APLICAÇÕES IMAGEM DIRETA - IMAGEM INVERSA. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

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1 Professora: Elisandra Bär de Figueiredo APLICAÇÕES DEFINIÇÃO 1 Seja f uma relação de E em F. Dizemos que f é uma aplicação de E em F se (i) D(f) = E; (ii) dado a D(f), existe um único b F tal que (a, b) f. O conjunto F é chamado contradomínio de f. Notação: Usaremos b = f(a) para indicar (a, b) f. OBSERVAÇÃO 1 Se f : E F é uma aplicação e F é um conjunto numérico (F C), é usual chamar f de função. Às vezes, porém, usa-se a palavra função para designar uma aplicação qualquer. EXEMPLO 1 Determine quais das relações abaixo são aplicações. 1. Se E = {a, b, c, d} e F = {m, n, p, q}. (a) R 1 = {(a, n), (b, p), (c, q)} (b) R 2 = {(a, n), (b, q), (c, m), (d, q)} (c) R 3 = {(a, p), (b, p), (c, m), (d, p), (c, n)} 2. Se E = F = R. (a) R 4 = {(x, y) R 2 / y = x 2 + x} (b) R 5 = {(x, y) R 2 / y 2 = x} (c) R 6 = {(x, y) R 2 / x 2 y 2 = 4} (d) R 7 = {(x, y) R 2 / x 2 y 2 = 0} (e) R 8 = {(x, y) R 2 / x 3 + y 3 = 1} DEFINIÇÃO 2 Se f : E F e g : E F, então f = g se f(x) = g(x) para todo x E. IMAGEM DIRETA - IMAGEM INVERSA DEFINIÇÃO 3 Seja f : E F uma aplicação. Dado A E, chama-se imagem direta de A, segundo f, ao conjunto f(a) = {f(x) F/ x A}. Dado B F, chama-se imagem inversa de B, segundo f, ao conjunto f 1 (B) = {x E/ f(x) B}. 1

2 EXEMPLO 2 Se E = {0, 1, 2, 3, }, F = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f : E F é dada por f(x) = x + 2, temos: 1. f({1, 2, 3}) = 2. f(e) = 3. f 1 ({3, 5}) = 4. f 1 ({0, 1}) = EXEMPLO 3 Sejam E = F = R e f(x) = x 2. Determine. 1. f({1, 2, 3}) = 2. f({±4}) = 3. f(e) = 4. f 1 ({3, 5}) = 5. f 1 ({0, 1}) = 6. f 1 ({ 1}) = EXEMPLO 4 Seja f : N N N dada por f(x, y) = x y. Determine: 1. f(2, 0) = 2. f 1 ({16}) = 3. f 1 ({1}) = 4. para n N, f(n, 1) = 5. f 1 ({0}) = 6. f 1 ({50}) = APLICAÇÕES INJETORAS - APLICAÇÕES SOBREJETORAS DEFINIÇÃO 4 Seja f : E F uma aplicação. ˆ Dizemos que f é uma aplicação injetora ou 1-1 se dois elementos diferentes quaisquer de E tem imagens diferentes. Ou seja, se para quaisquer x 1, x 2 E, tais que x 1 x 2, for válido f(x 1 ) f(x 2 ). ˆ Dizemos que f é uma aplicação sobrejetora se Im(E) = F, ou seja, se para todo y F existir x E, tal que y = f(x). ˆ Dizemos f é uma aplicação bijetora se f for injetora e sobrejetora. OBSERVAÇÃO 2 Usando a contrapositiva para provar que uma função é injetora, devemos provar que: se x 1, x 2 E e f(x 1 ) = f(x 2 ), então x 1 = x 2. 2

3 EXEMPLO 5 Seja f : N N N dada por f(x, y) = mdc(x, y). 1. f é injetora? 2. f é sobrejetora? { } d { a } EXEMPLO 6 Mostre que f : R R dada pela lei y = ax b, em que a, b, c, d c c cx d são constantes reais, c 0 e ad bc 0, é uma aplicação bijetora. 3

