Tópicos Matriciais Pedro Henrique O. Pantoja Natal / RN

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1 1. Traço de Matrizes. Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, TrA a a a a. Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada de ordem n, cujos elementos são números reais. Esperamos que o leitor esteja familiarizado com as definições e operações mais elementares sobre matrizes. Exemplo 1.1: Considere a matriz n x n A cos x 0 0 cos 2x cos nx Assim, TrA cos x cos 2x cos nx / /, para x 2kπ, k. Da definição 1.1 decorre o seguinte resultado: Proposição 1.1: Sejam A e B, então a) TrI n b) TrA λ B TrA λ TrB, λ c) TrA TrA d) TrAB TrBA. a) Claramente TrI n. b) Sejam A a e B b para todo 1 i, j n, então como λb multiplica todos os elementos b da matriz B, teremos λ TrB λb, assim TrA λ TrB a λb TrA λ B. c) Quando fazemos a operação transposta de uma matriz A os elementos da diagonal principal são os mesmos da matriz A, portanto TrA TrA.

2 d) Sabemos que o i, j ésimo elemento da matriz AB é AB, Logo, a b TrAB a b b a TrBA. Corolário 1.1: Sejam A, B e C matrizes simétricas, então TrABC TrBAC TrCAB. É imediato, pela proposição 1.1, temos TrABC TrABC TrCAB TrCAB TrB A C TrBAC, pois A, B e C são simétricas. Corolário 1.2: O traço de uma matriz anti-simétrica é zero. Se A é uma matriz anti-simétrica, então A A TrA TrA TrA TrA TrA TrA TrA 0. Exercício Resolvido 1.1: (IME-80) Mostre que não existem matrizes quadradas A e B, que verifiquem AB BA I, onde I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Solução: Pela proposição 1.1, TrAB BA TrAB TrBA 0, por outro lado, TrI n, assim n 0 absurdo! Portanto tais matrizes A e B não existem.

3 LEMA 1.1: (CAUCHY-SCHWARZ) Sejam a, a,, a e b, b,, b números reais positivos. A seguinte desigualdade é verdadeira: a b a b. Corolário 1.3: Sejam A e B matrizes diagonais. Então TrAB TrA TrB. a a Sejam A 0 e B 0 0 a Assim é fácil ver que TrAB a b b 0 0 b b a b TrA TrB. EXERCÍCIOS 1) (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 x 3. Se TrA denota a soma dos elementos da diagonal principal de A. Considere as afirmações: (I) TrA TrA. (II) Se A é inversível, então TrA 0. (III) TrA λ B TrA λ TrB, para todo λ. Temos que a) Todas as afirmações são verdadeiras; b) Todas as afirmações são falsas; c) Apenas a afirmação (I) é verdadeira; d) Apenas a afirmação (II) é falsa; e) Apenas a afirmação (III) é falsa.

4 2) (IME-09) Demonstre que a matriz y z xy xz xy x z yz xz yz x y Onde x, y, z, pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais. Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal. 3) Seja A Calcule TrA A A onde K. 4) (ITA-08) Seja A M uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q 1 e TrA 5a. Sabendo-se que o sistema AX X admite solução não-nula X M, pode-se afirmar que a q é igual a a) b) c) 5 d) e) 2. Matrizes Ortogonais. Definição 2.2: Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se A é inversível e A A. Proposição 2.1: a) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal. b) O determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou 1. a) Suponhamos que A e B sejam matrizes ortogonais, então A A e B B, agora sabemos que se A e B são inversíveis AB também o é, AB B A B A AB. b) Se A A DetA DetA DetA DetA DetA 1 DetA 1 ou DetA 1.

5 Exemplo 2.1: A matriz A cos θ sin θ sin θ cos θ é ortogonal, de fato, A A cos θ sin θ θ sin θ cos sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cosθ cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos 1 0 θ 0 1 Da mesma forma, Portanto, A A. AA veriique! A matriz A é conhecida como matriz de rotação do plano. Exercício resolvido 2.1: (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que M M B. Sabendo que M M, podemos afirmar que: a) B é a matriz nula. b) B 2I c) B é simétrica d) B é anti-simétrica e) N.d.a. Notações: M e M denotam, respectivamente, a matriz transposta de M e a matriz inversa de M. Por I denotamos a matriz identidade de ordem n. Solução: Como M M ( M é ortogonal) temos que M M B B M M M M M M B B B, isto é, B é antisimétrica. Resposta: alternativa D. Dizemos que uma matriz A é idempotente se A A. Exercício resolvido 2.2: Mostre que para qualquer matriz simétrica e idempotente A, a matriz I 2A é ortogonal.

6 Solução: Como A é simétrica e idempotente e. Note que , í 2 0, portanto 2 é inversível. Agora 2 2 2, logo , assim 2 é ortogonal. EXERCÍCIOS 1) Mostre que a matriz abaixo é ortogonal cos 0 sin sin 0 cos 2) (ITA-04) Se A é uma matriz real, considere as definições: i) Uma matriz quadrada é ortogonal se e só se A for inversível e. ii) Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se 0, para todo, 1,,,. Determine toda as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. 3) (ITA-08) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e. Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal. 4) (IME-01) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e um ângulo qualquer. Justifique sua resposta. cos sin 0 sin cos

7 GABARITO TRAÇO DE MATRIZES: 1) D 2) Demonstração 3) 4) A MATRIZES ORTOGONAIS 1) Demonstração 2) com a, b, c, 3),,, com 4) Sim REFERÊNCIAS: [1] SALAHODDIN SHOKRANIAN, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, EDITORA UNB, [2] ELON L. LIMA, ÁLGEBRA LINEAR, C. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA, IMPA, Para dúvidas e sugestões, entre em contato pelo p.pantoja@hotmail.com