UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT. Lista de Exercícios 01.

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT Curso de Bacharel em Ciência da Computação Disciplina: Matemática Discreta Professor: Rafael Stubs Parpinelli ) Diga se é verdadeiro ou falso. Justifique. a) {,, } = {x N x > 0 e x < 4} b) {,, } {,,,,,, } c) {,, } {,,,,,, } d) e) f) { } g) { } h) {x, y} {x, {x, y}} i) {x, y} {x, {x, y}} j) {,, } {{,, }} k) {,, } {{,, }} l) {,, } = m) {,, } {,, } = {,, } Lista de Exercícios 0. ) Para os conjuntos A = {}, B = {, } e C = {{}, }, diga se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique. a) A B b) A B c) A B d) A C e) A C f) A g) C h) {} A i) {} C j) C k) C l) B A m) B A ) Sejam a = {x x = 6} e b =. Justifique ou refute as seguintes afirmações: a) a = b b) b a c) b a

2 4) Qual o conjunto das partes dos conjuntos abaixo? a) A = {a, b, c} b) B = {a, {b, c}, D} dado que D = {, } 5) Sejam A = {0,,,, 4, 5}, B = {, 4, 5, 6, 7, 8}, C = {,, 7, 8}, D = {, 4}, E = {, }, F = {} e X um conjunto desconhecido. Para cada item abaixo, determine quais dos conjuntos A, B, C, D, E ou F podem ser iguais a X: a) X A e X B b) X B e X C c) X A e X C d) X B e X C 6) Dados os conjuntos U = {, m, a,, 5, 6, 8, t, e, 9, 0, i, c,, 5, 6}, A = {9, 0}, B = {a,, 5, 6, m, t, 5}, C = {m,, 5, 6, t, e, i,, 6}, D = {, e, m, i, 5, 6}, E = {i}, resolva: (Lembre-se que o conjunto U é o conjunto universo) a) C C D b) B c) E d) C U E e) C U φ f) C U C C D 7) Faça o diagrama de Venn dos conjuntos do exercício 6. 8) Considerando os conjuntos do exercício 6, quais os conjuntos resultantes das seguintes operações: a) C D' b) B A C ' c) A D C B d) B C D ' C e) C A 9) Seja S = {, 5, 7, 7}. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? a. 5 S b. + 5 S c. S d. S S 0) Qual a cardinalidade dos seguintes conjuntos: a. S = {a, {a, {a}}} b. S = {{a}, {{a}}} c. S = { } d. S = { } e. S = {a, { }, } f. S = {, {, { }}, {, {, { }}}} ) Dada uma descrição do conjunto A = {, 4, 8,...}, você acha que 6 A? ) Sejam:

3 R = {,, pi, 4, 9, 0} S = {{},, 9, 0} T = {,, pi} U = {{,, pi}, } Quais afirmações são verdadeiras? E para as que não são, por que não? a. S R b. R c. S d. U e. {} T f. {} S g. T R h. {} S i. S j. T U k. T U l. T R m. T R n. S {,, 9, 0} ) Sejam: A = {x x R e x 4x + < 0} e B = {x x R e 0 < x < 6}. Mostre que A B. b ± b ac (Fórmula de Báscara: 4 x = ) a 4) Mostre qual das proposições a seguir são verdadeiras para quaisquer conjuntos A, B e C e diga por quê é verdade ou não. a. se A B e B A, então A = B b. { } = c. { } = {0} d. { } e. A f. A g. se A B e B C, então A C h. se A B e B C, então A C i. se A B e B C, então A C 5) Sejam A = {a}, B = {a, b} e C = {0,, }. Encontre: a. A B b. B C c. C B d. A e. B f. A Ν (Naturais) g. A B C h. (A B) C i. A (B C) j. P(A B) k. P(A) P(B) 6) Para qualquer conjunto finito S, denote por S o número de elementos em S. Se A = e B = 4, encontre: a. A B b. A c. B d. o maior valor possível para A B e. o menor valor possível para A B 7) Encontre: a. P(S) para S = {, { }, {, { }} } b. P(P(S)) para S = {a, b} 8) O que pode-se dizer sobre A se P(A) = {, {x}, {y}, {x, y}} 9) Mostre que: a. (A ) = A b. P(A) P(B) = P(A B) c. A (B C) = (A B) (A C) d. A B = A B 0) A, B e C são subconjuntos de um conjunto S. Prove as identidades a seguir usando as identidades básicas e as demais identidades já encontradas. a. [A (B C)] = A (B C ) b. [(A B) (A B )] = A c. (A B) (A B ) = A d. (A B) C = (A C) B e. A (A B) = A B ) Quais das expressões a seguir definem operações binárias ou unárias nos conjuntos indicados? Para as que não definem, por que não?

4 a. x ο y = x + ; S = N b. x ο y = x + y ; S = N c. x ο y = d. 4 x se x é ímpar x se x é 4 5 par ; S = {,, } e. x ο y = min{x, y}; S = N ; S = Z ) Marque os conjuntos que são alfabetos. Justifique. a) Conjunto dos números naturais [ ] b) Conjunto dos números primos [ ] c) Conjunto das letras do alfabeto brasileiro [ ] d) Conjunto dos algarismos romanos [ ] e) Conjunto {a, b, c} [ ] f) Conjunto das consoantes [ ] ) Sejam Σ = {a, b, c,..., z} e Dígitos = {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} alfabetos. Discuta as seguintes afirmações: a) Português é uma linguagem sobre Σ, ou seja, é um subconjunto de Σ * ; b) N (conjunto dos números naturais) é uma linguagem sobre Dígitos, ou seja, é um subconjunto de Dígitos *. 4) Correlacione os conjuntos descritos por 'enumeração dos elementos' com os conjuntos descritos por uma 'propriedade': (a) {,, 5, 7,,, 7, 9} (b) {, 5, 8,, 4, 7} (c) {África, América, Ásia, Europa, Oceania} (d) {Matemática Discreta, Geometria Básica, Cálculo} (e) {, } () {continentes} () {x x é número natural primo, x < 0} () {disciplinas de matemática do curso de CC} (4) {x x = 9} (5) {x N x é múltiplo de, 0 < x < 0} 5) Se o conjunto Universo U = {números inteiros} e A = {números inteiros pares}, então qual o complemento de A? 6) Considere o conjunto de todos os carros vendidos em uma certa concessionária. Um vendedor classificou os carros em três subconjuntos, de acordo com os opcionais de cada carro.

5 D = {carros com direção hidráulica}, A = {carros com ar-condicionado}, V = {carros com vidro elétrico}. Faça o diagrama de Venn para os seguintes casos: a) Carros com, pelo menos, alguma das três opções. b) Carros com ar-condicionado, mas sem direção hidráulica e sem vidro elétrico. c) Carros com direção hidráulica ou ar-condicionado, mas sem vidro elétrico. d) Carros com vidro elétrico e ar-condicionado. e) Carros com vidro elétrico, ar-condicionado e direção hidráulica. f) Conjunto dos carros vendidos sem nenhum dos três opcionais.