arg(z) = arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2π) (5) Mostre que arg(1/z) = arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2π) (6) Encontre o valor absoluto dos seguintes números (a) 1 + 3i (b) 9i (c) 2 + i 5 (d) 2 i 5 (7) Encontre o valor absoluto e o argumento dos seguintes números (a) ( 1 + i)(1 3i) (b) 1+i 2+ 3i (c) (3+3i)( 2i) 2 3i (d) (4 3i)( 1 2 +i)4 (1 3i (e) 2 + 3i (f) (4 + i) 3 1 i )8 1+i (e) ( 4 )2 ( 3+4i) (f) (3 + 4i) 3 ( 1 i) 6 (8) Represente no plano complexo a região representada pelas seguintes equações e inequações (a) z = 1 (b) z 1 = 1 (c) Re( ) = 1 (d) Im(2z) = 1 (e) π 4 arg(z) π 4 (9) Utilize a fórmula de de Moivre para estabelecer as seguintes identidades (a) cos(3θ) = cos 3 (θ) 3cos(θ)sen 2 (θ) (b) sen(3θ) = 3cos 2 (θ)sen(θ) sen 3 (θ) (10) Encontre identidades similares às do problema anterior para cos(2θ) e cos(4θ) 6Abraham de Moivre ( ) - Matemático francês trigonometria 8 Introduziu quantidades imaginárias na

9 Capítulo 2 Funções complexas 21 Problemas Propostos (1) Dada f(z) = 3z determine (a) f(2 i) (b) f( i) (c) f( 4 + 2i) (2) Dada f(z) = z 1 z+i determine (a) f(2 i) (b) f( i) (c) f( 4 + 2i) (3) Dada f(z) = z determine (a) f(2 i) (b) f( i) (c) f( 4 + 2i) (4) Determine as partes real e imaginária das funções a seguir (a) f(z) = 3z + 4 i (b) f(z) = 3 2z (c) f(z) = z 3 (d) f(z) = 1 (e) f(z) = z 1 z z+1 (f) f(z) = z 1 z+1 (5) Suponha que z varie em uma região R do plano complexo Determine a região S correspondente às imagens de w = f(z) Esboce as duas regiões sobre o plano complexo (a) f(z) = iz, onde R = { z C Re[z] 0 } (b) f(z) = 3z 1, onde R = { z C 1 < Re[z] < 1 } (c) f(z) =, onde R = { z C 0 arg[z] π/4, z 1 } (d) f(z) =, onde R = { z C 0 arg[z] π/2, 1 z 2 } (6) Determine todos os valores das raízes a seguir e represente-as no plano complexo (a) i (b) 3 1 (c) i (d) 25 (e) 3 i (f) 4 1 (g) 3 i (h) 8 1 (i) (j) 1 + i (k) i (l) 1 3 i (7) Determine todos as soluções das equações a seguir e represente-as no plano complexo 9

10 (a) z = 0 (b) z 3 64 = 0 (c) 6z + 13 = 0 (d) z = 0 22 A derivada de uma função complexa Dizemos que f é diferenciável (derivável) em z se existir o limite f (z) = lim z 0 (e) z 6 7z 3 8 = 0 (f) z 4 (1 4i) +4i = 0 f(z + z) f(z) (21) z Exemplo 21 Usando a denição (21) a derivada da função complexa f(z) = ca f (z + z) 2 (z) = lim z 0 z = lim z 0 = lim z 0 = lim z 0 + 2z z + ( z) 2 z 2z z + ( z) 2 = 2z z Z(2z + z) = 2z z É importante observar que z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura 21); logo a existência da derivada em (21) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente do caminho tomado Im y + y y z = x + iy z + z = (x + x) + i(y + y) x x + x Figura 21: z 0 por vários caminhos diferentes Re Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis O Exemplo 22 ilustra uma função não derivável Exemplo 22 Usando a denição (21) a derivada da função complexa f(z) = z = x iy ca f (z) = (x + x) i(y + y) (x iy) x i y lim = lim x, y 0 x + i y x, y 0 x + i y Pelo caminho I da Figura 22 inicialmente y 0 e a derivada da equação (22) ca f x (z) = lim x 0 x = 1 10 (22)

