ESTRUTURAS DE DADOS II MSc. Daniele Carvalho Oliveira

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1 ESTRUTURAS DE DADOS II MSc. Daniele Carvalho Oliveira

2 ÁRVORES ED2: MSc. Daniele Oliveira 2

3 Introdução Filas, pilhas» Estruturas Lineares Um dos exemplos mais significativos de estruturas não-lineares são as árvores. Muito utilizadas para representar uma hierarquia. ED2: MSc. Daniele Oliveira 3

4 Definição Uma árvore T é um conjunto finito, não-vazio de nós, T = r T 1 T 2 T n, com as seguintes propriedades: 1. Um nó especial, r, é chamado de raiz da árvore; 2. O restante dos nós é particionado em n 0 subconjuntos, cada um sendo uma árvore. ED2: MSc. Daniele Oliveira 4

5 Exemplos T a = {A} é uma árvore T b = {B, C } é uma árvore T c = D, E, F, G, H, I, K, L, M é uma árvore ED2: MSc. Daniele Oliveira 5

6 Terminologia Considere uma árvore T = {r, T 1, T 2,, T n }, n 0 O grau de um nó é o número de sub-árvores relacionadas com aquele nó. Um nó de grau 0 não possui sub-árvores. Esse nó é chamado de folha. Cada raiz r i da sub-árvore T i é chamada de filho de r. O termo neto é definido de forma análoga. O nó raiz r da árvore T é o pai de todas as raízes r i das sub-árvores T i, 1 < i n Duas raízes r i e r j das sub-árvores distintas T i e T j de T são ditas irmãs ED2: MSc. Daniele Oliveira 6

7 Caminho e Comprimento de Caminho Dada uma árvore T que contém um conjunto de nós S, um caminho P é definido como uma sequência não vazia de nós. P = { s 1, s 2,, s k } Onde s i S, 1 i k, tal que s i é o pai de s i+1 O comprimento do caminho é k 1. ED2: MSc. Daniele Oliveira 7

8 Caminho e Comprimento de Caminho O nível ou profundidade de um nó é o comprimento do único caminho entre a raiz e o nó. A altura de um nó é o comprimento do caminho mais longo do nó a uma folha. A altura de uma árvore T é a altura do nó raiz Uma árvore é homogênea se todos os seus nós possuem as mesmas características de conteúdo. Caso contrário é heterogênea. Para conhecermos os antepassados de um nó, basta identificarmos todos os nós ao longo do caminho entre a raiz e o nó. Um nó s j é descendente de um nó s i se há um caminho em T de s i a s j. ED2: MSc. Daniele Oliveira 8

9 Árvores n-árias Uma árvore N-ária T é um conjunto finito de nós com as seguintes propriedades: 1. O conjunto é vazio, T = ; ou 2. O conjunto consiste em uma raiz, r, e n árvores N-árias distintas Ou seja, os nós de uma árvore N-ária possuem grau 0 a N. ED2: MSc. Daniele Oliveira 9

10 Árvores n-árias Cheias Uma árvore n-ária T é dita cheia quando seus nós possuem grau 0 ou N. ED2: MSc. Daniele Oliveira 10

11 ÁRVORES BINÁRIAS ED2: MSc. Daniele Oliveira 11

12 Árvores Binárias Uma árvore binária se caracteriza pelo fato de todos os seus nós terem no máximo duas sub-árvores, ou seja, é uma árvore de grau 2. Toda árvore binária possui as seguintes propriedades: 1. Cada sub-árvore é também uma árvore binária. 2. O grau de um nó representa o seu número de sub-árvores. 3. Em uma árvore binária, o grau máximo de um nó é 2. Referimo-nos aos filhos de um nó em uma árvore binária como sendo sub-árvore esquerda ou subárvore direita, de acordo com seu posicionamento. ED2: MSc. Daniele Oliveira 12

13 ÁRVORES BINÁRIAS DE PESQUISA ED2: MSc. Daniele Oliveira 13

14 Árvores Binárias de Pesquisa (ABP) Também chamada de Árvore Binária de Busca Toda Árvore Binária de Pesquisa possui as seguintes propriedades: Todos os nós da sub-árvore direita são maiores que o nó raiz Todos os nós da sub-árvore esquerda são menores que o nó raiz Cada sub-árvore é também uma árvore binária de pesquisa. ED2: MSc. Daniele Oliveira 14

15 Inserção em ABP Após a inserção do novo elemento, a árvore deve manter as propriedades de árvore binária de pesquisa. O nó inserido é sempre uma folha. ED2: MSc. Daniele Oliveira 15

