4.2 Teorema do Valor Médio. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html

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2 Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f (c)=0.

3 Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f (c)=0. Prova: caso 1: f(x) = k constante f (x)=0 para qualquer x em (a,b) caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b) Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor máximo f(x M ) em algum x M em [a,b]. Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x, x M deve estar no aberto (a,b). Como f é diferenciável em (a,b) e x M é ponto de máximo, temos f (x M )=0, Dai c=x M.

4 Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f (c)=0. Prova: caso 3: f(x) < f(a) para algum x em (a,b) Analogamente, f atinge um valor mínimo f(x m ) em algum x m em (a,b), onde teremos f (x m )=0, Dai c=x m.

5 Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f (c)=0. Exemplo: Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m. Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir novamente a altura de 2m. Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a velocidade da bola se anula, pois: f(t 0 )=f(t 1 )= 2, onde t 0 é o instante de tempo inicial e t 1 o instante de tempo final onde a altura mede 2m. f(c) 2m Como a função altura é contínua e diferencial, existe c em (t 0, t 1 ) tal que f (c)=0.

6 Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo [a,b] b) f é diferenciável no intervalo (a,b) c) f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f (c)=0. Exemplo: Demonstre que a equação x 3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real. Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real. Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então f(a) = f(b) = 0. f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f (c) = 0. Mas isso é um absurdo, pois f (c) = 3x para todo x.

7 ou f (c) = A =(a, f(a)) y=f(x) B =(b, f(b)) P =(c, f(c))

8 ou f (c) =

9 Prova: ou f (c) = Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre f e a função linear cujo gráfico é a secante que por A e B. Equação da reta por A e B: y f(a) = (x a), m AB = y = f(a)+ (x a),

10 Prova: ou f (c) = y = f(a)+ (x a), 1. h é contínua em [a,b] 2. h é derivável em (a,b) 3. h(a) = 0 = h(b) Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h (c) = 0 Mas h (x) =f (x) 0=h (c) =f (c). f (c) =

11 Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a velocidade média entre t = a e t = b é v m = Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos f (c) = = v m Mas f (c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c. Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a velocidade instantânea é igual a velocidade média. Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas duas horas, o velocímetro marcou 90 km/h.

12 Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f (x) 5 para todos os valores de x. Quão grande f (2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos: f (c) = f(2) f(0) 2 0 = f(2) Mas f (c) 5, logo: f(2) f(2) f(2) 7

13 Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f (x) 5 para todos os valores de x. Quão grande f (2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte? Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos: f (c) = f(2) f(0) 2 0 = f(2) Mas f (c) 5, logo: f(2) f(2) f(2) 7

14 f (c) = 0 = f(b) f(a) f(b) = f(a) Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a). Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante.

15 Corolário: Se f (x) = g (x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f g é constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante. Demonstração: Seja F(x) = f(x) g(x). F (x) = f (x) g'(x) Como f (x) = g (x) em (a,b), F (x) = 0 Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b).

16 Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2. Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x). F (x) = 1 1+x x 2 =0 Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2. Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1: F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2. Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2.

17 Exercício: Mostre que 1+x< x se x > 0. Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio Tome f(x) = 1+x f 1 (x) = 2 1+x Se x > 0, f (x) < 1 2 Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que f (c) = < b 1+a < 1 2

18 Exercício: Mostre que 1+x< x Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio Tome f(x) = 1+x f (x) = x Se x > 0, f (x) < 1 2 Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que f (c) = < b 1+a se x > b 1+a< () 2 Para chegar próximo da expressão desejada, façamos b = x: 1+x 1+a< 1 2 x 1 2 a 1+x< 1+a x 1 2 a Finalmente, faça a = 0: 1+x< x < 1 2

19 Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio na função f(x) =e 2x, [0,3] Solução: f (x) =e 2x d dx [ 2x] = 2 e 2x f(0) = e 2 0 = e 0 =1 f(3) = e 2 3 = e 6 f (c) = 2 e 2c = e e 2c = f (c) = 3 0 log e 2c 1 e 6 = log 6 c = log 6 (1 e 6 )

20 Exercício: Suponha que 3 f (x) 5 para todo x. Mostre que 18 f(8) f(2) 30. Solução: Vamos aplicar o Teorema do Valor no intervalo (2,8). f (c) = f(8) f(2) 8 2 = f(8) f(2) 6 Como 3 f (c) 5 : 3 f(8) f(2) f(8) f(2) 30

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