11 Pelo caminho II da Figura 22 inicialmente x 0 e a derivada da equação (22) ca f i y (z) = lim y 0 i y = 1 Logo, como o limite por caminhos diferentes resulta em valores diferentes a derivada não existe y + y Im II z + z = (x + x) + i(y + y) y z = x + iy I x x + x Figura 22: z 0 por dois caminhos poligonais Re 23 Equações de Cauchy-Riemann Um conceito importante na teoria das funções complexas é o de analiticidade Denição 1 (Analiticidade) Um função complexa f é dita analítica em um domínio D se ela é denida e diferenciável em cada ponto deste domínio Estabeleceremos agora um critério simples para vericar se uma dada função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica, isto é, se possui derivada Inicialmente supomos que nossa função f é analítica em um certo domínio D, logo sua derivada f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z existe para todos os pontos em D Reescrevendo esta derivada usando as partes real e imaginária de f obtemos f (z) = lim x, y 0 u(x + x, y + y) + iv(x + x, y + y) u(x, y) iv(x, v) (23) x + i y Pelo caminho I da Figura 22 inicialmente y 0 e a derivada dada pela equação (23) ca f u(x + x, y) + iv(x + x, y) u(x, y) iv(x, v) (z) = lim x 0 x = lim x 0 = u x + i v x u(x + x, y) u(x, y) x + i v(x + x, y) v(x, v) x (24a) 11

12 Pelo caminho II da Figura 22 inicialmente x 0 e a derivada dada pela equação (23) ca f u(x, y + y) + iv(x, y + y) u(x, y) iv(x, v) (z) = lim y 0 i y = lim y 0 = v y i u y u(x, y + y) u(x, y) i y + i v(x, y + y) v(x, v) i y (24b) Pela hipótese de f ser analítica f existe e é única, independente do caminho tomado, logo os resultados dados pelas equações (24a) e (24b) são iguais Igualando as partes real e imaginária de (24a) e (24b) obtemos u x = v y ou, usando uma notação mais econômica, e v x = u y u x = v y e v x = u y (25) chamadas equações diferenciais de Cauchy-Riemann Observe que o raciocínio que acabamos de desenvolver nos mostra que as partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y)+iv(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos onde f é analítica A grande importância das equações de Cauchy-Riemann é no sentido recíproco: elas nos fornecem um critério simples sobre as partes real e imaginária de uma função complexa para vericar sua analiticidade Este fato é formalizado no Teorema 2 Teorema 2 Para todos os pontos onde as funções reais u = u(x, y) e v = v(x, y) possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann a função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica Exemplo 23 Vericar a analiticidade da função complexa f(z) = Decompondo f em suas partes real e imaginária obtemos f(z) = = x 2 y 2 + 2ixy, logo u(x, y) = x 2 y 2 e v(x, y) = 2xy Assim temos: u x = 2x e v y = 2x, v x = 2y e u y = 2y Uma vez que as derivadas parcias u x, v y, v x e u y são contínuas para todo ponto (x, y) R 2 e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, u x = v y e v x = u y, a função f(z) = é analítica para todo z C Exemplo 24 Vericar a analiticidade da função complexa f(z) = z = x iy Como u(x, y) = x e v(x, y) = y, temos: u x = 1 e v y = 1 Uma vez que u x v y todo ponto (x, y) R 2 a função f(z) = z não é analítica para todo z C 231 Equações de Cauchy-Riemann - Forma Polar Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica, onde x = r cos(θ) e y = r sen(θ) Usando a regra da cadeia obtemos u θ = u x x θ + u y y θ = u u r sen(θ) + x y r cos(θ) 12 (26a)