16 Remoção em ABP 3 casos 1. O nó a ser removido é uma folha 2. O nó a ser removido possui apenas um filho 3. O nó a ser removido possui dois filhos ED2: MSc. Daniele Oliveira 16

17 Percurso em Árvores Um percurso numa árvore binária é uma forma sistemática de acesso a todos os seus nós, em geral realizando algum tipo de operação. Duas categorias de percurso: Percurso em profundidade os nós da sub-árvore atual têm prioridade na ordem de acesso. Percurso em largura os nós de menor nível têm prioridade na ordem de acesso. ED2: MSc. Daniele Oliveira 17

18 Percurso em Profundidade Três tipos canônicos : Pré-ordem: Visitar a raiz Percorrer a sub-árvore esquerda em pré-ordem Percorrer a sub-árvore direita em pré-ordem Pós-ordem: Percorrer a sub-árvore esquerda em pós-ordem Percorrer a sub-árvore direita em pós-ordem Visitar a raiz In-ordem (simétrica): Percorrer a sub-árvore esquerda em ordem simétrica Visitar a raiz Percorrer a sub-árvore direita em ordem simétrica ED2: MSc. Daniele Oliveira 18

19 Percurso em Largura O percurso em largura primeiro visita todos os nós do nível 0, depois todos os nós do nível um, e daí por diante. Os nós são visitados da esquerda para a direita em cada um dos níveis. ED2: MSc. Daniele Oliveira 19

20 Árvores de Expressões Expressões algébricas como a/b + c d e possuem inerentemente uma estrutura de árvore. Os nós terminais de uma árvore de expressão são variáveis ou constantes da expressão. Os outros nós de uma árvore são operadores (+,,, ). Os parênteses não aparecem na árvore. A representação em árvore mantém a intenção dos parênteses. Árvores de Expressão são geralmente binárias, por que? Os operadores algébricos mais comuns são binários ou unários. ED2: MSc. Daniele Oliveira 20

21 Percurso O que podemos fazer com árvores de expressão? Imprimir a expressão representada na árvore. Um percurso em ordem simétrica visita os nós na ordem: a,, b, +, c,, d,, e Considere um percurso em ordem simétrica que, quando encontra um nó terminal, o imprime; e quando encontra um nó não terminal faz: 1. Imprime um parêntese esquerdo; 2. Percorre a sub-árvore da esquerda; 3. Imprime a raiz; 4. Percorre a sub-árvore da direita; e 5. Imprime um parêntese direito. Saída: ( a b + c d e ) ED2: MSc. Daniele Oliveira 21

22 Notação Infixa A notação dos exemplos anteriores é chamada de notação infixa, porque cada operador aparece entre seus operandos. Existe uma relação natural entre a notação infixa e o percurso em ordem simétrica. Só é possível para operações binárias (soma, divisão...) ED2: MSc. Daniele Oliveira 22

23 Notação Prefixa O operador é escruto antes dos seus operandos. Utiliza-se um percurso em pré-ordem para imprimir a expressão. Para cada nó não terminal: 1. Imprime a raiz; 2. Imprime um parêntese esquerdo; 3. Percorre a sub-árvore esquerda; 4. Imprime uma vírgula; 5. Percorre a sub-árvore da direita; e 6. Imprime um parêntese direito. Saída: + ( a, b, c, d, e ) soma (div a, b, mult sub c, d, e ) ED2: MSc. Daniele Oliveira 23

24 Notação Posfixa O percurso em pós-ordem produz uma expressão posfixa. Em uma expressão posfixa o operador vem depois dos operandos. A vantagem das expressões posfixas (e prefixas) é que parênteses não são necessários. Aplicando um percurso em pós-ordem, temos: a b c d e + ED2: MSc. Daniele Oliveira 24

25 Notação Posfixa Uma expressão posfixa pode ser avaliada usando uma pilha de avaliação durante o percurso, da seguinte forma: 1. Quando um nó terminal for visitado, seu valor é colocado na pilha 2. Quando um nó não terminal for visitado: a) São retirados dois valores da pilha b) A operação especificada pelo nó é feita com os dois valores c) O resultado é colocado na pilha. 3. Quando o percurso terminar, existirá apenas um valor na pilha, que corresponderá ao valor da expressão. Agora, em vez de fazer a computação de cada nó que for visitado, emite-se o código requerido para avaliar a expressão. Isso é exatamente o que um compilador faz para compilar uma expressão. ED2: MSc. Daniele Oliveira 25

26 Fim da Aula 2 PRÓXIMA AULA: BALANCEAMENTO DE ÁRVORES ED2: MSc. Daniele Oliveira 26