4 APLICAÇÃO INVERSA DEFINIÇÃO 5 Seja f uma aplicação de E em F. Chama-se relação inversa de f, e indica-se por f 1, a seguinte relação de F em E : f 1 = {(y, x) F E/ (x, y) f} = {(y, x) F E/ y = f(x)}. EXEMPLO 7 Sejam E = {a, b, c, d} e F = {0, 1, 2, 3, 4}. Se f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}, então f 1 = EXEMPLO 8 Seja f : R R + dada por f(x) = x 2. Então, f 1 é uma aplicação? O próximo teorema estabelece condições necessárias e sucientes para que f 1 seja uma aplicação. TEOREMA 1 Seja f : E F uma aplicação. Então, f 1 é uma aplicação se, e somente se, f é bijetora. 4

5 COMPOSIÇÃO DE APLICAÇÕES DEFINIÇÃO 6 Sejam f : E F e g : F G duas aplicações. Chama-se composta de f e g a aplicação (indicada por g f) de E em G denida da seguinte maneira: (g f)(x) = g(f(x)), para todo x E. EXEMPLO 9 Considere as funções f : R R dada por f(x) = 2x + 7 e f g : R R dada por (f g)(x) = 4x 2 2x + 3. Determine a função g. PROPOSIÇÃO 1 Se f : E F e g : F G são injetoras, então g f é injetora. PROPOSIÇÃO 2 Se f : E F e g : F G são sobrejetoras, então g f é sobrejetora. APLICAÇÃO IDÊNTICA DEFINIÇÃO 7 Dado E, chama-se aplicação idêntica de E a aplicação i E : E E dada por i E (x) = x, para todo x E. 5

6 OBSERVAÇÃO 3 Se E F, então i E i F. PROPOSIÇÃO 3 Se f : E F é bijetora, então f f 1 = i F e f 1 f = i E. PROPOSIÇÃO 4 Se f : E F e g : F E são aplicações, então: (a) f i E = f, i F f = f, g i F = g, i E g = g. (b) se g f = i E e f g = i F, então f e g são bijetoras e g = f 1. 6

7 RESTRIÇÃO E PROLONGAMENTO DE UMA APLICAÇÃO DEFINIÇÃO 8 Seja f : E F e seja A E, com A. Chama-se restrição de f ao subconjunto A a aplicação f A : A F denida por f A (x) = f(x), para todo x A. DEFINIÇÃO 9 Seja f : E F e sejam B E e C F. Chama-se prolongamento de f ao conjunto B toda aplicação g : B C tal que g(x) = f(x) para todo x E. EXEMPLO 10 Considere a função f : R R dada por f(x) = 1 x. ˆ Quais são os elementos de f N? ˆ Dena um prolongamento de f para R. EXEMPLO 11 Considere F : C R + denida por f(x + yi) = x 2 + y 2. Determine a restrição de f ao conjunto dos números reais. APLICAÇÕES MONÓTONAS DEFINIÇÃO 10 Sejam E e F dois conjuntos parcialmente ordenados e seja f : E F. Por comodidade, indicamos com o mesmo símbolo ( ) as relações de ordem sobre E e sobre F, mas pode não se tratar da mesma relação. ˆ Dizemos que f é uma aplicação crescente em E se f(x) f(x ) sempre que x x. ˆ Dizemos que f é uma aplicação decrescente em E se f(x ) f(x) sempre que x x. ˆ Uma aplicação crescente ou decrescente em E será chamada aplicação monótona em E. ˆ f é dita uma aplicação estritamente monótona em E se satisfaz uma das condições: (i) f é estritamente crescente, isto é, se x < x, então f(x) < f(x ); (ii) f é estritamente decrescente, isto é, se x < x, então f(x ) < f(x); EXEMPLO 12 A aplicação f : R R dada por f(x) = 3 x é estritamente crescente, g : R R dada por g(x) = x 3 é estritamente decrescente, enquanto que h : R R dada por h(x) = x 2 1 não é monótona em R, porém possui restrições monótonas. 7