13 Fazendo (26a) + r(26d) obtemos u θ + r v r pois u x = v y e v x = u y Logo Fazendo (26b) - r(26c) obtemos v θ r u r pois u x = v y e v x = u y Logo v θ = v x x θ + v y y θ = v v r sen(θ) + x y r cos(θ) u r = u x x r + u y y r = u u cos(θ) + x y sen(θ) v r = v x x r + v y y r = v v cos(θ) + x y sen(θ) = u u v v r sen(θ) + r cos(θ) + r cos(θ) + x y x y r sen(θ) [ = r sen(θ) u x + v ] [ u + r cos(θ) y y + v ] = 0, x v r = 1 u r θ (26b) (26c) (26d) v r = 1 r u θ (26e) = v v u u r sen(θ) + r cos(θ) r cos(θ) x y x y r sen(θ) [ = r sen(θ) v x u ] [ v + r cos(θ) y y u ] = 0, x u r = 1 v r θ u r = 1 r v θ (26f) As equações (26e) e (26f) são as Equações de Cauchy-Riemann na forma polar Exemplo 25 Vericar a analiticidade da função complexa f(z) = z 6 Reescrevendo f na forma polar obtemos f(z) = r 6[ cos(6θ) + isen(6θ) ], onde r = z e θ = Arg(z) Temos u(r, θ) = r 6 cos(6θ) e v(r, θ) = r 6 sen(6θ), donde: u r = 6r 5 cos(6θ) e v θ = 6r 6 cos(6θ), u θ = 6r 6 sen(6θ) e v r = 6r 5 sen(6θ) Uma vez que as derivadas parcias u r, v θ, u θ e v r são contínuas para todo ponto (r, θ) R 2 e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, u r = 1 r v θ e v r = 1 r u θ, a função f(z) = z 6 é analítica para todo z C 24 Funções harmônicas Denição 3 (Laplaciano) Seja u = u(x, y) uma função real com derivadas parciais de segunda ordem contínuas Dene-se seu laplaciano, denotado 2 u, como 2 u = 2 u x u y 2 = u xx + u yy (27) Teorema 4 As partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica em um domínio D têm laplaciano nulo em D, isto é, se f é analítica, então 2 u = u xx + u yy = 0 e 2 v = v xx + v yy = 0 13

14 Prova: pelas equações de Cauchy-Riemann temos u x = v y u xx = v yx, u y = v x u yy = v xy, logo 2 u = u xx + u yy = v yx v xy = 0 pela igualdade das derivadas parciais mistas A prova para v é análoga Denição 5 Uma função u = u(x, y) é dita harmônica se 2 u = 0 Observe que pelo Teorema 4 as partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica são funções harmônicas Neste caso dizemos que v = v(x, y) é a função harmônica conjugada 1 de u = u(x, y) Dada uma função harmônica podemos encontrar sua conjugada utilizando as equações de Cauchy-Riemann o Exemplo 26 ilustra este processo Exemplo 26 Consideremos a função u(x, y) = x 2 y (a) Verique se u é harmônica u x = 2x u xx = 2 ; u y = 2y u yy = 2 logo 2 u = u xx + u yy = 2 2 = 0 Assim, como 2 u = 0, temos que u é harmônica (b) Determine sua harmônica conjugada v = v(x, y) Como u x = v y temos que v y = 2x, donde v(x, y) = Por outro lado v x = u y, donde Assim v(x, y) = 2xy + c 2x y = 2xy + H(x) 2y + H (x) = ( 2y) H (x) = 0 H(x) = c 25 Problemas Propostos - Derivadas de funções complexas (1) Calcule a derivada da função (a) f(z) = z z+2 (b) f(z) = z i (c) f(z) = ( 3z) 3 (d) f(z) = z + 3i (e) f(z) = 1 1 z (f) f(z) = z (2) Determine a derivada da função no ponto z o 1O termo conjugada empregado aqui não tem nhenhuma relação com o conjugado de um número complexo 14

