II. DEFINIÇÕES INICIAIS 1

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1 -1- ELPO: Definições Iniciais [MSL] II. DEFINIÇÕES INICIAIS 1 No que se segue, U é um conjunto qualquer e X, Y,... são os subconjuntos de U. Ex.: U é um quadrado e X, Y e Z são três círculos congruentes que se intersectam em U. Notação: X Y denota que X é um subconjunto de Y, i.e., ( x) (x X x Y) qualquer ponto de X é um ponto de Y. X está contido ou incluído em Y. 1. Propriedades da Inclusão i) Reflexividade. Qualquer conjunto é um subconjunto de si próprio: X X. ii) Anti-Simetria. A inclusão não é simétrica: ( X Y ) & ( Y X ) (X = Y). iii) Transitividade. A inclusão é transitiva: ( X Y ) & ( Y Z ) ( X Z ) Comparando a inclusão com a desigualdade na Aritmética, a inclusão não é conexa, i.e., dados dois conjuntos X e Y não é o caso que ou X Y ou Y X. 1 Lourenço, M. S. [2003], Estruturas Lógicas de Primeira Ordem. Lisboa: Departamento de Filosofia da Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa.

2 -2- ELPO: Definições Iniciais [MSL] Há quatro (4) soluções para o problema de relacionar dois conjuntos X e Y por meio da relação de inclusão. Solução 1: X Y e Y X. Neste caso, X = Y. Solução 2: X Y mas Y X. Neste caso, diz-se que X está propriamente contido em Y; o que se denota por: X < Y ou Y > X. Solução 3: Y X mas X Y. Neste caso, X contém propriamente Y. Solução 4: X Y e Y X. Neste caso, X e Y são incomparáveis. Essencialmente é a existência de conjuntos incomparáveis que distingue a relação de inclusão da relação de desigualdade entre números reais. Os subconjuntos de U não se relacionam só através da inclusão, mas também através das operações binárias de união e intersecção. Estas operações são análogas a + e e a partir desta analogia Boole desenvolveu uma teoria algébrica de conjuntos. A complementação é um operação unária, que se denota por X, e o seu resultado é o conjunto de todos os elementos que não estão em X. Ex.: U é o conjunto vazio, o qual não contém quaisquer elementos. Isto resulta do facto de só considerarmos subconjuntos de U. As operações da Álgebra de Conjuntos podem ser representadas por diagramas de Venn. Neste caso X, Y e Z são áreas dos círculos que se intersectam em U. Em particular: Y é o exterior de Y.

3 -3- ELPO: Definições Iniciais [MSL] 2. Propriedades das Operações da Álgebra de Conjuntos A analogia entre a álgebra dos conjuntos e as operações aritméticas é em parte descrita pelas seguintes identidades: 1. Idempotência: a) X X = X b) X X = X 2. Comutatividade: a) X Y =Y X b) X Y = Y X 3. Associatividade: a) X ( Y Z ) = ( X Y ) Z b) X ( Y Z ) = ( X Y ) Z 4. Distributividade: a) X ( Y Z ) = ( X Y ) ( X Z ) b) X ( Y Z ) = ( X Y ) ( X Z ) As operações análogas da aritmética não satisfazem a Idempotência nem a Distributividade de + em relação a, i. e., 4. b). 3. Teorema da Equivalência A intersecção, a união e a inclusão estão relacionadas entre si através do:

4 -4- ELPO: Definições Iniciais [MSL] TEOREMA DA EQUIVALÊNCIA: as três proposições i. X Y ii. X Y = X iii. X Y = Y são mutuamente equivalentes. 4. Propriedades Especiais de e I i) Limites Universais: ( X) X I ii) Intersecção: X = I X = X iii) União: X = X I X = I As três primeiras propriedades da intersecção e da união (no Teorema da Equivalência) são análogas às propriedades de 0 e 1 na Aritmética, interpretando como <, como e como +. A complementação está relacionada com a intersecção e a união pelas proposições seguintes:

5 -5- ELPO: Definições Iniciais [MSL] 1. Complementação: X X = X X = I 2. Dualização: ( X Y ) = X Y ( X Y ) = X Y 3. Involução: ( X ) = X A complementação e a Involução correspondem a teoremas da aritmética na interpretação seguinte: X = 1 X (Hipótese adicional:) X X = X As diversas proposições da Álgebra dos Conjuntos podem ser verificadas de diversas maneiras. Sinopse: # 1. Indução As proposições são testadas em exemplos individuais. Ex.: [Venn Diagram] U = quadrado inicial X = interior do círculo da esquerda

6 -6- ELPO: Definições Iniciais [MSL] Y = interior do círculo da direita X = área de linhas horizontais Y = área de linhas verticais X Y = complemento da união X Y. U X Y X Y Y X Y X (X Y) # 2. Argumentos por casos Que casos se pode esperar para um elemento b de U? 2.1. um elemento em X e em Y um elemento em X mas não em Y um elemento em Y mas não em X.

7 -7- ELPO: Definições Iniciais [MSL] 2.4. um elemento nem em X nem em Y. Ex.: [Caso 2.1.] Se b é um elemento 2.1. (em X e em Y), então b está em X Y. Mas então não está em ( X Y ) e não está em X Y. Ex.: [Caso 2.2.] Se b é um elemento 2.2. (em X mas não em Y), então b está em ( X Y ) e em Y. Logo, b também está em X Y. Em geral, para duas classe X e Y há uma totalidade de 4 = 2 2 casos, todos representados por pontos nas quatro áreas do diagrama Venn. Para 3 classes há 8 = 2 3 casos e oito áreas a representar. Para n classes há n 2 casos. # 3. As definições das operações O género de definição pode ser representado por alguns exemplos. Ex.: 1. A expressão a definir (definienda) é b está em X ( Y Z), a expressão definidora (definiens) é b está em X e b está em Y Z. Ex. 2.: A expressão a definir é b está em ( X Y ) ( X Z ), a expressão definidora é b está em X e b está em Y ou b está em X e b está em Z.

8 -8- ELPO: Definições Iniciais [MSL] De acordo com o uso que as conectivas e e ou têm na linguagem natural, as asserções dos exemplos 1. e 2. são equivalentes. Assim as leis da Álgebra de Classes conservam as propriedades das conectivas proposicionais. Se se admitir estas propriedades como premissas, podem-se demonstrar a partir delas todos os teoremas sobre classes.

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