15 (a) f(z) = 3i + 8z + 4i, z o = 1 + 2i (b) f(z) = ( i) 2, z o = 3 2i (c) f(z) = 1 1 z, z o = 1 (d) f(z) = z 1 z+1, z o = 2 4i (3) Para cada função a seguir calcule a derivada usando (24a) e também usando (24b) Verique se os resultados coincidem (a) f(z) = 3z + 2i (b) f(z) = z + 1 z (4) Verique quais funções são analíticas (c) f(z) = z z (d) f(z) = 1 1 z (e) f(z) = z+1 z 1 (f) f(z) = ( + 3z) 2 (a) f(z) = + 2Re[z] (b) f(z) = 1 1 z, z 1 (c) f(z) = z + z (d) f(z) = z 2 (e) f(z) = Im[z] + (f) f(z) = e x[ cos(y) + isen(y) ] (5) Determine uma função analítica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) para a qual (a) u(x, y) = x (b) v(x, y) = y (c) v(x, y) = xy (d) u(x, y) = xy (e) u(x, y) = 2x 3 6xy 2 (f) u(x, y) = e x cos(y) (6) Mostre que cada função a seguir é harmônica e determine a função analítica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) correspondente (a) v(x, y) = 2xy + 2y (b) u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) (c) v(x, y) = cos(x)senh(y) (7) Mostre que as funções são analíticas (sugestão: use a forma polar das Equações de Cauchy-Riemann) (a) f(z) = z 4 (b) f(z) = 1 z 4, z 0 (c) f(z) = ln(r) + iθ (8) Para quais valores da constante k a função u(x, y) = sen(x)cos(ky) é harmônica? Para cada um destes valores determine uma função complexa analítica tal que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 15

16 Capítulo 3 Função exponencial complexa 31 Problemas Propostos (1) Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que a função exponencial complexa f(z) = e z é analítica para todo z C (2) Calcule e z para (a) z = i π 4 (b) z = i π 4 (c) z = i 3π 4 (d) z = i π 3 (3) Determine as partes real e imaginária da função (e) z = i π 3 (f) z = 2+iπ 4 (g) z = 1 + i (h) z = 2 + i5π (a) f(z) = e 3z (b) f(z) = e z2 (c) f(z) = e z3 (d) f(z) = e ez (4) Mostre que e z e e z são conjugadas (5) Escreva cada número complexo a seguir na forma exponencial z = r [ cos(θ) + isen(θ) ] = re iθ (a) z = i (b) z = i (c) z = i (d) z = i (e) z = 1 + i (f) z = 1 i (g) z = 2 + i 3 (h) z = 2 + i 2 (6) Mostre que f(z) = f(x + iy) = e x[ cos(ky) + isen(ky) ] é analítica se somente se k = 1 (7) Verique se a função é harmônica Caso seja determine sua conjugada (a) u(x, y) = 2e x cos(y) (b) u(x, y) = e x2 y 2 2 cos(xy) ( (c) u(x, y) = e xy cos x 2 y 2 2 ) 16

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo

Leia mais

Movimentos Periódicos: representação vetorial

Movimentos Periódicos: representação vetorial Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular

Leia mais

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário.

Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. 10. NÚMEROS COMPLEXOS 10.1 INTRODUÇÃO Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é o chamado número imaginário. O número a é denominado parte real do número complexo

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

NÚMEROS COMPLEXOS (TUTORIAL: BÁSICO 01)

NÚMEROS COMPLEXOS (TUTORIAL: BÁSICO 01) MATEMÁTICA: Números Complexos - C; - Maior dos conjuntos - engloba todos os outros e acrescenta recursos especiais como raiz quadrada de número negativo; - Para darmos interpretação às raízes quadradas

Leia mais

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1

Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. n=1 Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA Números e Funções Reais Avaliação - GABARITO 3 de abril de 203. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.

Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel. Matemática Essencial Equações do Segundo grau Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 18 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Introdução

Leia mais

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).

Uma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação). 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por

Leia mais

Conceitos Fundamentais

Conceitos Fundamentais Capítulo 1 Conceitos Fundamentais Objetivos: No final do Capítulo o aluno deve saber: 1. distinguir o uso de vetores na Física e na Matemática; 2. resolver sistema lineares pelo método de Gauss-Jordan;

Leia mais

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I: Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode

Leia mais

APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS

APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS http://hermes.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/ APLICAÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS Silvia Carla Menti Propicio Universidade de Caxias do Sul Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de

Leia mais

Exercícios resolvidos P2

Exercícios resolvidos P2 Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Matrizes; Matrizes Especiais; Operações com Matrizes; Operações Elementares

Leia mais

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução Capítulo Funções complexas 1 Introdução Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508

Fundamentos da Matemática Fernando Torres. Números Complexos. Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Fundamentos da Matemática Fernando Torres Números Complexos Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508 Sumário 1. História...3 2.Introdução...4 3. A origem de i ao quadrado igual a -1...7 4. Adição, subtração,

Leia mais

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares.

Podemos concluir: Todas as funções desse tipo passam pelos pontos: (0,0),(-1,-1) e (1,1). Todas as funções desse tipo são exemplos de funções ímpares. 4.3 Funções potência Uma função da forma f(x)=x n, onde n é uma constante, é chamada função potência. Os gráficos de f(x)=x n para n=1,2,3,4 e 5 são dados a seguir. A forma geral do gráfico de f(x)=x n

Leia mais

MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEXOS. d) 2 e) 3

MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEXOS. d) 2 e) 3 MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEXOS 1. U. Católica Dom Bosco-MS O valor do número real x para que o conjugado do número complexo (x + i)(1 + xi) seja igual a i é: a) b) 1 c) 1 d) e) 1. UFCE Considere o número

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Maia Vest. Denominamos o fator de base e de expoente; é a n-ésima potência de. Portanto, potência é um produto de fatores iguais.

Maia Vest. Denominamos o fator de base e de expoente; é a n-ésima potência de. Portanto, potência é um produto de fatores iguais. Maia Vest Disciplina: Matemática Professor: Adriano Mariano FUNÇÃO EXPONENCIAL Revisão sobre potenciação Potência de expoente natural Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos) UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura (Números Complexos) Jéssica Roldão de Oliveira Assis RA 160332 Campinas 2014 1 HISTÓRIA

Leia mais

Aula: Equações polinomiais

Aula: Equações polinomiais Aula: Equações polinomiais Turma 1 e 2 Data: 05/09/2012-12/09/2012 Tópicos Equações polinomiais. Teorema fundamental da álgebra. Raízes reais e complexas. Fatoração e multiplicação de raízes. Relações

Leia mais

Resolução de sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)

Leia mais

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS

REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste capítulo será apresentada uma prática ferramenta gráfica e matemática que permitirá e facilitará as operações algébricas necessárias à aplicação dos métodos

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL- ESTREMOZ MATEMÁTICA A 12ºANO ANO LETIVO 2015/2016 OBJECTIVOS ESPECÍFICOS

ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL- ESTREMOZ MATEMÁTICA A 12ºANO ANO LETIVO 2015/2016 OBJECTIVOS ESPECÍFICOS PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA ESCOLA SECUNDÁRIA/3 RAINHA SANTA ISABEL- ESTREMOZ MATEMÁTICA A 12ºANO ANO LETIVO 2015/2016 Introdução ao cálculo Conhecer terminologia das probabilidades de Probabilidades

Leia mais

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da

FUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Notas de aula: MTM 5186 - Cálculo IV

Notas de aula: MTM 5186 - Cálculo IV Departamento de Matemática - MTM Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Notas de aula: MTM 5186 - Cálculo IV Prof. Matheus Cheque Bortolan Florianópolis - SC 2015/1 ii Sumário 1 Introdução 5 2 O

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)

Leia mais

Lista 1 para a P2. Operações com subespaços

Lista 1 para a P2. Operações com subespaços Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada

Leia mais

Vetores. Definição geométrica de vetores

Vetores. Definição geométrica de vetores Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são

Leia mais

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia Q0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0 Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

1 Números Complexos e Plano Complexo

1 Números Complexos e Plano Complexo UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA 09-1 MTM5327 Variável Complexa 0549 Professor Lista de Exercícios

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

a 1 x 1 +... + a n x n = b,

a 1 x 1 +... + a n x n = b, Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

Åaxwell Mariano de Barros

Åaxwell Mariano de Barros ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................

Leia mais

Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas

Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações

Leia mais

Exercícios de Números Complexos com Gabarito

Exercícios de Números Complexos com Gabarito Exercícios de Números Complexos com Gabarito ) (UNIFESP-007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos números são z = i, z = e z = + ( 5 )i. O quarto

Leia mais

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO Ricardo Bianconi Primeiro Semestre de 2008 Revisado em Fevereiro de 2015 Resumo Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do domínio

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

Computação Gráfica Interativa

Computação Gráfica Interativa Computação Gráfica Interativa conceitos, fundamentos geométricos e algoritmos 1. Introdução Computação Gráfica é a criação, armazenamento e a manipulação de modelos de objetos e suas imagens pelo computador.

Leia mais

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

OTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema

OTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema OTIMIZAÇÃO VETORIAL Formulação do Problema Otimização Multiobjetivo (também chamada otimização multicritério ou otimização vetorial) pode ser definida como o problema de encontrar: um vetor de variáveis

Leia mais

CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES

CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES CAPÍTULO 3 - TIPOS DE DADOS E IDENTIFICADORES 3.1 - IDENTIFICADORES Os objetos que usamos no nosso algoritmo são uma representação simbólica de um valor de dado. Assim, quando executamos a seguinte instrução:

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 11 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1. (1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo.

ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1. (1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo. Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1 NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES COMPLEXAS Números Complexos 1) Descreva as regiões

Leia mais

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,...

Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... Por que o quadrado de terminados em 5 e ta o fa cil? Ex.: 15²=225, 75²=5625,... 0) O que veremos na aula de hoje? Um fato interessante Produtos notáveis Equação do 2º grau Como fazer a questão 5 da 3ª

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional. Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA11 Números e Funções Reais Avaliação 3 - GABARITO 06 de julho de 013 1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações

Leia mais

GRANDEZAS FÍSICAS. Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente.

GRANDEZAS FÍSICAS. Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. FÍSIC 1 VETORES GRNDEZS FÍSICS Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser medidas. São divididas em

Leia mais

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária

Leia mais

SOFTWARE PARA ESTUDOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA: FUNÇÕES ELEMENTARES

SOFTWARE PARA ESTUDOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA: FUNÇÕES ELEMENTARES SOFTWARE PARA ESTUDOS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA: FUNÇÕES ELEMENTARES Edvaldo Lima da Silva 1 Faculdade de Ciências Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência Universidade Estadual Paulista

Leia mais

POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN.

POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN. POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN. Nível Avançado Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares,

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados

Capítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados Capítulo 3 Cálculo Vetorial O objetivo deste capítulo é o estudo de vetores de um ponto de vista geométrico e analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal. O estudo

Leia mais

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição 90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em

Leia mais

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância

Leia mais

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,

Leia mais

Vetores Lidando com grandezas vetoriais

Vetores Lidando com grandezas vetoriais Vetores Lidando com grandezas vetoriais matéria de vetores é de extrema importância para o ensino médio basta levar em consideração que a maioria das matérias de física envolve mecânica (movimento, dinâmica,

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3

POLINÔMIOS. x 2x 5x 6 por x 1 x 2. 10 seja x x 3 POLINÔMIOS 1. (Ueg 01) A divisão do polinômio a) x b) x + c) x 6 d) x + 6 x x 5x 6 por x 1 x é igual a:. (Espcex (Aman) 01) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A x B x x x x 1. Sabendo-se que 1 é raiz

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

MATERIAL MATEMÁTICA I

MATERIAL MATEMÁTICA I MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades

Leia mais

Capítulo 2. Álgebra e imagens binárias. 2.1 Subconjuntos versus funções binárias

Capítulo 2. Álgebra e imagens binárias. 2.1 Subconjuntos versus funções binárias Capítulo 2 Álgebra e imagens binárias Em Análise de Imagens, os objetos mais simples que manipulamos são as imagens binárias. Estas imagens são representadas matematicamente por subconjuntos ou, de maneira

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO. Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho. Departamento de Ciências Experimentais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO. Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho. Departamento de Ciências Experimentais AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 10º ano Ano Letivo 2015/2016 TEMA

Leia mais

MATEMÁTICA. 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números

MATEMÁTICA. 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números MATEMÁTICA 01. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) = 3 cos x sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir. Analise a veracidade das afirmações

Leia mais

Estudo de algumas funções complexas de uma variável complexa: aspectos algébricos e geométricos

Estudo de algumas funções complexas de uma variável complexa: aspectos algébricos e geométricos Estudo de algumas funções complexas de uma variável complexa: aspectos algébricos e geométricos Cecília S. Fernandez Universidade Federal Fluminense 1 o Colóquio da Região Sudeste Abril de 2011 Aos meus

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais